Warum beschleunigt eine Ballerina, wenn sie ihre Arme einzieht?

Dies ist eine ziemlich lange Antwort, aber ich dachte, es würde Spaß machen, den Skater zu analysieren, der nur an Kräfte denkt. Der Drehimpuls kommt am Ende hinzu, wenn er unvermeidlich auftaucht. Ich werde eine qualitative Antwort geben, die die Kräfte im System beschreibt und wie sie eine Drehung verursachen, und dann eine quantitative Antwort, um die Drehungsrate zu berechnen.

Qualitative Antwort

Wenn eine Schlittschuhläuferin ihre Arme und Beine einzieht, üben ihre Arme und Beine ein Drehmoment auf ihren Körper aus, wodurch sie sich schneller dreht.

Stellen Sie einen Teller vor sich hin. Versuchen Sie, an verschiedenen Stellen und in verschiedene Richtungen weiterzufahren. Sie können sich einen Pfeil vorstellen, der in Richtung der Kraft zeigt, ausgehend von dem Punkt, an dem Sie drücken. Wenn dieser Pfeil auf die Mitte der Platte zeigt, dreht sich die Platte nicht. Andernfalls wird es.

In diesem Bild zeigen die roten Pfeile Kräfte auf der grauen Platte an. Die mit "Spin" bezeichnete Kraft bewirkt eine gewisse Drehung der Platte (zusätzlich zu ihrer Beschleunigung als Ganzes), da die gestrichelte Linie "j" dieser Kraft nicht durch die Mitte der Platte geht. Die mit "NoSpin" bezeichnete Kraft beschleunigt die Platte nur und verursacht keine Drehung, da sie auf einer Linie liegt, die durch die Mitte der Platte verläuft.

An der kreisförmigen Platte in diesem Beispiel ist nichts Besonderes. Jede andere Form würde auch funktionieren, aber Sie müssten den Mittelpunkt durch den Massenmittelpunkt definieren .

Um zu sehen, dass sich die Skaterin dreht, wenn sie ihre Arme einzieht, müssen wir die Kräfte finden, die auf ihren Körper ausgeübt werden, während sie ihre Arme einzieht. Dann können wir sehen, ob diese Kräfte direkt auf ihre Körpermitte zeigen oder nicht .

Wir modellieren einen Schlittschuhläufer als Massenkreis$M$mit einem masselosen Stab, der durch ihn hindurch zeigt, und zwei weiteren Massekreisen$m$an beiden Enden des Sticks. Die Skaterin kann die kleinen Kreise beim Drehen nach innen oder außen bewegen. Hier ist ein Bild des Aufbaus, zusammen mit dem Weg, den ihre "Arme" (die kleinen Kreise) nachzeichnen, wenn sie sie beim Drehen überhaupt nicht einzieht.

Wenn Sie sich vorstellen, beim Drehen etwas Schweres in Ihren Armen zu halten, würden sich Ihre Arme anfühlen, als würden sie aus ihren Gelenken gezogen. Tatsächlich sind sie es. Ihre Arme üben eine Kraft auf die Gewichte direkt nach innen in Richtung Ihres Körpers aus, und die Gewichte üben eine gleiche und entgegengesetzte Kraft direkt nach außen aus.

Jede Kraft ist farbcodiert, je nachdem auf welchen Körper sie wirkt.$F_1$, zum Beispiel, ist die Kraft, die der rote Arm auf den Skater ausübt. (Diese Kraft wird wirklich auf den Stock ausgeübt, der starr mit dem Skater verbunden ist.)

Beide blauen Kräfte liegen auf einer Linie, die durch die Mitte des Skaters verläuft, sodass sich die Rotationsrate des Skaters in diesem Szenario nicht ändert. Solange sie ihre Arme auslässt, dreht sie sich mit derselben Geschwindigkeit (Reibung oder andere Energieverluste werden vernachlässigt).

Jetzt stellen wir uns vor, wie die Skaterin ihre Arme einzieht. Wenn Sie den Pfad beobachten, den die "Arme" (kleine Kreise) nachzeichnen, sehen Sie eine Spiralform.

Hier zeigen wir die beiden Arme mit ihren vergangenen und zukünftigen Trajektorien. Die Arme drehen sich um den Skater und werden gleichzeitig eingezogen.

