Dies ist eine wenig genaue - aber einfache - Antwort

Es erlaubt Ihnen, nur die radiale Ausrichtungskonfiguration der Planeten zu berechnen.

Wenn Sie eine Annäherung wünschen, sagen wir, Sie nähern sich der Position der Planeten als Zeiger in einer Uhr an, könnten Sie die Mathematik mit so etwas ausarbeiten.

Annehmen$\theta_i$ist der Anfangswinkel für Planeten$i$zum Zeitpunkt$t_0$- gemessen von einer beliebigen, aber festen Position, und$l_i$ist die Länge des Jahres - in Tagen - für Planet$i$.

Dann geht es weiter mit der Lösung dieses Gleichungssystems:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Von hier aus würden Sie dann einfach den chinesischen Restsatz anwenden .

Wenn Sie das Minimum x finden, erhalten Sie den Winkel, in dem sich der Planet befindet$t_0$Winkel hatte$\theta_i = 0$gereist wäre, bis eine Ausrichtungskonfiguration erreicht wurde. Angenommen, Sie wählen die Erde als den erwähnten Planeten, dann teilen Sie diesen Winkel durch eine vollständige Umdrehung ($360^{o}$) und Sie erhalten die Anzahl der Jahre, für die diese Konfiguration erreicht werden muss - von der$t_0$Aufbau.

Der Unterschied$\theta_i$in Grad für alle Planeten am 1. Januar 2014 - Sie können dies als Ihre verwenden$t_0$:

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Quelle

Der Unterschied$l_i$in Tagen für alle Planeten:

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Schließlich lautet die Antwort unter einer Annäherung an ganzzahlige Werte und unter Verwendung dieses Online-Lösers für das Gleichungssystem$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$was dividiert durch$360^{o}$gibt dir ungefähr

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Bearbeiten 1

Ich habe gerade diese Seite gefunden, mit der Sie vielleicht gerne herumspielen möchten. Es ist eine interaktive Flash-Anwendung mit der genauen Position der Planeten.

Ich weiß auch, dass alle Informationen von dieser NASA-Seite abgerufen werden können, und das ist so genau, wie Sie es bekommen können, aber es ist für mich jetzt einfach unverständlich. Ich werde versuchen, es später zu überarbeiten, wenn ich Zeit finde.

Auch dieses Buch von Jean Meeus mit dem Titel Astronomical Algorithms behandelt alle grundlegenden Gleichungen und Formeln - es hat jedoch nichts mit Programmieralgorithmen zu tun.

Bearbeiten 2

Da Sie ein Programmierer sind, könnte es sich für Sie lohnen, die oben erwähnte NASA-Site zu besuchen, über die Sie sogar auf die Daten aller Planeten zugreifen können$\tt{telnet}$. Oder diese Sourceforge-Site, wo sie Implementierungen für viele der Gleichungen haben, die in dem ebenfalls oben erwähnten Buch beschrieben sind.

Die richtige Antwort lautet aus mehreren Gründen „ nie “. Erstens , wie in Florins Kommentar ausgeführt, sind die Umlaufbahnen der Planeten nicht koplanar und können daher unmöglich ausgerichtet werden, selbst wenn jeder Planet willkürlich in seiner Umlaufbahnebene platziert werden könnte. Zweitens kommt es nie zu einer reinen radialen Ausrichtung , weil die Perioden des Planeten inkommensurabel sind – ihre Verhältnisse sind keine rationalen Zahlen. Schließlich entwickeln sich die Umlaufbahnen der Planeten über Zeitskalen von Millionen von Jahren, hauptsächlich aufgrund ihrer gegenseitigen Anziehungskraft. Diese Entwicklung ist (schwach) chaotisch und daher für sehr lange Zeit unvorhersehbar.

Die falsche Antwort von Harogaston nähert die Umlaufzeiten im Wesentlichen durch die nächsten kommensurablen Zahlen an, was eine sehr lange Zeit ergibt (obwohl er das nur um einen Faktor falsch gemacht hat$10^{16}$).

Eine viel interessantere Frage (und vielleicht diejenige, an der Sie eigentlich interessiert waren) ist, wie oft sich die 8 Planeten fast radial ausrichten . Hier könnte „ fast “ einfach „ innerhalb “ bedeuten$10^\circ$von der Sonne aus gesehen '. Bei einer solchen Gelegenheit wird sich die gegenseitige Anziehungskraft der Planeten ausrichten und somit zu stärkeren Orbitaländerungen als im Durchschnitt führen.

