Warum kann Licht aus einem klassischen Schwarzen Loch nicht entkommen?

Schwarze Löcher beeinflussen die kausale Struktur der Raumzeit derart, dass alle zukünftigen Lichtkegel innerhalb eines Schwarzen Lochs in dessen Ereignishorizont liegen.

Obwohl Photonen masselos sind, haben sie Energie und müssen der Geometrie einer gekrümmten Raumzeit gehorchen. Da alle Zukunft innerhalb des Ereignishorizonts liegt, sind Photonen im Inneren des Schwarzen Lochs gefangen.

Obwohl Photonen keine Masse haben, werden sie dennoch von der Schwerkraft beeinflusst. So können wir schwarze Löcher sehen - übrigens verzerren sie das Licht , das ihnen nahe kommt.

Der Grund, warum nichts einem Schwarzen Loch entkommen kann, liegt darin, dass der Raum innerhalb des Ereignishorizonts bis zu dem Punkt gekrümmt ist, an dem alle Richtungen tatsächlich nach innen zeigen .

Die Fluchtgeschwindigkeit innerhalb des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs ist schneller als die Lichtgeschwindigkeit , daher kann Licht nicht mit dieser Geschwindigkeit fliegen und somit nicht entkommen.

Ein Konto „von Grund auf neu“.

Intervalle und Lichtkegel

Ein "Ereignis" in der Relativitätstheorie wird als etwas mit einem Satz von Koordinaten in der 4-dimensionalen Raumzeit definiert. Ereignisse werden durch ein Intervall getrennt, das in einer flachen Raumzeit geschrieben werden könnte als

Das Intervall für einen Lichtstrahl ist immer Null. Das heißt zum Beispiel, wenn wir einen Lichtstrahl entlang der x-Achse senden, wo$dy=dz=0$, dann$cdt/dx = \pm 1$. Wenn wir also einen Graphen von zeichnen würden$x$vs$ct$(auf der y-Achse) würde sich das Licht entlang von Pfaden mit einem Gradienten von ausbreiten$\pm 45$Grad von ihrem Ausgangspunkt. Da Licht das schnellste Signal ist, das Sie senden können (viel schneller als eine Brieftaube), werden diese Linien alle möglichen Ereignisse in der Zukunft begrenzen, die Sie beeinflussen könnten. Sie enthalten auch die Koordinaten aller möglichen Veranstaltungen, bei denen Sie in Zukunft dabei sein könnten, egal wie schnell Sie gereist sind. Dies ist als zukünftiger Lichtkegel bekannt.

Ein ähnlicher Kegel kann zeitlich nach hinten verlängert werden, um den Satz von Koordinaten zu begrenzen, von dem aus ein Lichtstrahl (oder irgendetwas Langsameres) Sie hätte erreichen können; und dies ist als vergangener Lichtkegel bekannt.

Das folgende Bild veranschaulicht diese Ideen. Es gibt ein Ereignis bei A, wobei die Ereignisse BG in demselben Diagramm dargestellt sind. Die zukünftigen und vergangenen Lichtkegel sind beschriftet. Die Ereignisse E, F und G liegen im Lichtkegel der Zukunft von A. Die Ereignisse B, C und D liegen im Lichtkegel der Vergangenheit von A.

Wenn das Intervall$ds^2$zwischen zwei Ereignissen negativ ist, dann könnten diese Ereignisse kausal zusammenhängen, da das eine im zukünftigen Lichtkegel des anderen liegt. Dies wird als zeitähnliches Intervall bezeichnet. Wenn das Intervall positiv ist, wird es als raumartig bezeichnet und die beiden Ereignisse können nicht kausal verknüpft werden. Das heißt, etwas bei Ereignis A kann Ereignis E beeinflussen, signalisieren oder sogar dorthin reisen, aber Ereignis B oder eines der unbeschrifteten Ereignisse, die mit Quadraten in der Region „anderswo“ markiert sind, nicht beeinflussen oder dorthin reisen, da sie sich nicht innerhalb befinden zukünftiger Lichtkegel von A.

Intervalle und Lichtkegel in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Diese Ideen lassen sich auf die Allgemeine Relativitätstheorie übertragen, wo die Raumzeit gekrümmt werden kann. Das heißt, der Status des Intervalls als Invariante ist derselbe, aber der Ausdruck für das Intervall ist komplizierter – die Koeffizienten multiplizieren sich$dt^2$usw. können abhängen$t, x, y, z$oder auch andere Parameter wie die Masse oder der Spin eines zentralen Objekts.

Die Komplexität der Intervallgleichung bedeutet jedoch, dass die Steigung der Lichtkegel je nach Position des Ursprungsereignisses variieren kann. Auf den ersten Blick scheint dies zu sagen, dass die Lichtgeschwindigkeit davon abweichen kann$c$. Nun, das stimmt in dem Sinne, dass sich die Lichtgeschwindigkeit, ausgedrückt als Änderungsrate in Bezug auf die verwendeten räumlichen und zeitlichen Koordinaten, ändert . Aber diese Geschwindigkeit ist nicht die Geschwindigkeit, die von einem Beobachter gemessen werden würde, der sich lokal am Lichtstrahl befindet. Sie würden immer sagen, es reist an$c$.

