Warum bewegt sich die Schwerkraft mit Lichtgeschwindigkeit?

Ja, GR sagt die luminale Ausbreitung von Gravitationswellen voraus, die inzwischen in LIGO bestätigt wurde. Die linearisierte Gravitation ist eine adäquate Annäherung an die allgemeine Relativitätstheorie: die Raumzeitmetrik,$g_{ab}$, kann als nur geringfügig von einer flachen Metrik abweichend behandelt werden,$\eta_{ab}$,

$$\begin{equation} g_{ab} = \eta_{ab} + h_{ab},\qquad ||h_{ab}|| \ll 1\;. \end{equation}$$ Der resultierende Einstein-Tensor ist dann $$G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} R \\ = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {h^c}_a + \partial^c \partial_a h_{bc} - \Box h_{ab} - \partial_a\partial_b h -\eta_{ab}\partial_c\partial^d {h^c}_d + \eta_{ab} \Box h\right)\;.$$

In Bezug auf die spurumgekehrte Störung$\bar h_{ab} = h_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} h$, dies reduziert sich auf

$$G_{ab} = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {{\bar h}^c}_{\ a} + \partial^c \partial_a \bar h_{bc} - \Box \bar h_{ab} -\eta_{ab} \partial_c\partial^d {{\bar h}^c}_{\ d}\right)\;.$$

In der Lorenz-Lehre kann dies weiter heruntergehackt werden

$$G_{ab} = -\frac{1}{2}\Box \bar h_{ab}\;,$$ eine relativistische Wellengleichung im Vakuum, wobei G _ab verschwindet, $$\left (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right ) \bar h_{ab}=0\;.$$

Diese Störung (Gravitationswelle) bewegt sich also mit Lichtgeschwindigkeit. Bei der Quantisierung können Sie leicht erkennen, dass seine Quantenanregung, das Graviton, masselos ist und sich wie alle masselosen Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegt .

Beachten Sie, dass die Gravitationsskala , die Newtonsche Konstante G oder äquivalent die Planck-Masse nur in die Kopplung dieser Welle oder dieses Teilchens an Materie (und Energie) einfließen und nicht in seine freie Ausbreitung im Raum, also in diesem schwachen Feldregime es entkoppelt hier.

Ich möchte die Antwort von Cosmas Zachos ergänzen . aber zunächst kann man sehr viel mehr Details über die Herleitung der Wellengleichung für schwache Feld-Gravitationswellen finden, wie sie in Cosmas' Zusammenfassung in Kapitel 9 "Gravitationsstrahlung" des Buches "A First Course in General Relativity" von Bernhard Schutz angegeben sind.

Die Antwort von Cosmas ist richtig, aber ich möchte darauf hinweisen, dass GTR von Anfang an so konstruiert ist , dass es eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von Gravitationswellen hat$c$, und so kann man sich auch die Maxwellschen Gleichungen vorstellen. Das heißt, ihre Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten leiten sich gleichermaßen von Gedanken und Postulaten ab, die in der speziellen Relativitätstheorie formuliert wurden (oder zumindest kann man dieses theoretische Postulat aufstellen und bisher experimentelle Ergebnisse damit in Einklang bringen).

Der Grund dafür, dass die schwache Feldanalyse in Cosmas Antwort / Schutz Kapitel 9 einen D'Alembertian mit einer Wellengeschwindigkeit von ergibt$c$ist, dass von Anfang an postuliert wird, dass die Allgemeine Relativitätstheorie als Feldgleichungen kodiert wird, die den Ricci-Tensor-Teil ( dh den Volumenvariations-kodierenden Teil ) des Krümmungs-Tensors in einer Mannigfaltigkeit einschränken, die lokal lorentzsch ist. Das "lokal lorentzianische" Bit ist hier der Clou: Für jeden Beobachter gibt es ein momentan mitbewegtes Inertialsystem, in dem die Metrik an der Raumzeitposition des Beobachters genau ist$\mathrm{d} \tau^2 = c^2\,\mathrm{d} t^2 - \mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2$wenn wir eine orthonormale Basis für den Tangentenraum an dem Punkt in Riemann-Normalkoordinaten verwenden. Natürlich muss nicht jede Theorie, die auf einer lokal Lorentzschen Mannigfaltigkeit stattfindet, eine Wellengleichung ergeben, aber die schwachen Feldvakuum-Einstein-Gleichungen haben eine Struktur, die diese Gleichung ergibt, wie in Cosmas Antwort . Die Tatsache, dass die Konstante in dieser Gleichung ist$c$greift direkt auf den lokalen Lorentzschen Charakter der Szene (der Mannigfaltigkeit) unserer theoretischen Beschreibung zurück.

Man kann sich die Maxwellschen Gleichungen genau so vorstellen, und es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Aber sobald Sie postulieren, dass die Maxwell-Gleichungen Lorentz-kovariant sind, muss die Konstante in der Wellengleichung, die sich daraus ergibt, dies auch sein$c$. Man kann mit dem Lorentzkraftgesetz beginnen und die lineare Abbildung postulieren$v^\mu \mapsto q\,F^\mu_\nu\,v^\nu$das ergibt die vier Kraft aus der vier Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens, auf das das elektromagnetische Feld einwirkt$F$ist ein gemischter Tensor. Nehmen Sie nun das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus$\nabla\cdot B=0$und postulieren, dass dies für alle Trägheitsbeobachter gilt. Aus diesem Postulat leitet man ab$\mathrm{d} F=0$wenn$F$transformiert sich tatsächlich als Tensor. Machen Sie dasselbe für das Gaußsche Gesetz für Elektrizität$\nabla\cdot E=0$im freien Raum und ableiten$\mathrm{d} \star F = 0$. Aus diesen beiden Gleichungen und dem Lemma von Poincaré erhalten wir$\mathrm{d}\star \mathrm{d} A=0$, die die D'Alembert-Gleichung enthält (mit einer Einsform$A$vorhanden so dass$\mathrm{d} A=F$, wo das Lemma von Poincaré eingesetzt wird). Und nach der eingangs postulierten Lorentz-Kovarianz muss die Wellengeschwindigkeit in dieser D'Alembert-Gleichung sein$c$.

Zusammenfassend ergibt sich also die Tatsache, dass die Wellengeschwindigkeit für beide Theorien genau gleich ist, weil sie eine gemeinsame "Quellen"-Theorie haben, nämlich die spezielle Relativitätstheorie als Ausgangspunkt, von dem sie kommen.

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Das OP hat dies wahrscheinlich bereits erkannt, aber für andere Leser gibt es wirklich nur eine elektromagnetische Konstante, genauso wie es nur eine Gravitationskonstante gibt$G$. Die aktuellen SI-Einheiten definieren genaue Werte für die Lichtgeschwindigkeit$c$, die Planck-Konstante$\hbar$, und die Einheit elektrische Ladung$e$; die elektrischen und magnetischen Konstanten$\epsilon_0$und$\mu_0$beziehen sich auf die experimentell gemessene Feinstrukturkonstante ,$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\hbar c} = \frac{e^2}{4\pi} \frac{\mu_0 c}{\hbar}$. Wie in Cosmas Antwort ,$\epsilon_0$geht nicht genauso in die Wellengleichung ein$G$kommt nicht in die Gravitationswellen-D'Alembert-Gleichung, und$\epsilon_0$(oder gleichwertig$\mu_0$oder$\alpha$) ist nur dann direkt relevant, wenn die Maxwell-Gleichungen die Kopplung der Feldvektoren an die Ladung beschreiben.