Warum gibt es Interferenzen, wenn sich Pulse räumlich und zeitlich nicht überlappen?

Das ist eine sehr gute Frage, denn wir stellen uns Spektrometer gern als Black Boxes vor, und tatsächlich gehen von außen gesehen nur zwei klar voneinander getrennte Pulse hinein, wie schaffen sie es also, zu interferieren? Die Antwort wird am deutlichsten, wenn man das Paradoxon auf den Kopf stellt: Was auch immer das Interferometer tut, es muss die Signale der beiden Impulse kohärent kombinieren und sie so manipulieren, dass sie räumlich und zeitlich zusammenfallen.

Es gibt einen klaren, grundlegenden Weg, um zu sehen, dass die Pulse einfach nicht so klar getrennt sind, wie Sie denken. Wie Sie gut bemerken, wenn die Impulse zeitlich durch eine Verzögerung getrennt sind$T$, oszilliert das Spektrum mit einem Scheitel-zu-Scheitel-Abstand von$1/T$. Um diese Interferenzen sehen zu können, müssen Sie jedoch im Frequenzraum mit einer höheren Auflösung abtasten, dh Ihr Spektrometer muss in der Lage sein, zwischen Signalen zu unterscheiden, die durch getrennt sind$\frac{1}{2T}$an Häufigkeit.

Das bedeutet insbesondere, dass die Beobachtungen mindestens eine gewisse Zeit in Anspruch nehmen müssen$2T$, um dem Zeit-Bandbreiten-Theorem zu entsprechen: Ihr Spektrometer muss mindestens so lange auf kohärente Weise mit den Impulsen interagieren. Das bedeutet, dass das, was Sie für einen langen Abstand zwischen den Impulsen hielten, überhaupt nicht so lang ist, und soweit das Spektrometer geht, liegen sie tatsächlich innerhalb des gleichen Zeitintervalls.

Über diese Art grundlegender Beobachtung hinauszugehen, ist etwas schwierig, da der Begriff "Spektrometer" spektakulär weit gefasst ist und eine enorme Bandbreite von Geräten umfasst, die auf unterschiedliche Weise mit dem Signal interagieren, und jedes von ihnen wird dieser grundlegenden langen Lebensdauer entsprechen. Kohärenzzeitanforderung auf unterschiedliche Weise. (Tatsächlich haben Sie deutlich gemacht, dass Sie an Licht denken, aber das gleiche Paradoxon gilt z. B. für HF in einem Draht oder Druckwellen in einem Rohr, daher muss die Antwort auch für diese Kontexte gelten.)

Es ist jedoch sehr, sehr schwer, darüber in allgemein abstrakten Begriffen nachzudenken, also lassen Sie mich dies mit ein paar Beispielen veranschaulichen, eines davon relativ allgemein und eines davon spezifischer für Licht.

• Lassen Sie mich zu Beginn ein abstraktes Modell eines Spektrometers erstellen, das die Aufgabe hat, das Leistungsspektrum eines Signals zu messen$f(t)$bei einer diskreten Frequenzabtastung$\nu_1,\cdots,\nu_N$gleichmäßig durch einen Abstand getrennt$\delta\nu$.

  Ich werde dies auf abstrakte Weise tun, indem ich mein Signal mit einer Reihe gedämpfter harmonischer Oszillatoren mit diesen Resonanzfrequenzen koppele, mit einem Diagramm, das mehr oder weniger so aussieht:

  

  Jeder Oszillator kann sein Signal von verschiedenen Punkten entlang der Pipeline oder alle am selben Punkt erhalten. Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass jede Kopplung einen vernachlässigbaren Einfluss auf das Signal hat.

  Jeder dieser Oszillatoren hat eine Bewegungsgleichung des Typs$\ddot x_i +\gamma\dot x_i +(2\pi \nu_i)^2 x_i = f(t)$, und jeder wird resonant auf Signale mit Frequenz reagieren$\nu_i$oder innerhalb einer Bandbreite${\sim}\gamma$davon. Hier$\gamma$wird als "klein" gewählt, was bedeutet, dass es in der Größenordnung von liegen muss$\delta\nu$, oder etwas kleiner.