Schwieriger wird es, die beteiligten Kräfte hier zu finden. Die Arme bewegen sich nicht mehr in einfachen Kreisen. Jedoch gibt es zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Kreis, entlang dem sich ein bestimmter Arm zu bewegen scheint. Dies ist der Oskulationskreis . Wie zuvor gibt es eine Kraft auf den Arm, die in Richtung der Mitte des Schmiegkreises zeigt.

Das ist noch nicht alles, denn wir können nicht mehr davon ausgehen, dass die Geschwindigkeit der Arme konstant ist. Daher kann auch eine Kraft auf die Arme in Richtung ihrer Bewegung wirken. Im nächsten Bild zeichnen wir nur die Kräfte an einem Arm, damit die Dinge nicht zu unübersichtlich werden.

Dieses Bild ist auf einen Arm gezoomt. Der blaue Kreis ist immer noch der Skater. Der grüne Kreis ist der Schmiegkreis.$F_r$ist die Zentripetalkraft zum Zentrum des Schmiegkreises, der den Weg des Arms krümmt, und$F_t$ist eine (kleine) Tangentialkraft in Bewegungsrichtung, die den Arm nach oben beschleunigt.

Ohne zu wissen, wie schnell sich die Arme bewegen, wie stark sie beschleunigen und die Gleichung, die ihre Flugbahn beschreibt, ist es schwierig, genau zu sagen, wie groß diese Kräfte sein werden. Wir können jedoch sehen, dass die Kräfte im Allgemeinen nicht mehr verpflichtet sind, auf die Mitte des Skaters zu zeigen. Sie kann ihre Rotationsrate ändern, da die Kräfte nicht unbedingt auf Linien liegen müssen, die durch ihr Zentrum verlaufen.

Um zu sehen, was genau diese Kräfte sind, müssen wir eine quantitative Analyse durchführen.

Quantitative Antwort

Der Plan dieser Antwort besteht darin, die Kräfte auf die Arme zu finden, wenn sie sich spiralförmig hineinbewegen, und dann das dritte Newtonsche Gesetz zu verwenden, um die Kräfte zu finden, die die Arme auf den Stock ausüben. Als nächstes werden wir diese Kräfte mit der Änderungsrate der Energie des Skaters in Beziehung setzen. Die Energie der Skaterin kann auch direkt aus ihrer Bewegung berechnet werden, also machen wir das, nehmen eine Zeitableitung und vergleichen sie mit unserem vorherigen Ausdruck. Dies zeigt eine konservierte Größe, den Drehimpuls, der es uns ermöglicht, die Rotationsrate der Skaterin als Funktion der Anfangsbedingungen und des endgültigen Abstands der Arme von ihrem Zentrum zu finden - die Details der Form der Spirale und wie schnell die Arme eingezogen sind egal. Schließlich werden wir sehen, dass sich die Skaterin immer schneller dreht, während sie ihre Arme einzieht.

Wir verwenden Polarkoordinaten , um die Positionen der Arme zu beschreiben. Die Radialkoordinate$r$von Arm 1 ist eine Funktion seiner Winkelkoordinate$\theta$.

Mit Definition$\omega = \dot{\theta}$, wir haben

Die Beschleunigung in Polarkoordinaten ist

Die Kraft auf diesen Arm ergibt sich aus dem zweiten Newtonschen Gesetz,$\vec{F} = m\vec{a}$. Die Kraft, die der Arm auf den Stock ausübt, ist nach Newtons drittem Gesetz das Negative davon. Diese Kraft des Arms auf den Stock interessiert uns.

Wenn sich der Stick dreht, wirkt die Kraft des Arms auf den Stick auf den Stick, die in die kinetische Energie des Skaters einfließt (der Stick selbst hat keine Masse). Die Geschwindigkeit des Punktes auf dem Stock, an dem die Kraft ausgeübt wird, ist$\vec{v} = f\omega\hat{\theta}$. Die von dieser Kraft gelieferte Kraft, verdoppelt um die vom anderen Arm verrichtete Arbeit, ist

Dies ist die Änderungsrate der kinetischen Energie des Skaters. Diese kinetische Energie ist

mit$R$der Radius des Skaters. Wenn wir die Leistung mit der zeitlichen Ableitung der kinetischen Energie gleichsetzen, erhalten wir

Wenn Sie darauf starren und sich einen Moment am Kopf kratzen, ist es mathematisch äquivalent zu

Das bedeutet, dass wir etwas entdeckt haben, das sich nicht mit der Zeit ändert – eine konservierte Größe. Es heißt Drehimpuls und der Teil$MR^2 + 2mf^2$heißt Trägheitsmoment . Wir bezeichnen den Drehimpuls mit$L$und (Zurückschalten von$f$zu$r$) schreiben

Da$L$ist eine Konstante, die wir finden können$\omega$.

