Warum ist der Singulett-Zustand für zwei Teilchen mit Spin 1/2 antisymmetrisch?

Question

Warum ist der Singulett-Zustand für zwei Teilchen mit Spin 1/2 antisymmetrisch?

Matt Hügel

Für zwei Teilchen mit Spin 1/2 verstehe ich, dass die Triplettzustände ( $S = 1$ ) Sind: $\newcommand\ket[1]{\left|{#1}\right>} \newcommand\up\uparrow \newcommand\dn\downarrow \newcommand\lf\leftarrow \newcommand\rt\rightarrow$

\begin{aligned} | 1, 1 ⟩ & = | ↑↑ ⟩ \\ | 1, 0 ⟩ & = \frac{| ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩}{\sqrt{2}} \\ | 1, - 1 ⟩ & = | ↓↓ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \ket{1,1} &= \ket{\up\up} \\ \ket{1,0} &= \frac{\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}}{\sqrt2} \\ \ket{1,-1} &= \ket{\dn\dn} \end{align}$

Und dass der Singulett-Zustand ( $S = 0$ ) Ist:

| 0, 0 ⟩ = \frac{| ↑↓ ⟩ - | ↓↑ ⟩}{\sqrt{2}}

$\ket{0,0} = \frac{\ket{\up\dn} - \ket{\dn\up}}{\sqrt2}$

Worüber ich mir nicht ganz sicher bin, ist, warum der Singulett-Zustand nicht sein kann $\ket{0,0}=(\ket{↑↓} + \ket{↓↑})/\sqrt2$ während einer der Triplett-Zustände dann sein kann $(\ket{↑↓} - \ket{↓↑})/\sqrt2$ . Ich weiß, dass sie orthogonal sein müssen, aber warum sind sie so definiert, wie sie sind?

wahrscheinlich_jemand

Die Triplett-Zustände sind entartet, während der Singulett-Zustand eine andere Energie hat.

Matt Hügel

Was hat das mit Symmetrie zu tun?

wahrscheinlich_jemand

Antisymmetrie ist die einzige Möglichkeit, einen Gesamtspin von 0 zu erhalten. Singulett und Triplett werden nach dem Gesamtspin klassifiziert.

Matt Hügel

Nein das ist nicht richtig.

JEB

Vergleichen Sie (sozusagen) mit der Quarkwellenfunktion von a

π^{0}

$\pi^0$ .

ZeroTheHero

Das Singulett, also die antisymmetrische Kombination, wird von allen Drehimpulsoperatoren getötet und ist somit ein Eigenzustand von

L^{2}

$L^2$ mit Eigenwert

0

$0$ . Die Wirkung der Operatoren zum Anheben und Absenken des Drehimpulses auf das Triplett ergibt die

L = 1, M = \pm 1

$L=1, M=\pm 1$ .

Antworten (5)

Warum ist der Singulett-Zustand für zwei Teilchen mit Spin 1/2 antisymmetrisch?

Die Triplett-Zustände sind entartet, während der Singulett-Zustand eine andere Energie hat.
Antisymmetrie ist die einzige Möglichkeit, einen Gesamtspin von 0 zu erhalten. Singulett und Triplett werden nach dem Gesamtspin klassifiziert.
Vergleichen Sie (sozusagen) mit der Quarkwellenfunktion von a $\pi^0$ .
Das Singulett, also die antisymmetrische Kombination, wird von allen Drehimpulsoperatoren getötet und ist somit ein Eigenzustand von $L^2$ mit Eigenwert $0$ . Die Wirkung der Operatoren zum Anheben und Absenken des Drehimpulses auf das Triplett ergibt die $L=1, M=\pm 1$ .

rauben · Answer 1

Vergessen wir vorläufig, dass die beiden $m=0$ Zustände existieren, und betrachten Sie nur die beiden vollständig ausgerichteten Triplettzustände, $\newcommand\ket[1]{\left|{#1}\right>} \newcommand\up\uparrow \newcommand\dn\downarrow \newcommand\lf\leftarrow \newcommand\rt\rightarrow$ $\ket{\up\up}$ Und $\ket{\dn\dn}$ . Es gibt keinen physikalischen Unterschied zwischen diesen: Sie können Ihren Zustand von einem zum anderen "transformieren", indem Sie Ihr Koordinatensystem ändern oder sich auf den Kopf stellen. Also muss auch jede physisch beobachtbare Größe zwischen ihnen gleich sein.

Beide Einzelteilchenzustände sind Eigenzustände des Spinoperators auf der $z$ -Achse,

σ_{z} = \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} 1 \\ - 1 \end{array}),

$\sigma_z = \frac\hbar 2\left(\begin{array}{cc}1&\\&-1\end{array}\right),$ und "auf dem Kopf stehen" oder umgekehrt

z

$z$ -Achse, ist genauso, als würde man sich über das Vorzeichen dieses Operators nicht einigen.

