Warum ist die geosynchrone Umlaufbahn eher eine Höhe als eine Geschwindigkeit?

Ich stimme vollkommen zu, dass es nicht intuitiv ist. Die Orbitalmechanik ist jedoch häufig nicht intuitiv, wahrscheinlich weil wir nicht regelmäßig (wenn überhaupt) eine Orbitalumgebung erleben.

Nehmen wir einfach an, wir sprechen für den Rest meines Beitrags über kreisförmige Umlaufbahnen, da Sie ein Anfänger in der Umlaufbahnmechanik sind.

Es gibt nur eine Geschwindigkeit, die eine bestimmte Kreisbahn mit einer bestimmten Höhe erreichen kann. Denken Sie daran, dass stabile Umlaufbahnen keine Kraft von einem Motor erfordern, um so weiterzumachen, wie sie waren. Grundsätzlich entspricht in einer kreisförmigen Umlaufbahn die Fallbewegung zum Planeten genau der Vorwärtsbewegung.

Sir Issac Newton hat dies herausgefunden und es mit einem Gedankenexperiment namens Newton's Cannonball veranschaulicht .

Beachten Sie, dass, wenn die Orbitalgeschwindigkeit für diese Höhe zu langsam ist, die Kanonenkugel auf den Planeten gekracht ist.

Und wenn die Orbitalgeschwindigkeit für die Höhe zu hoch ist, wird die Umlaufbahn eher eine Ellipse als eine Kreisbahn sein, oder die Kanonenkugel kann der Erde sogar ganz entkommen!

Wenn schließlich die Kanonenkugel mit der „korrekten“ Orbitalgeschwindigkeit gestartet wird, um sich in dieser Höhe in einer kreisförmigen Umlaufbahn zu befinden, wird sie weder abstürzen noch wegfliegen, sondern stabil bleiben und sich mit dieser bestimmten Geschwindigkeit um die Erde bewegen.

In verschiedenen Höhen ist diese Goldilocks-Geschwindigkeit unterschiedlich. Wenn die Umlaufbahn näher am Planeten liegt, ist die Wirkung der Schwerkraft stärker, sodass sich das umkreisende Objekt schneller bewegen muss, um dem Fall entgegenzuwirken. Wenn das umkreisende Objekt weiter entfernt ist, ist die Fallkraft aufgrund der Schwerkraft geringer (weil die Schwerkraft auf der Entfernung basiert), und das Objekt muss sich daher nicht so schnell bewegen, um der Fallkraft entgegenzuwirken.

Aus dem Wikipedia-Artikel Geozentrische Umlaufbahn wissen wir, dass die niedrige Erdumlaufbahn beispielsweise eine Höhe von 160 km haben könnte. In dieser Höhe beträgt die Goldilocks-Geschwindigkeit, um eine kreisförmige Umlaufbahn beizubehalten, etwa 8000 m/s und dauert etwa 90 Minuten.

Was passiert nun, wenn wir auf eine etwas höhere Höhe schauen? Nun, die Geschwindigkeit ist geringer und der Weg, den das umkreisende Objekt zurücklegt, wird größer (der Kreis ist größer), sodass beide Faktoren dazu führen, dass die Umlaufbahn länger dauert. Eine etwas höhere Umlaufbahn könnte 100 Minuten statt 90 Minuten dauern.

Für eine geosynchrone Umlaufbahn muss die Umlaufbahn 24 Stunden statt 90 Minuten dauern, da die Erde 24 Stunden braucht, um sich zu drehen. Dies geschieht, wenn der Kreis auf eine Höhe von etwa 35000 km erweitert wird. Die Goldilocks-Geschwindigkeit in dieser Höhe beträgt etwa 3000 m/s.

Das ist alles etwas vereinfacht, aber die breiten Striche sind alle da. Wie Organic Marble betonte, könnten Sie versuchen, ein Fahrzeug innerhalb von 24 Stunden in eine Umlaufbahn in einer anderen Höhe zu zwingen, aber es wäre keine stabile Umlaufbahn, Sie würden Motoren benötigen, um es am Laufen zu halten.

Einfach gesagt, für eine kreisförmige Umlaufbahn und einen gegebenen Zentralkörper ist die Umlaufzeit nur eine Funktion des Radius. Eine geosynchrone Umlaufbahn ist nur der Umlaufradius, bei dem die entsprechende Periode gleich der Rotationsperiode der Erde ist.

Man könnte in 24 Stunden in jeder Höhe um die Erde fliegen, aber nicht ohne Antrieb.

Siehe diese Frage für die Mathematik.

Denk darüber so. Eine Kreisbahn zeichnet sich dadurch aus, dass die fiktive Zentrifugalkraft durch die (zentripetale) Schwerkraft exakt aufgehoben wird. Wenn das nicht der Fall wäre, würde der Satellit bei stärkerer Schwerkraft zu sinken beginnen; Wenn die Schwerkraft schwächer wäre, würde sie anfangen zu steigen. In beiden Fällen würde es sich nicht mehr auf einer kreisförmigen Umlaufbahn befinden.

