Wäre es in drei räumlichen Dimensionen möglich, eine Kraft zu haben, die mit dem Kehrwert des Abstands abnimmt?

In unserem Universum nehmen elektrische und Gravitationskraft mit ab$r^{-2}$wegen des Abstandsgesetzes .

Stellen Sie sich eine kugelförmige Schale um eine Punktquelle vor. Die Fläche einer Schale bei einem gewissen Radius$R$ist$4\pi R^2$; somit wird der Fluss durch diese Schale um einen Faktor von reduziert$r^{-2}$. Dies gilt in drei Dimensionen und kann mathematisch bewiesen werden. In$N$Dimensionen, eine Kraft nimmt immer um ab$r^{N-1}$. Dies kann auf ähnliche Weise nachgewiesen werden.

Leider ist Ihr Szenario in drei Dimensionen unmöglich.

Wenn ja, könnte eine solche Kraft eine unendliche Reichweite haben?

Eines der großartigen Dinge daran, eine Kraft zu haben, die abnimmt$r^{N-1}$ist, dass es, egal wie weit ein Objekt entfernt ist, immer eine Kraft ungleich Null zwischen zwei Teilchen geben wird. Stets. Es kann sehr klein sein, aber es wird nicht Null sein. Die Kraft wird immer eine unendliche Reichweite haben.

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Nachweis des Oberflächenkoeffizienten (siehe diese Anmerkungen ):

Technisch bezieht sich der Begriff "Kugel" nur auf die$N-1$-dimensionale Oberfläche; "Kugel" bezieht sich auf die$N$-dimensionaler Bereich. Ich werde diese Begriffe im folgenden Beweis verwenden.

Das Volumen einer$n$-ball ist proportional zu einer Potenz seines Radius:

$$V_N=C_Nr^N\tag{1}$$ Stellen wir uns eine vor $n-1$-dimensionale Kugelschale. Die Volumen-Flächen-Beziehung ist bekannt: $$\mathrm{d}V_n=A_n\mathrm{d}r\to A_n=\frac{\mathrm{d}V_N}{\mathrm{d}r}\tag{2}$$ Wir können differenzieren $(1)$nach der Potenzregel zu erhalten $$\frac{\mathrm{d}V_N}{\mathrm{d}r}=C_NNr^{N-1}\tag{3}$$ Nehmen Sie, um der Vermutung willen, das Integral $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-r^2}\mathrm{d}V_N\tag{4}$$ Wir können dies umschreiben als $$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_1\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_Ne^{-x_1^2-x_2^2-\cdots-x_N^2}\tag{5}$$ Dieser letzte Schritt erfolgt, weil $$V_N=x_1x_2\cdots x_N$$ Wir haben dann $$\left(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}xe^{-x^2}\right)^N=\pi^{N/2}\tag{6}$$ Auch dies liegt an der Gleichheit aller $x_k$s. Einwechseln $\mathrm{d}V_N=A_N\mathrm{d}r$, wir haben $$\int_0^{\infty}e^{-r^2}A_N\mathrm{d}r=C_NN\int_0^{\infty}e^{-r^2}r^{N-1}\mathrm{d}r=\frac{C_NN}{2}\int_0^{\infty}e^{-s}s^{N/2-1}\tag{7}$$ Lösen wir dieses Integral mit der Gamma-Funktion, erhalten wir $$\frac{C_NN}{2}\Gamma(N/2)=C_N(N/2)!\to C_N=\frac{\pi^{N/2}}{(N/2)!}\tag{8}$$ Schließlich gibt uns dies $$A_N=N\frac{\pi^{N/2}}{(N/2)!}r^{N-1}\to A_N\propto r^{N-1}\tag{9}$$ Warum haben wir verwendet $$\int_{\infty}^{\infty}e^{-r^2}\mathrm{d}V\text{ ?}$$ Nun, es stellt sich heraus, dass dies wird $\sqrt{\pi}^N$, ein Faktor, von dem wir wissen, dass er beim Ermitteln der Oberfläche oder des Volumens einer Kugel auftaucht. Wir verwenden einfach die Integrale, um diesen Faktor und den Rest des Koeffizienten zu berechnen $C_N$.

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Ein viel einfacherer Beweis (das bringt es auf den Punkt!)

Dies ist eigentlich eine wirklich einfache Methode, aber Sie werden vielleicht nicht sofort daran denken. Eine Antwort von Colin Pratt auf Mathematics Stack Exchange gibt eine gute 30-Sekunden-Einführung in die$N=3$Fall.

Berechnen wir zunächst das Volumen von an$N$-Kugel. Wir können auf das verweisen, was wir oben getan haben, und feststellen, dass das Volumen der Region in$N$-dimensionaler Raum kann durch gefunden werden

$$\int\cdots\int_V\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_N$$ Allerdings können wir dies dann in hypersphärische Koordinaten übersetzen . Wir finden, dass das Volumenelement ist $$\mathrm{d}V=r^{N-1}\left(\prod_{i=2}^{N-1}\sin^{N-i}(\phi_i)\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi_1\cdots\mathrm{d}\phi_{n-1}$$ Wir integrieren dies dann, um das Volumen der Kugel zu finden. Seien Sie jedoch vorsichtig bei der Auswahl Ihrer Grenzen.

Als nächstes können wir die Oberfläche durch das Volumen finden. Interessanterweise

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=A$$ für alle Abmessungen von $N$. Es ist auch kein Zufall. Wenn wir also das Volumen kennen, können wir die Oberfläche finden.

Wenn Sie davon ausgehen, dass der natürliche Zustand des Universums darin besteht, dass alles in einer kosmischen Singularität zusammengeballt ist, dann können Sie die Schwerkraft neu definieren als „die Kraft, die das verhindert“, die mit zunehmender Entfernung von einem Objekt zunimmt.

Nehmen Sie die folgenden Aussagen:

1: Der natürliche Zustand des Universums, wenn alles an einem Ort ist und das Universum eine Kraft ausübt, um dies zu bewirken. Von dieser Aussage muss ausgegangen werden.

2: Nicht alles ist an einem Ort, und die Dinge ruhen.

3: Daher gibt es eine Kraft, die alles daran hindert, an einem Ort zu sein, die gegen den universellen Zusammenbruch ausbalanciert ist. Wir wissen aus Experimenten, dass wir diese Kraft an der Oberfläche des Planeten weniger stark spüren und umso stärker, je weiter wir uns von ihr entfernen.

4: Diese Kraft wächst also mit dem umgekehrten Quadrat der Entfernung von einem Objekt.

Es ist alles eine Frage der Perspektive. Leider ist diese besondere Perspektive ziemlich erfunden, kontraintuitiv und wirklich nicht so nützlich, da es einfacher ist anzunehmen, dass der natürliche Zustand des Universums darin besteht, in Ruhe zu sein, und die Kraft Dinge anzieht, die mit dem Quadrat der Entfernung (auch bekannt als Schwerkraft) abnimmt ). An dieser Stelle gilt die hervorragende Antwort von HDE 226868 zur Natur von Kugeln und Flussmitteln.

Wenn Sie andererseits ein ganz anderes Universum aufbauen, müssen die Bewohner dieses Universums nicht die gleiche Vorstellung davon haben, was einfach definiert. Vielleicht ist es für sie einfacher anzunehmen, dass das Universum ständig versucht zu kollabieren. Wer weiß?