Aber nehmen wir an, auf dem Weg zur Umkehrung der $z$ -Achse, werden Sie mittendrin unterbrochen. Jetzt habe ich ein System, das meiner Meinung nach zwei Drehungen entlang hat $z$ -Achse, aber du liegst auf deiner Seite und denkst, dass meine Spins entlang der ausgerichtet sind $x$ -Achse. Der $x$ -Achsen-Spin-Operator ist normalerweise

σ_{X} = \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}) .

$\sigma_x = \frac\hbar 2\left(\begin{array}{cc}&1\\1\end{array}\right).$

Wo ich meine Einzelteilchenspins sehe, sind die Eigenzustände von $\sigma_z$ ,

| ↑ ⟩ = (\binom{1}{0}) Und | ↓ ⟩ = (\binom{0}{1}),

$\ket\up = {1\choose0} \quad\text{and}\quad \ket\dn = {0\choose1},$ Sie sehen diese Einzelteilchenzustände als Eigenzustände von

σ_{x}

$\sigma_x$ ,

\begin{aligned} | \to ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (\binom{1}{1}) = \frac{| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩}{\sqrt{2}} \\ | \leftarrow ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (\binom{1}{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} \ket\rt &= \frac1{\sqrt2}{1\choose1} = \frac{\ket\up + \ket\dn}{\sqrt2} \\ \ket\lf &= \frac1{\sqrt2}{1\choose-1} \end{align}$

Wenn du eine ... bist $z$ -Achse Chauvinist und bestehen darauf, meine sorgfältig vorbereitete Analyse zu analysieren $\ket{\rt\rt}$ Zustand in Ihrem $\up\dn$ Basis finden Sie dieses Durcheinander:

\begin{aligned} | \to\to ⟩ = | \to ⟩ \otimes | \to ⟩ & = \frac{| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩}{\sqrt{2}} \otimes \frac{| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩}{\sqrt{2}} \\ = \frac{| ↑↑ ⟩}{2} + \frac{| ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩}{2} + \frac{| ↓↓ ⟩}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \ket{\rt\rt} = \ket\rt \otimes \ket\rt &= \frac{\ket\up + \ket\dn}{\sqrt2} \otimes \frac{\ket\up + \ket\dn}{\sqrt2} \\ &= \frac{\ket{\up\up}}2 + \frac{\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}}2 + \frac{\ket{\dn\dn}}2 \end{align}$

Dieser Zustand, der eine klar definierte hat $m=1$ in meinem Koordinatensystem, hat keine wohldefinierte $m$ in deinem Koordinatensystem: Indem du deinen Kopf drehst und darüber uneins bist, wo oben ist, hast du beides eingeführt $\ket{\up\up}$ Und $\ket{\dn\dn}$ in Ihr Modell. Sie haben auch die symmetrische Kombination eingeführt $\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}$ .

Und hier kommt das Symmetrie-Argument ins Spiel. Die Triplett- und Singulett-Zustände sind unterscheidbar, weil sie unterschiedliche Energien haben. Wenn Sie vorschlagen, dass die symmetrische Kombination $\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}$ der Singulett-Zustand ist, dann werden Sie und ich unterschiedliche Energien für das System vorhersagen, basierend nur darauf, wie wir uns entschieden haben, unsere Köpfe zu neigen. Jedes Modell, das besagt, dass die Energie eines Systems davon abhängen sollte, wie ich meinen Kopf neige, wenn ich es betrachte, ist falsch . Also die $m=0$ Projektion des Triplett-Zustands muss symmetrisch sein, um die gleiche Symmetrie unter Austausch wie die zu haben $m=\pm1$ Projektionen.

Leichte Korrektur Ihrer Aussage "Also muss jede physikalische Observable zwischen ihnen auch gleich sein": Das gilt nur für physikalische Observable (wie Energie), die unter der Operation des Stehens auf dem Kopf unveränderlich sind. Physikalische Beobachtungsgrößen wie $S^z_\text{tot}$ kann wechseln.
Alle drei Triplettzustände sind "vollständig ausgerichtet".
@my2cts Das ist mehr oder weniger der Punkt, den ich machen wollte, ja. Nehmen Sie einen Zustand, in dem die Ausrichtung offensichtlich ist, untersuchen Sie ihn in einer unordentlicheren Darstellung und interpretieren Sie die unordentliche Darstellung basierend auf dem, was wir von der ordentlicheren wissen.