Eine geostationäre Umlaufbahn ist durch ihre Winkelgeschwindigkeit gekennzeichnet (insbesondere$2\pi$Radiant pro Tag). Die Zentrifugalkraft für Kreisbewegungen bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ist proportional zum Radius. Die Gravitationskraft ist proportional zum umgekehrten Quadrat des Radius. Sie haben also eine Gleichung in der (allgemeinen) Form,$Ar = B/r^2$wo$A$und$B$sind einige Zahlen. Diese Gleichung gilt nicht für beliebige$r$; vielmehr können Sie den Wert von berechnen$r$indem man die Gleichung dafür löst.

Wenn Sie die Zahlen eingeben, passiert genau das. Die Zentrifugalkraft für eine Masse$m$wird von gegeben$F_c=mv^2/r = m\omega ^2r$wo$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit. Die Gravitationskraft für eine Masse$m$ist$F_g = GMm/r^2$wo$G$ist Newtons Gravitationskonstante und$M$ist die Masse der Erde. Wenn diese beiden gleich sind, haben Sie$m\omega^2 r = GMm/r^2$oder$r = \sqrt[3]{GM/\omega^2}$. Wenn Sie die Zahlen einsetzen, erhalten Sie$r \simeq 4.23\times 10^7$Meter oder nach Abzug des Erdradius eine Höhe von etwa 36.000 km. Dies ist der einzige Wert, bei dem sich die beiden Kräfte bei einer Winkelgeschwindigkeit von einer vollen Umdrehung pro Tag aufheben, also die geostationäre Höhe.

Dies ist mein Versuch, den Wert zu ermitteln. Es ist ein wenig daneben, aber das kann an der Genauigkeit der verwendeten Zahlen liegen und wenn man bedenkt, dass die Umlaufbahn perfekt kreisförmig ist.

Grundsätzlich muss es, damit es richtig umkreist, die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde haben (mit der gleichen Geschwindigkeit rotieren), was bedeutet, dass es die gleiche Frequenz oder Rotationszeit wie die Erde haben muss.

Das Gewicht des umkreisenden Objekts muss dann gleich der Zentripetalkraft sein, die es aufgrund der Kreisbewegung auf es einwirkt. Wie andere gesagt haben, wenn diese beiden Kräfte nicht gleich sind, wird es entweder auf die Erde krachen oder davonfliegen.

Von diesem Punkt an ist es nur noch Mathematik, den tatsächlichen Wert zu berechnen, wobei zu beachten ist, dass dieser Wert von r den Radius der Umlaufbahn angibt, der die Entfernung vom Erdmittelpunkt ist, also müssen Sie R subtrahieren, um die Höhe über der Erde zu erhalten.

Daraus könnte man eine Geschwindigkeit errechnen, mit der sich der Satellit bewegt, aber in diesem Bereich wird im Allgemeinen mehr Winkelgeschwindigkeit verwendet. Die meisten Leute würden auch nicht wissen, was sie mit dieser Geschwindigkeit anfangen sollen, da sie nicht viel bedeutet und nicht nützlich ist.

Ein Satellit in einer geosynchronen geostationären Umlaufbahn befindet sich sowohl in einer bestimmten Höhe (26199 Meilen hoch), als auch in einer bestimmten Richtung (äquatoriale Umlaufbahn von West nach Ost) und in einer bestimmten Geschwindigkeit (1,91 Meilen pro Sekunde). Die Höhe impliziert die Geschwindigkeit, denn wenn die Geschwindigkeit falsch wäre, würde der Satellit nicht im Orbit bleiben.

Was ist das Besondere an der magischen Zahl 22.000, die es ermöglicht, eine geosynchrone Umlaufbahn in dieser Höhe zu machen, aber nicht in beliebiger Höhe?

Heben Sie ein Objekt auf eine Orbitalhöhe von 1 Meter. Lassen Sie es gehen. Was geschieht?

Spritzer

Die Zentrifugalkraft einer geosynchronen Umlaufbahn von 1 Meter kann ein Objekt nicht gegen die Schwerkraft tragen.

Nehmen Sie dann an, dass sich Pluto in einer geosynchronen Umlaufbahn befindet ... das heißt, der Zwergplanet muss sich in 24 Stunden um die Erde drehen. Die Geschwindigkeit, die es dafür braucht, ist ungefähr Lichtgeschwindigkeit. Was geschieht?

WUSCH

Pluto wird im großen Schwarz da drüben verschwinden, weil die Schwerkraft der Erde unmöglich ein Objekt in einer geosynchronen Umlaufbahn von 7,5 Milliarden Kilometern enthalten kann.

Irgendwo zwischen diesen beiden Extremen liegt die Höhe, in der die Schwerkraft und die Zentrifugalkraft einer 24-Stunden-Umlaufbahn gleich sind und sich gegenseitig ausgleichen.

Diese - besondere - Höhe beträgt 22 000 Meilen.

