Verwendung des dritten Newtonschen Gesetzes im Elektromagnetismus und spezielle Relativitätsprobleme

Newtons drittes Gesetz hat einige knifflige Feinheiten in der Elektrodynamik. Dies liegt daran, dass Newtons drittes Gesetz eigentlich eine Aussage über die Impulserhaltung eines abgeschlossenen Systems ist: wenn$\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$in einem isolierten Zwei-Teilchen-System also$\dot{\vec{p}}_1 = - \dot{\vec{p}}_2$Der Gesamtimpuls ist also konstant. Das Problem bei der Anwendung dieses Konzepts in der Elektrodynamik besteht darin, dass das „System“, das Sie berücksichtigen müssen, die Ladungen und die elektromagnetischen Felder sind, und elektromagnetische Felder können Impulse tragen.

Das Standardbeispiel, bei dem das dritte Newtonsche Gesetz nicht gilt (wenn man nur die Ladungen betrachtet), ist, wenn sich eine Ladung in positiver Richtung entlang bewegt$x$-Achse und eine weitere Ladung, die sich entlang der in positiver Richtung bewegt$y$-Achse. Selbst im Grenzbereich niedriger Geschwindigkeit üben beide Ladungen magnetische Kräfte aufeinander aus. Wir können immer noch sehen, dass, während die elektrischen Kräfte, die eine Ladung auf die andere ausübt, gleich und entgegengesetzt zueinander sind, die magnetischen Kräfte in völlig unterschiedliche Richtungen wirken. Wenn ich meine rechten Regeln richtig gemacht habe, ist die Kraft auf die Ladung auf dem$x$-Achse wird positiv sein$y$-Richtung, während die Kraft auf die Ladung auf die$y$-Achse wird im Positiven sein$x$-Richtung. Dies bedeutet, dass ich eine Nettokraft auf die Ladungen (als System betrachtet) ausüben müsste, um sie mit einer konstanten Geschwindigkeit in Bewegung zu halten, was das erste Newtonsche Gesetz zu verletzen scheint.

Das Paradoxon wird aufgelöst, indem man der Größe den Namen „Feldimpulsdichte“ zuweist$\epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}$, und (mittels heldenhafter Vektoralgebra) zeigt, dass, wenn wir die über ein bestimmtes Volumen integrierte Änderung dieser Größe, den Fluss dieser Größe in oder aus diesem Volumen und das mechanische Moment der Ladungen berücksichtigen, diese " kombiniert Begriff" des Impulses bleibt erhalten. Aber das bedeutet, dass, wenn das Integral von$\vec{E} \times \vec{B}$über dem Raum sich in Bezug auf die Zeit ändert oder einen Fluss ungleich Null aus dem betrachteten Volumen hat, können wir nicht erwarten, dass das mechanische Moment des Systems konstant ist, und Newtons drittes Gesetz wird nicht gelten. Wenn umgekehrt der Feldimpuls in einem bestimmten Volumen konstant ist und der Impulsfluss aus diesem Volumen null ist, gilt das dritte Newtonsche Gesetz .

Sie können die Newtonschen Gesetze verwenden, solange die Geschwindigkeiten nicht relativistisch sind ($v \ll c$, Wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit). Die vollständigen relativistischen Korrekturen werden in Ordnung sein$v/c$und höhere Mächte. Wenn Sie beispielsweise das dritte Newtonsche Gesetz verwenden und dann Lorentz in einen anderen Rahmen transformieren, gilt das dritte Newtonsche Gesetz in dem neuen Rahmen aus einigen Gründen im Allgemeinen nicht$v/c$auftretende Unterschiede. Wenn$v \ll c$diese Unterschiede sind vernachlässigbar und das ist der Grund, warum die Newtonsche Mechanik nur bei niedrigen Geschwindigkeiten eine gültige Beschreibung der Natur ist.

Ich denke, dies ist eine Frage, wann das dritte Newtonsche Gesetz verwendet werden kann.

Es kann verwendet werden, wenn Zeitverzögerungen keine Probleme verursachen. Es kann also mit konstanten Kräften eingesetzt werden. Und es kann mit kurzen Entfernungen verwendet werden.

In dieser Situation kann beispielsweise das dritte Newtonsche Gesetz verwendet werden: Es gibt eine unendlich geladene Platte, die sich mit der Geschwindigkeit V1 in +x-Richtung bewegt, und eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit V2 in -x-Richtung bewegt, und wir wollen wissen, was Kraft wirkt die Ladung auf die Platte im Bezugssystem der Platte.

Im Rahmen der Platte übt die Platte eine Kraft F auf die Ladung aus, und im selben Rahmen übt die Ladung eine entgegengesetzte Kraft auf die Platte aus.

In jedem Rahmen ist dieses Kräftepaar im Gleichgewicht.

Verschiedene Rahmen können sich sehr darüber einig sein, wie groß die Plattenfläche in einem Moment die Kraft der Ladung spürt. (Wegen der Längenkontraktion)