Jede Schätzung der gemeinsamen Periode von mehr als zwei Planeten (dh nach wie viel Zeit richten sie sich ungefähr wieder in heliozentrischer Länge aus?) hängt sehr stark davon ab, wie viel Abweichung von der perfekten Ausrichtung akzeptabel ist.

Wenn die Periode des Planeten$i$ist$P_i$, und ob die zeitliche Abweichung akzeptabel ist$b$(in den gleichen Einheiten wie$P_i$), dann der kombinierte Zeitraum$P$von allen$n$Planeten ist ungefähr

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ Eine Verringerung der akzeptablen Abweichung um den Faktor 10 bedeutet also eine Erhöhung der gemeinsamen Periode um den Faktor $10^{n-1}$, was für 8 Planeten ein Faktor von 10.000.000 ist. Es ist also sinnlos, einen gemeinsamen Zeitraum anzugeben, wenn Sie nicht auch angeben, wie viel Abweichung akzeptabel war. Wenn die akzeptable Abweichung auf 0 abfällt (um eine "perfekte Ausrichtung" zu erreichen), erhöht sich die gemeinsame Periode auf unendlich. Dies entspricht den Aussagen mehrerer Kommentatoren, dass es keine gemeinsame Periode gibt, weil die Perioden nicht angemessen sind.

Für die von Harogaston aufgelisteten Perioden der Planeten,$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$wenn die$P_i$werden in julianischen Jahren mit jeweils 365,25 Tagen gemessen, so dass die übliche Periode in Jahren ungefähr ist

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ wenn $b$wird ebenfalls in Jahren gemessen. Wenn die Perioden auf den nächsten Tag angenähert werden, dann $b \approx 0.00274$Jahre und $P \approx 1.2\times10^{24}$Jahre. Wenn die Perioden auf die nächsten 0,01 Tage angenähert werden, dann $b \approx 2.74\times10^{-5}$und $P \approx 1.2\times10^{38}$Jahre.

Die Ableitung der obigen Formel lautet wie folgt:

Nähern Sie die Perioden der Planeten durch Vielfache einer Basiseinheit an$b$:$P_i \approx p_i b$wo$p_i$ist eine ganze Zahl. Dann ist die gemeinsame Periode höchstens gleich dem Produkt aller$p_i$. Dieses Produkt wird immer noch in Einheiten von gemessen$b$; wir müssen mit multiplizieren$b$um zu den ursprünglichen Einheiten zurückzukehren. Die gemeinsame Periode ist also ungefähr

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

Die obige Herleitung berücksichtigt nicht, dass die$p_i$möglicherweise gemeinsame Faktoren haben, so dass die Ausrichtung früher als erfolgt$\prod_i p_i$schlägt vor. Unabhängig davon, ob zwei oder nicht$p_i$gemeinsame Faktoren haben, hängt stark vom gewählten Basiszeitraum ab$b$, ist also praktisch eine Zufallsvariable und beeinflusst die globale Abhängigkeit von nicht$P$an$b$.

Wenn Sie die akzeptable Abweichung als Winkel und nicht als Zeit ausdrücken , dann erwarte ich, dass Sie Antworten erhalten, die genauso stark von der Größe der akzeptablen Abweichung abhängen wie für die obige Formel.

Siehe http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html für eine Grafik von$P$als Funktion von$b$für alle Planeten einschließlich Pluto.

BEARBEITEN:

Hier ist eine Schätzung mit akzeptabler Winkelabweichung . Wir möchten, dass alle Planeten innerhalb eines Breiten-Längen-Bereichs liegen$δ$zentriert auf dem Längengrad des ersten Planeten; der Längengrad des ersten Planeten ist frei. Wir gehen davon aus, dass sich alle Planeten auf koplanaren Kreisbahnen um die Sonne in die gleiche Richtung bewegen.

Da die Perioden der Planeten nicht gleich sind, treten alle Längenkombinationen der Planeten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Die Wahrscheinlichkeit$q_i$dass zu einem bestimmten Zeitpunkt der Längengrad des Planeten$i > 1$innerhalb des Breitensegments liegt$δ$zentriert auf der Länge von Planet 1 ist gleich

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Die Wahrscheinlichkeit$q$dass Planeten 2 durch$n$befinden sich alle innerhalb desselben Längengradabschnitts, der dann auf Planet 1 zentriert ist

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Um diese Wahrscheinlichkeit in einen durchschnittlichen Zeitraum zu übersetzen, müssen wir abschätzen, wie lange alle Planeten ausgerichtet sind (nach innen$δ$) jedes Mal, wenn sie alle ausgerichtet sind.

