Warum ist diese Ableitung des Ausgangssignals der Schmitt-Triggerschaltung falsch?

Punkt 1

Der Schmitt-Trigger hat eine Hysterese. Hysterese impliziert, dass die Schaltung ein Gedächtnis hat . Es erinnert sich an seinen letzten Zustand. Bei einem System mit Speicher können Sie nicht schreiben$V_o = f(V_{in})$. Es sollte das Format haben$V_o = f(V_{in}, V_{o, \text{prev}})$oder etwas gleichwertiges. _{Wie einer der unter der Frage erwähnten Kommentare zeigt, würde man nicht wissen, dass das System ein Gedächtnis hat, wenn man zum ersten Mal versucht, die Schaltung mit Gleichungen zu lösen. IMHO, In diesem Fall würde der folgende Abschnitt vor einer falschen Schlussfolgerung schützen.}

Punkt 2

Die Möglichkeit der Sättigung der Ausgangsspannung ist ebenfalls ein wichtiges Merkmal, da dies verhindert wird$V_o$Und$V_x$verstärken sich gegenseitig bis ins Unendliche. Ihre Gleichungen modellieren nicht die Sättigungsnichtlinearität.

Ihre zweite Gleichung wäre besser geschrieben worden als

$V_o = \min(\max(A(f(V_o) - V_{in}), -V_{max}), V_{max})$

Mit diesem Gerüst zur Darstellung der Nichtlinearität wären alle weiteren Vereinfachungsversuche in der Frage verhindert worden.

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_{Als Antwort auf die Frage von OP unten in den Kommentaren.}

Lassen Sie uns den Fall analysieren, wo $V_{in} = 0$. Die zweite Gleichung von OP vereinfacht sich zu

$V_o = A(\frac{R_1}{R_1+R_2}V_o - 0)$.

Unter Vernachlässigung der Sättigung und z$A\frac{R_1}{R_1+R_2} > 1$, ist die Lösung für dieses System

$V_o = 0$oder$V_o = \infty$(seit$0 = A\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot 0$Und$\infty = A\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot \infty$).

Dies bedeutet, dass, wenn der Ausgang des Operationsverstärkers auf 0 gezwungen wird und kein Rauschen (oder eine andere Unvollkommenheit) im System vorhanden ist, der Ausgang dort bleibt (die Wellenform des OP zeigt auch einen Null-Volt-Ausgang für einen Null-Volt-Eingang).

In einer praktischen Schaltung wird der Ausgang durch Rauschen von 0 Volt verschoben. Die Frage ist also, wird das System dort bleiben? Wird das System auf Null Volt zurückgehen oder$\infty$Volt? Die Dynamik (Zeitentwicklung) des Systems wird nicht durch die Gleichungen von OP modelliert, daher können wir diese Frage nicht beantworten, indem wir uns an die algebraischen Gleichungen halten, in denen die Zeit nicht modelliert wird. Wenn auch die Zeit modelliert worden wäre, hätten wir meiner Meinung nach den Schluss ziehen können, dass der 0-Volt-Gleichgewichtspunkt instabil ist und die$\infty$Voltgleichgewicht (bzw$V_{max}$) stabil ist und das System die Tendenz hat, sich in Richtung der extremen Ausgabesituation zu bewegen.

Kurz gesagt, mit der obigen algebraischen Gleichung können wir diese Schaltung nicht analysieren, wenn der Ausgang die Sättigungswerte nicht berührt ($-V_{max} < V_o < V_{max}$), da ein praktisches System die Tendenz haben wird, sich in Richtung der Sättigungspunkte zu verschieben und nicht genau auf der Lösung der obigen algebraischen Gleichung zu liegen.

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_{Als Antwort auf die Kommentare unten, die darum bitten, Hysterese-Sachen zu vergessen. Ich versuche, ein Beispiel ohne Hysterese zu konstruieren}

Lassen Sie mich versuchen, mit einer Analogie zu verdeutlichen, wo eine algebraische Lösung existiert, aber die Ausgabe unbegrenzt ist. Dieses analoge System hat auch eine positive Rückkopplung. Es hat auch eine endliche Ausgabe, die durch die Gleichung vorhergesagt wird. Aber die Ausgabe ist unbegrenzt.

