Wie würde das Periodensystem eines 4-dimensionalen Universums aussehen?

In vier Dimensionen hat man keine Rotationsachse ( feste Gerade), sondern eine Rotationsebene ( feste Ebene). Allerdings hat nicht jede 4D-Rotation eine Rotationsebene; es gibt Drehungen, die keine Fixpunkte (außer dem Ursprung) haben. Tatsächlich haben Rotationen in 4 Dimensionen sechs Parameter statt der drei, die wir aus dem 3D-Raum kennen. Die entsprechende Rotationsgruppe ist bekannt als$SO(4)$(im Gegensatz zu$SO(3)$für den 3D-Raum). Alles darüber kannst du auf Wikipedia nachlesen.

Um den entsprechenden Quantenspin zu erhalten, müssen wir nach seiner universellen Deckgruppe suchen. Die universelle Abdeckung von$SO(4)$ist$S^3_L\times S^3_R$(siehe den verlinkten Wikipedia-Artikel), der eine Doppelabdeckung von ist$SO(4)$(genau wie in der$SO(3)$Fall). Hier$S^3$ist die Gruppe der Einheitsquaternionen. Da die Gruppe der Einheitsquaternionen isomorph zu ist$SU(2)$, das bedeutet, dass die universelle Abdeckung von$SO(4)$ist isomorph zu$SU(2)\times SU(2)$.

Dies verleiht dem Spin von 4-dimensionalen Teilchen eine viel reichhaltigere Struktur. Während in drei Dimensionen die Darstellung durch eine Zahl (den Gesamtspin) gekennzeichnet ist, werden vierdimensionale Teilchen durch zwei Zahlen klassifiziert, die als Links-Spin und Rechts-Spin bezeichnet werden können, entsprechend der linken und rechten Clifford-Rotation .

Das einfachste Teilchen wäre immer noch das spinlose Teilchen mit Spin$(0,0)$. Die niedrigsten nicht-spinlosen Teilchen würden jedoch in zwei Arten auftreten, mit Spin$(1/2,0)$und$(0,1/2)$. Jeder von ihnen hätte nur zwei Ebenen. Es könnte jedoch sein, dass es eine zusätzliche Symmetrie zwischen Linksspin und Rechtsspin gibt, in diesem Fall könnten diese beiden unterschiedlichen Teilchentypen tatsächlich als eine Teilchensorte mit vier verschiedenen Spinzuständen angesehen werden. Das ist jedoch nicht wirklich notwendig; es ist genauso gut möglich, dass Teilchen mit Spin$(1/2,0)$sind von Teilchen mit Spin unterscheidbar$(0,1/2)$.

Nehmen wir jedoch der Einfachheit halber an, dass es tatsächlich eine solche Symmetrie gibt. Und nehmen wir an, dass Elektronen solche sind$\{1/2,0\}$Partikel (mit geschweiften Klammern, um zu betonen, dass die Reihenfolge keine Rolle mehr spielt, da alle Befehle enthalten sind). Dann würden Sie tatsächlich vier Elektronen pro Ebene erhalten (ohne Berücksichtigung von Feinstruktureffekten).

Das wäre aber nicht die einzige Auswirkung auf das Periodensystem: Auch der Bahndrehimpuls der Elektronen würde sich an den beiden Quantenzahlen orientieren; aber analog zum 3D-Fall würden Sie nur tatsächlich erhalten$SO(4)$Darstellungen (also ganzzahlige Quantenzahlen). Wo Sie also ein Paar Quantenzahlen erhalten$l$und$m$für 3D würden Sie zwei davon für 4D bekommen.

Unter der Annahme, dass die Hauptquantenzahl nicht betroffen ist, erhalten Sie die folgenden Orbitalquantenzahlen:

(n; l1, m1; l2, m2; s1; s2)

Unter der Annahme, dass in führender Ordnung die Energie immer noch von dominiert wird$n$, und die Beschränkungen auf$l$einzeln wie in 3D sind (das könnte man explizit prüfen, aber das ist mehr als ich spät in der Nacht bereit bin zu tun), würden Sie daher die folgenden niedrigsten Entartungen für jeden erhalten$n$(angehoben durch Feinstruktur), gegeben durch (Linksdrehimpuls)×(Rechtsdrehimpuls)×(Spins):

• $n=1$: vierfache Entartung ($1\times 1\times 4$)
• $n=2$:$64$-fache Entartung ($4\times 4\times 4$)
• $n=3$:$324$-fache Entartung ($9\times 9\times 4$)

Beachten Sie, dass wir bereits bei Elementnummer 392 sind, wenn die ersten drei Schalen gefüllt sind.

Leider weiß ich nicht genug über Kernphysik, um zu sagen, was die magischen Zahlen wären und bis zu welcher Elementzahl Kerne noch stabil wären.

Beachten Sie auch das, selbst wenn Sie davon ausgehen$(1/2,0)$-Spin-Teilchen u$(0,1/2)$-Spin-Teilchen sind inäquivalent, und Elektronen sind zB$(1/2,0)$Partikel, dies würde die obigen Zahlen nur halbieren.

Bearbeiten: Mir ist aufgefallen, dass ich den wichtigsten Unterschied in vier Dimensionen übersehen habe: Dank der Maxwell-Gleichung$\vec\nabla\cdot\vec E = \rho/\epsilon_0$wir steigen gegen eine Punktgebühr ein$d$Dimensionen ein Feld, das als abfällt$1/r^{d-1}$, und daher ein Potential, das als abfällt$1/r^{d-2}$. Für vier Dimensionen hat dies weitreichende Konsequenzen:

• In der Quantenmechanik ein attraktives$1/r^2$Potential hat keinen Grundzustand. Nun wird das reale Potential von dem im Kern abweichen, da der Kern eine endliche Größe hat. Das bedeutet aber, dass die Lage des Grundzustandes sehr stark von der Ladungsverteilung des Kerns abhängt; Anders als in drei Dimensionen wird die Annäherung als Punktladung nicht gut funktionieren. Das bedeutet, dass das Periodensystem ziemlich durcheinander geraten könnte, da die Ladungsverteilung nicht nur von der Anzahl der Protonen, sondern auch von der Anzahl der Neutronen abhängt (weil diese Zahl in die Größe eingeht). Dies kann zu merklichen Unterschieden zwischen Atomen führen, die sich nur in der Anzahl der Neutronen unterscheiden (und daher in unserer 3D-Welt im Wesentlichen die gleichen Eigenschaften haben würden).
• Da geht auch das Zentrifugalpotential mit$1/r^2$(aber abstoßend ist) unabhängig von der Dimension , und somit in 4D von der gleichen Form wie die Anziehungskraft des Kerns wäre, würde jeder Drehimpuls außerhalb des Kerns einfach wie eine Verringerung der Kernladung wirken. Dies bedeutet insbesondere, dass ein maximaler Drehimpuls erreicht werden kann, bevor Elektronen nicht mehr gebunden werden.