  Darüber hinaus gibt es eine weitere entscheidende Zutat, um tatsächlich die erforderliche spektrale Auflösung zu erhalten, und das ist die Anforderung, dass die Beobachtungszeit$\tau$länger sein als$1/\delta\nu$. Wenn Sie dies nicht tun, machen Sie sich selbst etwas vor, dass Sie die gewünschte Auflösung erreicht haben, und es gibt eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen: speisen Sie das System einfach mit einem Signal mit geringer Bandbreite$f(t)=\sin(2\pi\nu_j t)$, und messen Sie bei$\nu_i$die Amplitude von sein$x_i$nach einer Weile$\tau$das ist kleiner als$1/\delta\nu$(und damit auch kleiner als$1/\gamma$).

  Wenn Sie dies tun, blutet das Signal: die benachbarten Oszillatoren, bei$\nu_{i\pm 1}$, sollten nicht resonant sein, aber sie hatten keine Zeit, dass sich die in der ersten Hälfte des Messfensters aufgelaufene Amplitude mit der Amplitude von später aufhebt, sodass Sie einen Wert ungleich Null haben$x_{i\pm 1}$und schlussfolgern fälschlicherweise, dass Ihr Signal eine Amplitude von hatte$\nu_{i\pm 1}$, was du offensichtlich nicht wolltest.

  Das experimentelle Verfahren erfordert daher, dass Sie Ihren ersten Impuls durchlassen, und zwar auch dann, wenn er bereits mit allen interagiert hat$x_i$und das Gerät verlassen haben, ist eine kohärente Erinnerung daran in Ihrer Sammlung von Oszillatoren gespeichert, und Sie müssen eine Weile warten$\tau > T$eine bessere spektrale Auflösung als behaupten zu können$1/T$.

  Wenn innerhalb dieses Messfensters ein zweiter Impuls auftritt, dann wird sein Beitrag zum$x_i$wird kohärent mit der Amplitude hinzugefügt, die sie bereits halten. Tatsächlich wird es in einer Weise, die von der Phase abhängt, in die es entweder konstruktiv oder destruktiv eingreift$x_i$haben sich über die Impulspause angesammelt und direkt zu dem von Ihnen gezeichneten Interferenzspektrum geführt.

• OK, das ist nett, aber machen wir es ein bisschen expliziter, indem wir über Licht sprechen. Lassen Sie mich dieses Schema als repräsentatives optisches Spektrometer ausleihen :

  

  Dieses Spektrometer nimmt unser Signal als Einzelpunktquelle und kollimiert es mit einem Spiegel, leitet es dann durch ein Gitter und verwendet dann einen zweiten Spiegel, um den resultierenden Regenbogen auf den Detektor zu fokussieren. In diesem vereinfachten Bild ist es den meisten optischen Spektrometern auf dem Markt sehr ähnlich, und das Folgende gilt sehr allgemein für diese Klasse.

  Leider geht bei der Diskussion über dieses Bild zumindest auf der Ebene einführender Optik-Lehrbücher etwas verloren, und zwar die Tatsache, dass diese Art von Konfiguration dazu neigt, mit den zeitlichen Details der Impulse herumzuspielen. Dies wird normalerweise fallen gelassen, da es keine Rolle spielt, wenn Sie nur die Optik des Spektrums verstehen möchten. Wenn wir jedoch die Interferenz zwischen zeitlich getrennten Impulsen betrachten wollen, dann ist das offensichtlich von Bedeutung.

  Um zu sehen, wovon ich spreche, betrachten Sie den Weg, den die Rotlichtkomponente auf den beiden Strahlen nimmt, die an den Extremen des Gitters vorbeilaufen:

  

  Hier ist zu beachten, dass die beiden Pfadlängen unterschiedlich sind, wobei der linke Pfad länger ist. Der Punkt markiert die Stelle auf diesem Pfad, an der er die gleiche Länge hat wie der Pfad rechts.

  Das ist die entscheidende Erkenntnis, denn selbst wenn ich mit einem zeitlich lokalisierten Puls anfange, wird er beim Detektor zeitlich gestreckt, weil unterschiedliche Signalanteile für das rote Detektorpixel unterschiedliche Wege zurücklegen Längen.