Die Output-Input-Relation ist gegeben durch

$\begin{align} \frac{dy(t)}{dt} ={}& x(t) \color{red}{+} y(t)\\ (s-1)Y(s) ={}& X(s)\\ \frac{Y(s)}{X(s)} ={}& \frac{1}{s-1} \end{align}$

Für jedes sinusförmige Signal mit endlicher Amplitude (einschließlich der Frequenz 0) ist die von der Übertragungsfunktion vorhergesagte Ausgabe endlich. Aber das System wird eine unbegrenzte Ausgabe haben. Die Verstärkung dieses Systems als Funktion der Frequenz ist die gleiche wie bei dem System$\frac{1}{s+1}$. Ich denke, dieses Beispiel bildet eine schöne Parallele zu Ihrem Beispiel. In diesem Beispiel wurde keine Hysterese oder Sättigung verwendet.

Sie sind davon ausgegangen, dass es eine stabile Ausgabe gibt, und haben berechnet, wie die Ausgabe aussehen sollte, falls die Annahme richtig ist. Zusätzlich haben Sie das Ergebnis auf den möglichen Ausgangsspannungsbereich geclippt. Das Clipping ist in Ordnung, aber die Annahme der Existenz eines stabilen Ausgangs ist es nicht, wie Personen, die die Theorie der Rückkopplungsstabilität kennen, bestätigen könnten (siehe ANMERKUNG 1).

Die Leute machen ständig die gleiche Art von Argumentation. Eigentlich basiert die ganze Physik auf dieser Art von Argumentation. Dort ist der Vergleich mit Messungen der Weg, um falsche Annahmen aufzudecken.

ANMERKUNG 1: Man muss kein Mathematiker oder Ingenieur auf akademischem Niveau sein, um deutlich zu machen, dass ein stabiler Ausgang nur erreicht werden kann, weil der begrenzte Spannungsbereich den Ausgang begrenzt. Eine elementare Laplace-Domänenanalyse reicht aus.

Wenn wir davon ausgehen, dass der Verstärker eine realistische Langsamkeit aufweist, sagen wir, ein RC lädt und die Verstärkung ist endlich, vielleicht groß, aber endlich, wir können die Übertragungsfunktion für die gesamte Schaltung finden. Die Langsamkeit verhindert unendlich schnelle Änderungen, sodass wir verfolgen können, was die Schaltung tut.

Wir können die ideale Verstärkung A durch G/(1+sRC) ersetzen, was die Übertragungsfunktion des gepufferten RC-Integrators ist. G ist die DC-Verstärkung des Verstärkers.

Vereinfachen wir auch die Formel, indem wir R1/(R1+R2) durch ein einzelnes Symbol B ersetzen. Es ist unser Rückkopplungsdämpfungsfaktor, der zwischen 0 und 1 liegt.

Die s-Domänenverstärkung des Systems ist Vo/Vi = 1/(B-(1+sRC)/G)

Natürlich bleibt der Ausgang Null, wenn der Eingang Null ist und es kein Rauschen gibt. Aber es gibt immer etwas Lärm. Wir können herausfinden, welche Frequenzen im S-Bereich beim geringsten Rauschimpuls im System zu klingeln beginnen, indem wir berechnen, welche Werte von s den Nenner unendlich machen (= die Pole der Übertragungsfunktion finden). Wir lösen s aus Gleichung (B-(1+sRC)/G)=0

Das Ergebnis ist s=(GB-1)/RC

Die Mathematik der Laplace-Transformation besagt, dass die Ausgabe eines kleinsten Rauschimpulses proportional zu einer exponentiellen Spannung exp(t/T) mit der Zeitkonstante T=RC/(GB-1) ist. Dieses T ist positiv, sobald GB größer als 1 ist. Positive Zeitkonstante bedeutet unbegrenztes Wachstum, das in der Praxis nur durch den begrenzten Ausgangsspannungsbereich gestoppt wird. Negatives T (dh GB <1) bedeutet, dass das Klingeln in der Schleife abklingt und sich der Ausgang auf den Wert stabilisiert, der mit Ihrer ursprünglichen Formel für Vo berechnet werden kann. Aber für einen stabilen Ausgang muss A kleiner sein als der Rückkopplungsspannungsteiler dämpft.

Warum sieht es wie eine verstärkte abgeschnittene Sinuswelle für einen Hysteric-Komparator aus, der einen Operationsverstärker verwendet?