Wir haben die Kreisfrequenz als Funktion von$r$nur - die genaue Funktionsform von$f$spielte keine Rolle, und auch nicht, wie schnell wir den Weg zurücklegten. Solange wir es wissen$L$Von den Anfangsbedingungen haben wir das Problem gelöst.

Aus

wir sehen das, vorausgesetzt$L$ist positiv, wie$r$sinkt,$\omega$steigt, also läuft die Skaterin schneller und schneller, während sie ihre Arme einzieht.

Nein, es wird durch die Erhaltung des Drehimpulses verursacht. Das Verringern des Luftwiderstands führt nicht dazu, dass sie (oder irgendetwas anderes) ohne äußere Kraft beschleunigt.

Wie linearer Impuls ($m v$), Drehimpuls ($r \times mv$) ist eine Erhaltungsgröße, wobei$r$ist der Vektor vom Rotationszentrum. Für eine Skaterin, die eine statische Pose einnimmt, ist für jedes Partikel, aus dem ihr Körper besteht, der Betragsbeitrag zum Gesamtdrehimpuls gegeben durch$m_i r_i v_i$. Dadurch verringert sich das Einbringen ihrer Arme$r_i$für diese Partikel. Um den Drehimpuls zu erhalten, erhöht sich dann die Winkelgeschwindigkeit.

Hoffe das beantwortet deine Frage.

Joes Antwort ist natürlich richtig und ich habe ihr +1 gegeben. Lassen Sie mich jedoch einige leicht ergänzende Dinge sagen.

Immer wenn die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung im Raum abhängen, bleibt eine Zahl namens Drehimpuls erhalten. Für einen rotierenden Körper – auch den Körper einer Dame – den Drehimpuls$J$kann als Produkt des Trägheitsmoments geschrieben werden$I$und die Kreisfrequenz$\omega$(die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde, multipliziert mit$2\pi=6.28$):

Es liegt an Ihnen, ob sie sich im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Wenn die Ballerina also ihre Arme einzieht, kommt sie näher an die Achse, und$R$sinkt. Ihre Masse$M$ändert sich nichts außer dem Trägheitsmoment$I$nimmt auch ab. Da$J=I\omega$konserviert werden muss und$I$verringert,$\omega$nimmt zwangsläufig zu.

Sie können die erhöhte Kreisfrequenz der Rotation auch durch Kräfte und Drehmomente erklären. Bewegen sich die Arme näher an die Achse, üben sie ein Drehmoment auf die Ballerina aus, das sie beschleunigt. Ich würde hier einige Kreuzprodukte brauchen, aber ich fürchte, das würde nicht vollständig geschätzt werden.

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Gruß LM

Eine ganz einfache Erklärung ist folgende: Die Arme der Ballerina werden durch die Zentripetalkraft, die sie beim Drehen erfährt, nach außen gezogen. Wenn sie ihre Arme einzieht, leistet sie Arbeit, indem sie dieser Kraft nicht nur entgegenwirkt, und das ist es, was sie schneller drehen lässt.

Dies liegt daran, dass die Drehgeschwindigkeit mit der Anstrengung zusammenhängt, die die Ballerina beim Einziehen ihrer Arme aufwendet. Je näher die Arme, desto mehr Kraft muss sie aufwenden, um sie künftig zu ziehen oder in Position zu halten, und desto schneller dreht sie sich.

Als ich in der High School war, machten wir eine Hardcore-Version dieses Experiments, indem wir auf einem Stuhl saßen, der sich drehen konnte, und zwei schwere Gewichte nach außen hielten. Dann würde jemand den armen Probanden herumwirbeln und ihn bitten, die Gewichte einzuziehen ... Die Ergebnisse waren ziemlich beängstigend ... :-)

Ja, der Skater erhöht den Drehimpuls, indem er Arbeit verrichtet; Ziehen Sie ihre Arme hinein. Sie arbeiten an einer Schaukel (auf und ab sitzen), um Ihren Drehimpuls ebenfalls zu erhöhen.