Können geschlossene Schleifen das Spin-Statistik-Theorem in 3 Dimensionen umgehen?

Die Antwort auf Ihre Frage ist ja, Ihre Intuition ist zu 100% richtig. Es läuft alles auf die Topologie des Konfigurationsraums hinaus$\mathcal C$, hauptsächlich die erste Homotopiegruppe$\pi_1(\mathcal C)$(was in Ihrem Beispiel ungleich Null ist). Siehe Problemsatz 1, Problem 3 aus diesem Kurs in Oxford. Bei dieser Übung geht es genau um Schleifen in 3+1D! Man muss argumentieren, dass es für jede Art von Punkt-Teilchen-Statistik in 2+1D (Darstellungen der Braid-Gruppe) eine entsprechende Schleifenstatistik in 3+1D gibt.

Beachten Sie jedoch, dass diese Schleifen nur in 3 + 1D zu nicht trivialen Statistiken führen, in höheren Dimensionen gibt es keine topologischen Hindernisse. Das hängt damit zusammen, dass man in höheren Dimensionen immer Knoten lösen kann.

Ganz allgemein können Sie über viele verschiedene Möglichkeiten nachdenken, nicht-triviale Statistiken zu erhalten. Sie können Ihrem Objekt eine kompliziertere interne Struktur als nur Punktteilchen geben (Schleifen sind nur ein Beispiel) oder Sie können Ihre Objekte auf topologisch nicht triviale Mannigfaltigkeiten legen. Siehe zum Beispiel dieses Papier über die sogenannte "projektive Bandpermutationsstatistik", die eine Möglichkeit darstellt, nicht triviale Statistiken in höheren Dimensionen zu haben, aber mit "Defekten", die eine gewisse interne Struktur haben.

BEARBEITEN: Dies ist eine Antwort auf die Frage, die Prathyush in den Kommentaren gestellt hat.

Nun, ja und nein. Wenn Sie an allgemeineren Statistiken für Punktteilchen interessiert sind, müssen Sie zu 2 + 1-Dimensionen gehen, in denen Sie Anyons haben. Bei einem Austausch von zwei (abelschen) Anyonen ändert sich die Wellenfunktion um eine Phase$e^{i\pi\alpha}$. Hier$\alpha = 1$entsprechen Fermionen,$\alpha=0$entsprechen Bosonen, während für jede Phase$\alpha\in[0,1]$Sie haben irgendwelche -ons. Im Sinne der Austauschstatistik wird also zwischen Fermionen und Bosonen interpoliert.

Es gibt jedoch noch einen anderen Ansatz. In einem berühmten Artikel schlägt Haldane die sogenannte Ausschlussstatistik vor, die die Partikelstatistik in Bezug auf ein verallgemeinertes Pauli-Ausschlussprinzip definiert (wie Sie vorschlagen). Eine natürliche Frage ist dann, führt die Interpolation von Anyonen zwischen Fermionen und Bosonen zu einer Interpolation von Ausschlussstatistiken? Murthy und Shankar scheinen versucht zu haben, diese Frage zu beantworten, und sie finden den entsprechenden Ausschlussparameter für die$\alpha$Anyon (Gleichung (16)). Ich weiß jedoch nicht genug über Ausschlussstatistiken und den Stand des Feldes, um viele Details zu nennen. Aber man kann viel lernen, wenn man einige der Zeitungen liest, die Haldanes-Papiere zitieren.