Die GBW-Grenzwerte in Operationsverstärkern sind schlechte Hochgeschwindigkeitskomparatoren, da sie im offenen Regelkreis nur Integratoren mit einem LPF-Haltepunkt in der Nähe von 10 Hz oder so sind.

Die Anstiegszeit wird normalerweise durch den Ausgangsstrom in die Standardlast von 30 pF begrenzt. Aber in diesem Fall wird die Anstiegszeit durch die interne Kompensationsobergrenze begrenzt. So

Wenn die DC-Verstärkung Av = 2e5 und GBW = 4e5 ist, dann gilt nur die AC-Verstärkung.
Av(f)<~2 geschätzt durch Ihre Wellen

Die Anstiegszeit, Tr wird also mit 10 bis 90 % und f mit dem -3-dB-Punkt gemessen, also f = 0,35. Sie erhalten Tr = 0,35 / f @ -3 dB

Genau wie Ihre Ausgabe.

Die gesamte Hysterese ist korrekt.

In der Zwischenzeit funktioniert positives Feedback wie erwartet.

Anregung

• Verwenden Sie ein Logikgatter oder einen Open-Collector-Komparator mit 1k Pullup und Rf = 100k. Und Rin ist das Verhältnis der Hysterese. Erwarten Sie dann schnelle Abfallzeiten, aber einen langsamen Anstieg mit xx pF-Lasten.

• Verwenden Sie einen CMOS-Schmitt-Trigger, der für 1/3 Hysterese ausgelegt ist

Schaltung mit Hysterese

Zunächst werde ich die Speichereigenschaften dieser Schaltung mit Hysterese kommentieren. Ja, es hat einen Speicher ... und es kann sowohl als Schmitt-Trigger als auch als RS-Latch fungieren .

Schmitt-Trigger. Bei diesen Anwendungen ändert sich die Eingangsspannung gleichmäßig in beide Richtungen. Die Schaltung verhält sich wie ein Latch, der durch die Eingangsspannung gezwungen wird, in einem seiner beiden Zustände zu bleiben. Wir nutzen die scharfen Übergänge und die Hysterese, um verschiedene Interferenzen zu reduzieren.

Verriegeln. In diesen Anwendungen schalten wir die Schaltung mit Hysterese in den einen oder anderen Zustand durch bipolare Impulse um (indem wir die Eingangsspannung für einen Moment über/unter die positive/negative Schwelle ändern und sie dann auf Null zurücksetzen). Die Eingangsspannung hat drei Pegel: Vin > +Vth (R), Vin < -Vth (S) und Vin = 0 (neutral). Damit sich dieser Latch wieder wie ein Trigger verhält, kehren Sie nicht auf Null zurück. Diese Idee kann implementiert werden, indem der invertierende Eingang über einen Widerstand mit Masse verbunden wird. Der Latch kann umgeschaltet werden, indem der Eingang VCC oder -VEE kurz berührt wird.

Allgemeiner gesagt können wir eine Schaltung mit Hysterese auf zwei verschiedene Arten steuern - indem wir das Eingangssignal aus der Hystereseschleife "ohne Rückkehr" (Schmitt-Trigger) und "mit Rückkehr" (Latch) innerhalb der Schleife (normalerweise in die Mitte).

RS-Latch

Dann wollen wir mal sehen, ob wir einen Latch in einen Schmitt-Trigger umwandeln können.

RS-Latch mit Logikgattern mit 2 Eingängen. Das Problem dieser Implementierung liegt in ihren unidirektionalen Eingaben . Die Ausgangsspannung der Mitkopplung und die Eingangsspannung sind durch eine logische Funktion (NAND oder NOR) verbunden, aber nicht durch eine arithmetische Funktion (Summieren) wie beim Schmitt-Trigger. Aus diesem Grund können wir, sobald wir den Latch durch einige seiner Eingänge umschalten, ihn nicht durch denselben Eingang zurückschalten (er hat seine Steuerfunktion verloren); wir können es durch den anderen Eingang tun.

RS-Latch mit Logikgattern mit 1 Eingang. Es gibt kein solches Problem, wenn das Latch durch 1-Eingangs-Gatter (Inverter) implementiert wird, da sie 2-Wege-Eingänge haben . Ein typisches Beispiel ist die RAM-Zelle, deren Ein-/Ausgänge in beide Richtungen steuerbar sind.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir nur bei Geräten mit einem Eingang (Schmitt-Trigger oder 1-Eingangs-Latch) über die Verwendung von Hysterese sprechen können.