Bewegen Sie sich höher und die Zentrifugalkraft einer 24-Stunden-Umlaufbahn ist zu stark ... sie wird die Schwerkraft überwinden und zu einer elliptischen Umlaufbahn führen oder das Objekt vollständig von der Erde lösen. Bewegen Sie sich nach unten, und die Zentrifugalkraft ist zu schwach, um die Schwerkraft auszugleichen, und das Objekt beginnt, an Höhe zu verlieren, was wiederum zu einer exzentrischen Umlaufbahn führt oder möglicherweise sogar in die Atmosphäre stürzt.

(Keine mathematische Antwort)

Du fällst in jeder Höhe und mit jeder Geschwindigkeit um die Erde. Selbst wenn Sie einen Ball werfen, fällt er um die Erde. Es hat einfach nicht genug Geschwindigkeit, um es nicht zu treffen. Der ideale Punkt ist also eine Umlaufbahn, die Sie weit genug zurücklegen, damit die Erdkrümmung der Tiefe Ihres Sturzes entspricht. Je näher Sie sind, desto größer ist die Schwerkraft, desto weniger Entfernung müssen Sie fallen, bevor Sie aufschlagen, desto schneller müssen Sie gehen, damit sich die Erde von / aus Ihrem Fall wegkrümmt. Je höher Sie sind, desto langsamer können Sie fahren, wenn die Erde Ihnen aus dem Weg biegt – weniger Schwerkraft. Auf diese Weise müssen Sie keine Energie hinzufügen – Sie fallen einfach weiter. In einer bestimmten Höhe entspricht Ihre Geschwindigkeit genau der Erdrotation. Das ist großartig, weil wir unsere Satellitenschüssel darauf richten können. Wenn Sie in einer anderen Höhe geosynchronisiert werden möchten, du kannst es sein – aber du brauchst Treibstoff/Energie und viel davon, und du wirst nicht schwerelos sein. Du bist nur schwerelos, weil du fällst. Wenn es einen so hohen Turm gäbe, würdest du mit der Schwerkraft darauf stehen wie hier unten. Etwas weniger Schwerkraft – aber immer noch Schwerkraft. Daher das Fallen. Auch hier ist man beim Fallen schwerelos. Du bist einfach zu besorgt darüber, die Landung zu verpassen, um es zu bemerken.

Es gibt keine magische Zahl 22.000.

Wenn Sie, wie Sie sagen, eine geostationäre Umlaufbahn in jeder Höhe erreichen könnten, könnten Sie zu jedem Ort am Äquator der Erde gehen, ein Objekt auf Armeslänge halten, es loslassen und erwarten, dass es an Ort und Stelle bleibt und im Wesentlichen in der Luft schwebt . Immerhin bewegen Sie und das Objekt etwa 1.000 Meilen pro Stunde um die Erdachse. Wir alle wissen, dass das Objekt einfach zu Boden fallen würde.

Wir wissen auch, dass sich Objekte in einer erdnahen Umlaufbahn mit etwa 17.000 Meilen pro Stunde bewegen müssen, um in der Umlaufbahn zu bleiben, was etwa 90 Minuten dauert, um eine Umlaufbahn zu absolvieren. Wir wissen auch, dass sich der Mond in einer Umlaufbahn um die Erde befindet (genau genommen das Erde-Mond-Schwerpunkt), etwa 240.000 Meilen entfernt ist und eine Umlaufbahn in etwa 27 Tagen abschließt, wobei er ungefähr 2.500 Meilen pro Stunde zurücklegt. Wir wissen auch, dass die Schwerkraft dem Gesetz des umgekehrten Quadrats folgt und proportional zum Quadrat der Entfernung abnimmt.

Was sagt uns das über Umlaufbahnen im Allgemeinen? Je näher ein Objekt an dem Körper ist, den es umkreist, desto mehr muss es sich der Schwerkraft widersetzen, was es nur tun kann, indem es sich schneller bewegt, was eine größere Beschleunigung erfordert, um auf der geschlossenen, gekrümmten Bahn zu bleiben, die wir Umlaufbahn nennen. Angesichts der beiden Beispiele der niedrigen Erdumlaufbahn und des Mondes muss es einen unendlichen Bereich von Umlaufbahnentfernungen geben, von denen jede eine zugehörige Geschwindigkeit und Periode hat. Es muss also eine Umlaufbahn geben, deren Periode mit der Erdrotation zusammenfällt, und sie wird ihre eigene spezifische Entfernung haben.

Angesichts des oben Gesagten ist die Gravitationsbeschleunigung der Erde (~ 9,8 m / s / s an der Oberfläche), der Radius der Erde (der Punkt, an dem die Schwerkraft diesen Wert hat), das Gesetz des umgekehrten Quadrats und die Formel für die Kreisbewegung bekannt Radius und Periode bis zur Beschleunigung können wir die Entfernung berechnen, bei der eine Umlaufbahn eine gewünschte Periode hat. Es stellt sich heraus, dass die Umlaufbahnentfernung, bei der die Periode mit der Erdrotation zusammenfällt, etwa 22.000 Meilen hoch liegt.