Wärmegleichung: Wärmekern als t→0t→0t\to0

Betrachten Sie den Wärmefluss auf einem unendlichen 1D-Draht. Die Temperatur T(x,t) gehorcht der Diffusionsgleichung,

∂ T ∂ T = D ∂ 2 T ∂ X 2
mit Anfangszustand T ( X , 0 ) = δ ( X ) .

Der Wärmekern ist gegeben durch:

T [ X , T ] = 1 4 π D T exp ⁡ ( − X 2 4 D T )

Ich wurde gebeten, zu überprüfen, ob der Wärmekernel eine Lösung ist. Es ist leicht zu zeigen, dass dies die Wärmegleichung erfüllt. Um jedoch den Anfangszustand zu überprüfen T = 0 , muss ich die Grenze als nehmen T → 0 (So ​​wie es aussieht, schießt es ins Unendliche). Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das macht?

Der exponentielle Abfall sollte viel schneller sein als die inverse Quadratwurzel, die gegen unendlich tendiert - daher halte ich Ihre Annahme der Divergenz nicht für richtig. Und T ( X , T ) = δ ( X ) für T → 0 , also verstehe ich deinen Kommentar nicht @lemon
In der Tat haben Sie recht! Es konvergiert zu DiracDelta[x] als t->0, obwohl es so aussieht, als würde es divergieren. Meine Frage ist, wie ich beweisen werde, dass die Grenze gegen DiracDelta konvergiert. Moretti hatte unten einen umfassenden Beweis geliefert:)

Antworten (3)

Es ist leicht. Beachten Sie das

T [ X , T ] = F ( X / S ) S
Wo S = T Und F ( X ) = T [ X , 1 ] . Seit
∫ R F ( X ) D X = 1
wir haben auch
∫ R F ( X / S ) S D X = 1
einfach durch eine triviale Änderung von Variablen, Definition z = X / S Wo S > 0 . Nehmen Sie nun eine beschränkte stetige Funktion G : R → C , mit der oben erwähnten Änderung der Variablen haben wir
∫ R F ( X / S ) S G ( X ) D X = ∫ R F ( X / S ) S G ( S X / S ) S D X / S = ∫ R F ( z ) G ( S z ) D z .
Deshalb
lim T → 0 + ∫ R T [ X , T ] G ( X ) D X = lim S → 0 + ∫ R F ( z ) G ( S z ) D z = ∫ R F ( z ) G ( 0 ) D z = G ( 0 ) ∫ R F ( z ) D z = G ( 0 ) 1 = G ( 0 ) .
Mit anderen Worten
(1) lim T → 0 + ∫ R T [ X , T ] G ( X ) = G ( 0 ) .
Die einzig entscheidende Passage ist
lim S → 0 + ∫ R F ( z ) G ( S z ) D z = ∫ R lim S → 0 + F ( z ) G ( S z ) D z
Eine recht milde Bedingung, die den Durchgang garantiert, ist das G wie bereits gefordert beschränkt (als Folge des Satzes von Lebesgue über die dominierte Konvergenz ).
Ich betone, dass (1) (wo G eine glatte, kompakt unterstützte Funktion ist und wir das Ergebnis mit viel schwächeren Hypothesen erhalten haben) ist eine der Möglichkeiten, dies rigoros zu sagen
T [ X , 0 + ] = δ ( X ) .
Der Wärmekern wird verwendet, um die Lösung der Wärmegleichung zu konstruieren G = G ( X , T ) aus dem Ausgangszustand G ( X ) :
G ( X , T ) = ∫ R T [ X − j , T ] G ( j ) D j
erfüllt
∂ G ∂ T = D ∂ 2 G ∂ X 2
für T > 0 mit Anfangszustand
G ( X , 0 ) = G ( X ) .
Der Beweis folgt unmittelbar aus (1).

