Welches physikalische Prinzip bestimmt Mikrozustände in der Quantenmechanik?

Wenn wir die mittlere Magnetisierung eines Gleichgewichts-Zwei-Niveau-Systems berechnen wollen, wissen wir, dass wir die Identität auflösen können 1 = ∑ ich | E ich ⟩ ⟨ E ich | und uns ein einheitliches Maß für die Zustände des Systems geben.

Ich erinnere mich dann an meinen klassischen Stat-Mech, schiebe einige Boltzmann-Faktoren hinein und erhalte den Gibbs-Zustand

ρ = Z − 1 ∑ ich e − β E ich | E ich ⟩ ⟨ E ich |
und kann die mittlere Magnetisierung für ein Zwei-Niveau-System mit berechnen E 0 = − B / 2 Und E 1 = B / 2 wir bekommen dann ⟨ M ⟩ = T R [ σ z ρ ] / 2 = Tanh ⁡ ( β B / 2 ) / 2 . Alles scheint sehr gut.

Wenn ich dieses Ergebnis jedoch nicht kenne, könnte ich auch sagen, dass ich einen Zustand aufschreiben kann

| ψ ⟩ = cos ⁡ θ 2 | 0 ⟩ + e ich ϕ Sünde ⁡ θ 2 | 1 ⟩
die Energie hat ⟨ ψ | H | ψ ⟩ = − B cos ⁡ θ / 2 .

Also da kann ich über meine Zustände ein Maß aufschreiben

1 = 1 2 ∬ Sünde ⁡ θ D ϕ D θ | ψ ⟩ ⟨ ψ |
Ich kann auch eine Art Gibbs-Zustand konstruieren, indem ich sie alle mit einem Boltzmann-Faktor gewichte, das ergibt
ρ = 1 2 Z ∬ Sünde ⁡ θ D ϕ D θ e β B cos ⁡ θ / 2 | ψ ⟩ ⟨ ψ |
Dies ergibt jedoch ⟨ M ⟩ = T R [ σ z ρ ] / 2 = coth ⁡ ( β B / 2 ) / 2 − 1 / ( β B ) , das klassische Ergebnis.

Meine Frage ist: Gibt es ein einfaches physikalisches Prinzip, auf das ich verweisen kann, um den richtigen Prozess zu bestimmen (eines, das zufriedenstellender ist, als einfach zu beobachten, dass einer dieser Ansätze funktioniert und der andere eine andere Antwort erhält)?

Oder ist es eine Frage der Akzeptanz ρ = exp ⁡ ( − β H ) / Z als Definition des thermischen Gleichgewichts? (und damit die von Neumann-Entropie als richtige Entropie?)

Antworten (1)

Gleichgewicht kann nur axiomatisch definiert werden. Um mit der traditionellen Thermodynamik konsistent zu sein, muss sie durch eine Dichtematrix der Form beschrieben werden e − β S mit einem Betreiber S die aus global erhaltenen Größen besteht, im einfachsten Fall nur aus dem Hamilton-Operator plus einer Konstante (herkömmlich absorbiert in Z ). Thermisches Gleichgewicht ist also immer durch einen Gibbs-Zustand definiert; für Randbedingungen entsprechend einer kanonischen Gesamtheit durch ρ=exp(−βH)/Z. Insbesondere ist ein thermischer Zustand immer durch einen Dichteoperator gegeben. Es ist unmöglich, die Beschreibung zu verfeinern - die Lehrbuchbeschreibung eines Dichteoperators als Mischung reiner Zustände ist frei erfunden und alles andere als eindeutig.

Wenn sich ein System ungefähr in einem reinen Zustand befindet, ist es entweder sehr weit vom Gleichgewicht entfernt oder es befindet sich ungefähr im Grundzustand bei einer Temperatur, die einer Energie entspricht, die wesentlich kleiner ist als die Energielücke zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand (so dass nur der Grundzustand trägt wesentlich zum kanonischen Ensemble bei).

Letzteres ist beispielsweise für den elektronischen Teil eines Moleküls der Fall, wenn die Born-Oppenheimer-Näherung anwendbar ist. (Letzteres versagt, wenn die Energielücke zu klein wird.)

Hallo, vielen Dank für Ihre Antwort. Allerdings habe ich eine Frage: Verstehe ich richtig, dass wir einen axiomatischen Ansatz zur Definition verfolgen ρ , und nehmen wir dies als Ausgangspunkt? Dies erscheint mir unbefriedigend, da ich dachte, dass das übliche Rezept für offene Systeme (System) + (Umgebung) lautet und davon ausgehen sollte, dass der globale Zustand rein ist. Dies würde bedeuten, dass der Gleichgewichtszustand des Systems zumindest mit der Eigenzustands-Thermalisierungshypothese übereinstimmen muss und nicht etwas, das wir frei wählen können.
Ihre Antwort stimmt natürlich mit der ETH überein, aber dies scheint mir zu implizieren, dass sie in gewissem Sinne abgeleitet und nicht ausgewählt werden sollte.
@ComptonScattering: Gleichgewicht kann nur axiomatisch definiert werden. Um mit der traditionellen Thermodynamik konsistent zu sein, muss sie durch eine Dichtematrix der Form beschrieben werden e − β S mit einem Betreiber S die aus global erhaltenen Größen besteht, im einfachsten Fall nur aus dem Hamiltonoperator.
Selbst wenn der globale Zustand als rein angenommen wird (was oft geschieht, obwohl man nie überprüfen kann, ob dies wirklich der Fall ist), ergibt die Eliminierung der Umgebung eine Dichtematrix für den Zustand des betrachteten Teilsystems.
Bei winzigen Systemen wird auch die nichttraditionelle (Tsallis) Thermodynamik betrachtet, bei der die Exponentialfunktion durch eine andere Funktion ersetzt wird. Aber auch dann wird das Gleichgewicht durch einen reinen Zustand beschrieben.
Zum Thermalisierungsprozess siehe z. B. arxiv.org/pdf/hep-ph/0409233.pdf Auch hier ist wieder alles in Form von Dichteoperatoren formuliert, nicht von Wellenfunktionen. Wellenfunktionen eignen sich nur für winzige Systeme (schon wenige Photonenoptiken arbeiten in realistischeren Szenarien mit Dichteoperatoren) oder für elektronische Systeme in der Quantenchemie (wenn die spektrale Lücke groß ist).
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