  Um dies etwas klarer zu sehen, lassen Sie mich einige Flächen gleicher Zeit für die verschiedenen beteiligten Strahlen zeichnen:

  

  Hier zeichne ich Kreise in gleichem Abstand von der Quelle, die Strahlen entsprechen, die durch die beiden Extreme des Beugungsgitters gehen, ein Paar direkt vor dem Spiegel und ein Paar direkt vor dem Detektor. Wie Sie sehen können, kommen die Strahlen, die rechts durch das Beugungsgitter gehen, deutlich vor den Strahlen, die durch die linke Seite des Gitters gehen.

  Dies wiederum wirkt sich stark auf die Form des Pulses aus. Um dies zu sehen, fülle ich den Bereich zwischen diesen Flächen mit Licht der entsprechenden Farbe:

  

  (Nur zur Verdeutlichung, dies ist einfach eine lineare Auffüllung der verschiedenen Wellenlängen, die im Wesentlichen die Krümmung des Kollimationsspiegels ignoriert.) Wenn Sie dies dann etwas weiter nach vorne schieben, können Sie die vollständige zeitliche Entwicklung des Pulses erhalten durch das Spektrometer:

  

  ^{Mathematica-Notebook, mit dem diese Animation erstellt wurde, verfügbar über Import[" http://goo.gl/NaH6rM "][" http://i.stack.imgur.com/DxUGm.png "]}

  Es ist wichtig anzumerken, dass der Puls tatsächlich räumlich so aussehen wird, in dem Regime, in dem Sie mit einem sehr kurzen Puls beginnen. Wenn Ihr Puls beispielsweise 10 fs dauert und daher eine ursprüngliche räumliche Breite von 3 mm hat, liegt die reale räumliche Größe Ihres Pulses im obigen Diagramm im Bereich von mehreren Zentimetern, sodass Ihr Puls gedehnt wurde bedeutend. (Wenn Ihr Puls viel länger ist als ursprünglich, dann stellt dies natürlich eine Verschmierung dar.)

  Wir sehen also, dass der Puls räumlich um einen beträchtlichen Betrag gedehnt wurde. Die nächste Frage ist natürlich, um wie viel wurde es gedehnt? Aus den Diagrammen sollte klar sein, dass der Betrag der Streckung mit der Breite des Gitters zunimmt und dass der Impuls für breitere Gitter zeitlich immer mehr gestreckt wird.

  Dies wird noch relevanter, wenn man den Hauptgrund betrachtet, warum wir ein breiteres Gitter auf unserem Spektrometer wünschen würden, um eine bessere Wellenlängenauflösung zu erhalten. Mit anderen Worten, wenn Sie mit einer feineren Frequenzauflösung messen möchten, müssen Sie Messungen verwenden, die immer länger dauern und ... na, hallo, Unsicherheitsprinzip!

  Sie können jetzt sehen, wohin das führt: Wenn Sie ein Spektrometer mit genügend Auflösung wollen, um das aufzulösen${\sim}1/T$Interferenz zwischen Ihren beiden Impulsen, dann dehnt das Spektrometer die Impulse notwendigerweise um einen Betrag, der größer ist als der Abstand zwischen den Impulsen$T$. Das bedeutet dann, dass die beiden Pulse innerhalb des Spektrometers räumlich und zeitlich zusammenfallen , und es ist vollkommen vernünftig, dass sie lokal an jedem Pixel des CCD-Detektors interferieren .

  Ziemlich ordentlich, oder?

Ich denke nicht, dass der zusätzliche Chirp im Detektor zur Überlagerung der Pulse notwendig ist, um das Interferenzmuster im Spektrum zu beobachten.

Jeder der Pulse besteht aus vielen longitudinalen EM-Modi und sie sind vorhanden, selbst wenn keine Intensität vorhanden ist (was aufgrund ihrer gegenseitigen destruktiven Interferenz überall außerhalb des Pulses auftritt). Daher interferiert das Feld der beiden Strahlen auch dann, wenn sich ihre Pulse zeitlich nicht überlappen. So verstehe ich zumindest dieses Verhalten.