Warum impliziert das Axiom der Wahl die Existenz eines einzigartigen Gottes?

Das Folgende ist aus A Passion for Mathematics von Clifford A. Pickover (vorgelesen mit Kiefer Sutherlands Stimme) umschrieben: ( mathjax hier )

Theorem : Das Axiom der Wahl ist gleichbedeutend mit der Existenz eines einzigen Gottes (St. Anselm, Thomas von Aquin und andere).

Nachweisen:

Nehmen wir zunächst das Auswahlaxiom an. Ordnen Sie die Menge der Teilmengen der Menge aller Eigenschaften von Objekten teilweise durch Inklusion. Diese Menge hat maximale Elemente. Gott ist per Definition (nach Anselm) eine maximale Elementmenge.

Wir beweisen Existenz: Gott $\subseteq$ Gott $\cup$ ${$Existenz$}$, also Gott $=$ Gott $\cup$ ${$Existenz$}$. Also existiert Gott.

Wir beweisen die Eindeutigkeit: Seien Gott und Gott′ zwei Götter, dann ist Gott $\cup$ Gott′ $\supseteq$ Gott (nach Aquin) $\implies$ Gott $\cup$ God′ = Gott $\implies$ Gott $ \subseteq$ Gott′ Ebenso Gott′ $\subseteq$ Gott. Deshalb ist Gott einzigartig.

Nehmen wir zweitens die Existenz eines einzigartigen Gottes an, allmächtig, allwissend und amoralisch (oder allgütig. Das spielt für diesen Kontext keine Rolle). Gegeben sei eine Indexmenge $R$ und eine Sammlung von Mengen ${A_{\alpha}}_{{\alpha \in R}}$, bete, dass der einzigartige Gott durch Allmacht $x_{\alpha} \in A_ auswählt {\alpha}$ für jedes $\alpha \in A$. Dann $${x_{\alpha}}_{\alpha \in R} \in \prod_{\alpha \in R} A_{\alpha}$$ wie erforderlich.

Fragen:

  1. Was ist eine "maximale Elementmenge"? Ich konnte dies online nicht finden. Ich kann mich nicht erinnern, dies im Bachelor-Studium im Religionsphilosophieunterricht gelernt zu haben.

  2. Wie impliziert Gott $\subseteq$ Gott $\cup$ ${$Existenz$}$ in Existenz Gott $=$ Gott $\cup$ ${$Existenz$}$? Ich vermute, dass wir irgendwie schon Gott $\supseteq$ Gott $\cup$ ${$existence$}$ hatten.

  3. In der Einzigartigkeit, warum haben wir diesen Gott $\subseteq$ Gott′ anstelle von Gott $\supseteq$ Gott′?

  4. Ist für die zweite Richtung Eindeutigkeit erforderlich? Mir fällt nur die eindeutige Wahl von $x_{\alpha}$ oder so etwas ein.

Ich denke, dass ich mit der zweiten Richtung gut zurechtkomme.

Update: Ich denke, dieser Link könnte einige Antworten haben.

Sie können hier kein Mathjax verwenden.
@curiousdannii Deshalb habe ich "mathjax here" oben gesetzt.
Nun, Sie sollten es bearbeiten, um es lesbar zu machen. Sie können <sub>und verwenden <sup>, und einige (wahrscheinlich die meisten) Symbole sind in Unicode.
Nun, das maximale Set eines Powersets ist natürlich das ursprüngliche Set selbst. Das ist einzigartig. Was hat das mit Wahlaxiom oder Gott zu tun? Ich verstehe, dass der letzte Teil versucht zu sagen, dass ein allmächtiger Gott ein Axiom der Wahl impliziert, aber bedeutet das nicht im Grunde nur, dass das Axiom der Wahl angenommen wird?

Antworten (2)

Ich werde keine Aussagen über die mathematischen, philosophischen oder theologischen Implikationen des Beweises machen . Aber ich kann dir bei der Mathematik helfen (dies würde besser auf math.SE geschehen).

  1. Sortieren Sie die Mengen: Eine Menge A ist größer oder gleich einer Menge B , wenn B eine Teilmenge oder gleich von A ist . Eine maximale Elementmenge (Gott) ist in dieser Reihenfolge maximal, also hat sie keine Obermenge.
  2. Wie Sie sagten, haben wir Gott $\supseteq$ Gott $\cup$ ${$Existenz$}$, da Existenz eine Eigenschaft ist, Gott $\cup$ ${$Existenz$}$ ist größer oder gleich als Gott, aber Gott ist es maximal (siehe 1).
  3. Ich würde es auch umgekehrt machen. Aber es funktioniert dann auch ("Ähnlich ...").
  4. Ich glaube nicht, dass Einzigartigkeit erforderlich ist, aber wir haben sie so, warum nicht davon ausgehen?

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Wie das Teilen einer beliebigen Zahl durch Null.

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