Die ersten beiden Planeten, die ihre gegenseitige Ausrichtung verlieren, sind die schnellsten und langsamsten der Planeten. Wenn ihre synodische Periode ist$P_*$, dann werden sie für ein Intervall ausgerichtet sein

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ und dann für einige Zeit aus der Ausrichtung heraus, bevor sie wieder in Ausrichtung kommen. Jede Ausrichtung aller Planeten dauert also etwa ein Intervall $A$, und alle diese Ausrichtungen zusammen decken einen Bruchteil ab $q$aller Zeiten. Ist die durchschnittliche Zeitspanne, nach der eine erneute Ausrichtung aller Planeten erfolgt ist $P$, dann müssen wir haben $qP = A$, So $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Wenn es nur zwei Planeten gibt, dann$P = P_*$Egal ob$δ$, was wie erwartet ist.

Wenn es viele Planeten gibt, dann ist der schnellste Planet viel schneller als der langsamste, also dann$P_*$entspricht fast der Umlaufzeit des schnellsten Planeten.

Auch hier ist die Schätzung der durchschnittlichen Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ausrichtungen sehr empfindlich gegenüber der gewählten Abweichungsgrenze (wenn mehr als zwei Planeten beteiligt sind), daher ist es sinnlos, einen solchen kombinierten Zeitraum anzugeben, wenn Sie nicht auch erwähnen, was Abweichung war erlaubt.

Es ist auch wichtig, sich daran zu erinnern, dass (bei mehr als zwei Planeten) diese (Fast-)Ausrichtungen aller nicht in regelmäßigen Abständen auftreten.

Lassen Sie uns nun einige Zahlen einsetzen. Wenn Sie möchten, dass alle 8 Planeten innerhalb von 1 Längengrad ausgerichtet sind, dann ist die durchschnittliche Zeit zwischen zwei solchen Ausrichtungen ungefähr gleich$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$Umlaufbahnen des schnellsten Planeten. Für das Sonnensystem ist Merkur der schnellste Planet mit einer Periode von etwa 0,241 Jahren, also beträgt die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Ausrichtungen aller 8 Planeten auf 1 Längengrad genau$5×10^{14}$Jahre.

Wenn Sie bereits mit einer Ausrichtung innerhalb von 10 Längengraden zufrieden sind, dann ist der durchschnittliche Zeitraum zwischen zwei solchen Ausrichtungen ungefähr gleich$P = 36^6 = 2.2×10^9$Umlaufbahnen des Merkur, die etwa 500 Millionen Jahre beträgt.

Was ist die beste Ausrichtung, die wir in den kommenden 1000 Jahren erwarten können? 1000 Jahre sind also etwa 4150 Merkurumläufe$(360°/δ)^6 \approx 4150$, So$δ \approx 90°$. In einem zufällig gewählten Intervall von 1000 Jahren gibt es durchschnittlich eine Ausrichtung aller 8 Planeten innerhalb eines Segments von 90°.

Es gibt einen viel einfacheren Weg, dies zu tun.

1) Schlagen Sie die Länge des Sonnenjahres in Erdentagen nach

2) Multiplizieren Sie die Länge der Jahre wie folgt: Merkurjahr * Venusjahr * Erdenjahr * Marsjahr * Jupiterjahr * Saturnjahr * Uranusjahr * Neptunjahr

3) Teilen Sie durch 365, um Erdjahre zu erhalten.

Und Sie haben eine Zeit, in der sie sich wieder in Längsrichtung ausrichten (was bedeutet, dass die Winkel unterschiedlich sind, aber von oben gesehen würden sie eine Linie bilden). Es wird sich nicht auf eine höhere Frequenz ausrichten, da einige dieser Planeten eine dezimale Anzahl von Erdentagen in ihrem Jahr haben.

Technisch gesehen besteht der wahre Weg, um den Zeitraum zwischen der Ausrichtung aller 8 Planeten zu finden, darin, das LCM aller 8 ihrer Jahreslängen zu finden.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Ich verstehe, dass dies eine grobe Schätzung ist, da diese auf die nächste ganze Zahl gerundet sind, aber es gibt eine gute Vorstellung von der Anzahl der Tage würde nehmen.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. So viele Jahre.