Vielen Dank für Ihre Hilfe! Ich werde das morgen früh als erstes durcharbeiten :)
Also habe ich den Wärmekern in eine periodische Version umgewandelt, sodass er jetzt einen Umfang modelliert. Ich habe x -> x+n gemacht, und n wird über ZIE T(x,t) -> T(x+n, t) ausgewertet und dies kann auf ∑ Exp(-Dt(2πn)^2) reduziert werden * Exp(2πinx) unter Verwendung der Poisson-Formel (summiert über Z), werde ich diese neue Gleichung S(x, t) nennen.
Wenn ich nun einen neuen Anfangswert vorgebe: g(x) = ∑dn Exp(2πinx) Und ich möchte S(x, t) mit dieser neuen Anfangsbedingung umschreiben. Mir wurde gesagt, dass dies mit der Convolution/Greens-Methode erfolgen kann? Also habe ich folgendes gemacht: ∑ ∫dy. { [Exp(-Dt(2πn)^2) * Exp(2πin (xy) )] * [dn Exp(2πiny)] } wobei das Integral bezüglich der Randbedingung ausgewertet wird, in diesem Fall ist es nur [-0,5, 0,5], da f(x+n) die Periode T=1 hat; und die Summierung ist über Z. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich die Faltung dessen, was sich innerhalb der Summierungen befindet, durchführen und die Summierung außerhalb des Integrals belassen könnte.

Eine andere Möglichkeit, Valter Morettis Antwort mit einem etwas veralteten (aber insgesamt strengen) Begriff von verallgemeinerten Funktionen zu erhalten, besteht darin, einfach Folgendes zu bezeugen:

∫ − ∞ ∞ T ( X , T ) D T = 1

dh T ist eine normalisierte Gaußsche Funktion von X und deshalb können wir uns die Äquivalenzklasse von Folgen vorstellen, die von der Folge prototypisiert werden T ( X , 1 ) , T ( X , 1 2 ) , T ( X , 1 3 ) , ⋯ als verallgemeinerte Funktion δ ( X ) wie in MJ Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions" definiert . Hier begreifen wir eine verallgemeinerte Funktion nicht in erster Linie als ein Mitglied des algebraischen Duals des Schwartz-Raums, sondern eher als eine Äquivalenzklasse von Folgen von Funktionen, wo die Äquivalenzbeziehung ist F = { F N ( X ) } N = 0 ∞ ∼ G = { G N ( X ) } N = 0 ∞ iff lim N → ∞ ⟨ F N , H ⟩ = ⟨ G N , H ⟩ ∀ H ∈ S Wo S ist der Schwartz-Raum. Also haben wir nach der Lighthill-Definition von δ , Das T ( X , 0 + ) = δ ( X ) und der Rest von Valters Antwort folgt.

Nun, ich gebe zu, dass dies ein bisschen wie eine dumme Antwort erscheinen mag, weil ich im Wesentlichen nur sage: "Es ist wahr, weil dies eine mögliche Definition von Dirac-Delta ist", aber es erinnert an einen Ansatz für die Einführung in die Begriff der verallgemeinerten Funktionen (der Lighthill/Temple-Ansatz), der immer noch manchmal in einführenden Darstellungen der Idee verwendet wird. Wenn dieser Ansatz diskutiert wird, wird der Wärmekern oft explizit als Lighthills "Prototyp" für die herausgegriffen δ Äquivalenzklasse. Manchmal finde ich es hilfreich, auf diese Weise an verallgemeinerte Funktionen zu denken, um bestimmte Ergebnisse zu sehen. Deshalb habe ich geantwortet, weil Ihre Frage schöne Erinnerungen an mein erstes Verständnis der rigorosen Vorstellung einer verallgemeinerten Funktion durch Lighthills Ansatz wachrief.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich werde versuchen, daran zu arbeiten :)

Nehmen Sie das Integral von T über x von - unendlich bis + unendlich und zeigen Sie, dass es immer gleich 1 ist.

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