JEB · Answer 2

Es gibt mindestens 2 Ansätze. Man kann nur zeigen, dass es symmetrisch ist, indem man den unteren Operator für den Gesamtspin auf das Maximum anwendet $S_z$ Zustand, der erfüllen sollte ( $\hbar=1$ ):

S_{-} | 1, 1 ⟩ = \sqrt{2} | 1, 0 ⟩

$S_-|1,1\rangle=\sqrt 2 |1, 0\rangle$

So

| 1, 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} S_{-} | 1, 1 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (S_{1 -} + S_{2 -}) ↑_{1} ↑_{2}

$|1, 0\rangle =\frac{1}{\sqrt 2}S_-|1,1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(S_{1-}+S_{2-})\uparrow_1\uparrow_2$

\frac{1}{\sqrt{2}} [(S_{1 -} ↑_{1}) ↑_{2} + ↑_{1} (S_{2 -} ↑_{2})]

$\frac{1}{\sqrt 2}[(S_{1-}\uparrow_1)\uparrow_2+\uparrow_1(S_{2-}\uparrow_2)]$

= \frac{1}{\sqrt{2}} (↑_{1} ↓_{2} + ↓_{1} ↑_{2})

$=\frac 1 {\sqrt 2}(\uparrow_1\downarrow_2 + \downarrow_1\uparrow_2)$

Das gibt eine schöne Demonstration, wie man mit den Leiteroperatoren arbeitet, aber es gibt einen viel tieferen Grund, warum es symmetrisch sein muss .

Um die rotationsinvarianten Teilräume eines Tensorprodukts von zu finden $N$ Staaten mit Dimension $d$ Sie tun Folgendes (dies ist nur eine Skizze des Verfahrens):

Finden $N$ . Es ist $N=2$ , jetzt partitionieren wir $2$ auf jede erdenkliche Weise:

2 = 2

$2 = 2$

Und

2 = 1 + 1

$2 = 1 + 1$

Für jede dieser Partitionen zeichnen wir die Young-Diagramme und verbinden diese mit irreduziblen Darstellungen der Permutationsgruppe $N=2$ Briefe. Dies wird als Robinson-Schensted-Korrespondenz bezeichnet.

Nehmen Sie die $2=2$ ein normales Young-Tableau erstellen und dann den Young-Symmetrisierer berechnen. In diesem Fall erhalten Sie den rein symmetrischen Operator: $S=(1 + e_{2,1})/\sqrt 2$

Für $2=1+1$ , machen Sie dasselbe und erhalten den antisymmetrischen Operator: $A=(1 - e_{2,1})/\sqrt 2$ .

Die Schur-Weyl-Dualität sagt uns, dass die Anwendung dieser auf die Indizes (hier Partikeletiketten) uns die rotationsinvarianten Unterräume dieses Tensorproduktraums mitteilen wird; Darüber hinaus sagt uns die bemerkenswerte Hook-Length-Formel die Dimensionen des Unterraums und das Ergebnis für $d=2$ ist die symmetrische man hat ${\bf 3}$ Dimensionen und antisymmetrisch ist ${\bf 1}$ .

Das steht geschrieben:

2 \otimes 2 = 3_{S} + 1_{A}

${\bf 2} \otimes {\bf 2} = {\bf 3}_S + {\bf 1}_A$

Es muss also einfach so sein, dass alle Zustände im Triplett die gleiche Austauschsymmetrie haben.

Beachten Sie, dass eine weitere Drehung hinzugefügt werden kann $\frac 1 2$ , und die gesamte Prozedur zeigt Ihnen Folgendes:

2 \otimes 2 \otimes 2 = 4_{S} + 2_{M} + 2_{M}

${\bf 2} \otimes {\bf 2} \otimes {\bf 2}= {\bf 4}_S + {\bf 2}_M + {\bf 2}_M$

was die vier bedeutet $S=\frac 3 2$ Zustände sind symmetrisch und es gibt zwei Dubletts $S=\frac 1 2$ Zustände mit gemischter Symmetrie, entsprechend den Partitionen:

3 = 3

$3 = 3$

Und

3 = 2 + 1

$3 = 2 + 1$

Beachten Sie, dass die Hakenlängenformel für:

3 = 1 + 1 + 1

$3 = 1 + 1 + 1$

ergibt einen Unterraum der Dimension Null: Es gibt keine antisymmetrische Kombination von 3 Spins.

Frobenius · Answer 3

Wenn $\:\mathsf{H}_{\boldsymbol{\alpha}},\mathsf{H}_{\boldsymbol{\beta}}\:$ sind die 2-dimensionalen Hilbert-Räume zweier Teilchen $\:\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\:$ mit Spins $\:1/2\:$ dann lebt das zusammengesetzte System im produkt-4-dimensionalen Hilbert-Raum

\begin{matrix} (01) & H_{F} \equiv H_{a} \otimes H_{β} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathsf{H}_{\boldsymbol{f}}\equiv \mathsf{H}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{01} \end{equation}$ was die direkte Summe zweier invarianter orthogonaler Unterräume ist: der 1-dimensionale Unterraum

H_{1}

$\:\mathsf{H}_{\boldsymbol{1}}\:$ des Drehimpulses

j = 0

$\;j=0\;$ (das antisymmetrische Singulett) und der dreidimensionale Unterraum

H_{2}

$\:\mathsf{H}_{\boldsymbol{2}}\:$ des Drehimpulses

j = 1

$\;j=1\;$ (das symmetrische Triplett):

\begin{matrix} (02) & H_{a} \otimes H_{β} = H_{1} \oplus H_{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathsf{H}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\boldsymbol{\beta}}=\mathsf{H}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\oplus}\mathsf{H}_{\boldsymbol{2}} \tag{02} \end{equation}$ auch ausgedrückt als

\begin{matrix} (03) & 2 \otimes 2 = 1 \oplus 3 \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \tag{03} \end{equation}$ Invarianz bedeutet, dass, wenn wir die gleiche spezielle unitäre Transformation anwenden

\begin{matrix} (04) & U_{a} = U = U_{β} \in S U (2) \end{matrix}

$\begin{equation} U_{\boldsymbol{\alpha}}=U=U_{\boldsymbol{\beta}} \in SU(2) \tag{04} \end{equation}$ in jedem der Räume

H_{α}, H_{β}

$\:\mathsf{H}_{\boldsymbol{\alpha}},\mathsf{H}_{\boldsymbol{\beta}}\:$ dann die Unterräume

H_{1}, H_{2}

$\:\mathsf{H}_{\boldsymbol{1}},\mathsf{H}_{\boldsymbol{2}}\:$ sind unter der produktspezifischen unitären Transformation unveränderlich

\begin{matrix} (05) & U_{a} \otimes U_{β} = U^{\otimes 2} \in S U (4) \end{matrix}

$\begin{equation} U_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}U_{\boldsymbol{\beta}}=U^{\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}}\in SU(4) \tag{05} \end{equation}$ Beachten Sie, dass die Anwendung der Transformation (04) einer Drehung im dreidimensionalen Realraum entspricht

R^{3}

$\:\mathbb{R}^{3}$ wobei die zwei Teilchen koexistieren.

Enthusiastisch · Answer 4

Gemäß Ihrer letzten Frage der Singulett-Zustand

$\newcommand\ket[1]{\left|{#1}\right>} \newcommand\up\uparrow \newcommand\dn\downarrow \newcommand\lf\leftarrow \newcommand\rt\rightarrow$ $\ket{0,0} = \frac{\ket{\up \dn} + \ket{\dn\up}}{\sqrt2}$

kann nicht gültig sein, während einer der Triplett-Zustände (angenommen, die $\ket{1,0}$ ) könnte geschrieben werden als

$\ket{1,0} = \frac{\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}}{\sqrt2}$

wie unten gezeigt werden kann.

Definition des Spin-Exchange-Operators als

$P\mid \chi_{\uparrow\downarrow} \rangle = \mid\chi_{\downarrow\uparrow} \rangle , P\mid \chi_{\downarrow\uparrow} \rangle =\mid \chi_{\uparrow\downarrow} \rangle$

was impliziert

$P\mid \chi_{\text{sym.}} \rangle = \mid \chi_{\text{sym.}} \rangle , P \mid \chi_{\text{asym.}} \rangle = -\mid \chi_{\text{asym.}} \rangle$

Der obige Singulett-Zustand wird zu

$P \ket{0,0} = \frac{\ket{\dn\up} + \ket{\up \dn} }{\sqrt2} \neq -\ket{0,0}.$

wohingegen wir für den zweiten Triplettzustand schreiben,

$P \ket{1,0} = \frac{ \ket{\dn\up} + \ket{\up\dn} }{\sqrt2} = \ket{1,0}.$

meine2cts · Answer 5

Die Singulett- und Triplettzustände sind alle antisymmetrisch. Für den Triplettzustand ist der räumliche Teil symmetrisch und der Spinteil antisymmetrisch. Beim Singulett-Zustand ist es umgekehrt. Dabei können sich die Raumorbitale überlappen oder sogar zusammenfallen. Im Triplett-m=0-Zustand sind die Spins ausgerichtet, aber senkrecht zur Quantisierungsachse orientiert.

Ich dachte, die Frage hier betreffe nur die Symmetrie des Spin-Teils der Wellenfunktion. Sie könnten auch das Deuteron in Betracht ziehen, ein Spin-Triplett, dessen räumliche Wellenfunktion hauptsächlich ist $S$ - und ein bisschen $D$ -Welle, beide symmetrisch unter Austausch. Um die Antisymmetrie beim Austausch zum Deuteron wiederherzustellen, müssen wir einen starken Isospin entdecken.

Warum ist der Singulett-Zustand für zwei Teilchen mit Spin 1/2 antisymmetrisch?

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