Koordinaten

In der Allgemeinen Relativitätstheorie kann das Koordinatensystem, in dem Sie die Intervallgleichung ausdrücken, zu einem Problem werden und diejenigen, die GR neu sind, in große Schwierigkeiten bringen. In nicht-relativistischen Situationen sind wir es gewohnt, zwischen sagen wir kartesischen und sphärischen Polarkoordinaten zu wechseln, um den Ort eines Objekts zu beschreiben. Wenn wir den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Kugel messen würden, könnten wir das sagen$dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$, aber wir könnten sie ebenso und vielleicht sinnvoller verwenden$dl^2 = r^2\sin^2\theta\ d\theta^2 + r^2d\phi^2$. Wichtig ist, dass die Wahl der Koordinaten keinen Einfluss darauf hat, was jemand tatsächlich messen würde. Dasselbe gilt für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Für nicht rotierende Schwarze Löcher kann die Intervallgleichung geschrieben werden als

Das$t, r, \theta, \phi$Koordinaten hier sind ähnlich wie Kugelkoordinaten, aber nicht ganz. Zum Beispiel wegen der Krümmung der Raumzeit,$r$ist nicht der "Radius" und$\Delta r$ist nicht die Trennung zweier Ereignisse zugleich$t, \theta, \phi$. Diese Koordinaten sind nicht geeignet, um Bewegungen über oder innerhalb des Ereignishorizonts zu behandeln$r = 2GM/c^2$. Bei diesem Wert von$r$, können Sie sehen, dass der zweite Term in der Intervallgleichung ins Unendliche explodiert. Dies hat eine Bedeutung. Das bedeutet, dass jemand, der Ereignisse mit diesem Koordinatensystem verfolgt, niemals sehen würde, dass ein Objekt den Ereignishorizont in irgendeiner Endlichkeit erreicht (oder überschreitet).$t$.

Das bedeutet nicht, dass die Dinge den Ereignishorizont nicht überschreiten können. Laut einem fallenden Beobachter misst man die Zeit auf seiner eigenen Uhr (die nicht gleich ist$t$), sie überschreiten den Ereignishorizont und sie fallen darauf zu$r=0$in einer endlichen Zeit. Um dies zu handhaben, können wir ein anderes Koordinatensystem definieren (und es stehen mehrere zur Auswahl), die am Ereignishorizont kontinuierlich sind. Das vielleicht einfachste ist das Gullstrand-Painleve-Koordinatensystem , in dem die zeitähnliche Koordinate$t$wird durch eine neue Koordinate ersetzt$T$das ist definiert als$t - a(r)$, wo$a(r)$ist so definiert, dass ein Inkrement von$T$ist genau dasselbe wie ein Ticken der Uhr, das von einem Beobachter getragen wird, der frei in das Schwarze Loch fällt. Damit entfällt das Koordinatenproblem am Ereignishorizont und die Intervallgleichung ist geschrieben

Lichtkegel innerhalb des Ereignishorizonts des Schwarzen Lochs

Indem man es einstellt$ds^2$auf Null, und der Einfachheit halber unter Berücksichtigung radialer Pfade wo$d\theta=d\phi=0$, ist leicht zu sehen, dass die Lichtkegel durch die Gleichung definiert sind

Die Lichtkegel, die dieser Gleichung entsprechen, sind unten dargestellt (Abbildung nach Exploring Black Holes von Taylor, Wheeler & Bertschinger), wobei$r_s = 2GM/c^2$, der Ereignishorizont (wobei$r=r_s$ist mit einer roten Linie markiert und die zukünftigen und vergangenen Lichtkegel sind mit einem F und einem P markiert und werden nach der Gleichung für berechnet$cdT/dr$oben angegeben.

Der Schlüsselpunkt in diesem Diagramm, der die hier gestellte Frage beantwortet, ist der bei$r=r_s$, die Lichtkegel sind definiert durch

Was dies bedeutet, ist einmal$r<r_s$innerhalb des Ereignishorizonts kippen die Lichtkegel in Richtung abnehmend$r$und alle zukünftigen Ereignisse innerhalb der zukünftigen Lichtkegel haben kleinere Werte von$r$. Daher können keine Signale, die innerhalb des Ereignishorizonts emittiert werden, jemals zu einem größeren gesendet werden$r$und sogar ein Lichtstrahl, der nach außen gerichtet ist, bewegt sich tatsächlich zu einem kleineren Wert von$r$. Deshalb wird er Ereignishorizont genannt.

Die Schwerkraft ist die Kraft, die das eigentliche Gewebe der Raumzeit biegt. Während der Sonnenfinsternis haben Wissenschaftler gesehen, wie das Licht entfernter Sterne, die sich in der Nähe der Sonne befinden, ihre Bahn ändert. Es beweist also, dass Licht von der Schwerkraft beeinflusst wird. Jetzt, da Sie wissen, dass Licht von der Schwerkraft beeinflusst wird, müssen Sie auch wissen, dass die Gravitationskraft eines Schwarzen Lochs immens ist. Da alles auf der Erde eine Mindestgeschwindigkeit haben muss, um die Anziehungskraft der Erde zu überwinden (die Fluchtgeschwindigkeit genannt wird), ist etwas, das der Mensch erreichen konnte, also erreichen unsere Raumschiffe und Raketen den Weltraum. Aber die Fluchtgeschwindigkeit, die erforderlich ist, um die Anziehungskraft eines Schwarzen Lochs zu überwinden, ist größer als die Lichtgeschwindigkeit. Und da wir wissen, dass sich nichts schneller als das Licht fortbewegt, schluckt das Schwarze Loch alles und jeden, was ihm zu nahe kommt, einschließlichLicht .

Hier ist eine andere Erklärung.

Aufgrund des Gleichheitsprinzips ist das Stehen auf der Oberfläche eines Planeten und das Beschleunigen gleich.

Weit entfernt von massiven Körpern führt eine feste Eigenbeschleunigung zu einer hyperbolischen Bahn im Raum-Zeit-Diagramm. Die Asymptote dieser Hyperbel ist diagonal (nähert sich der Lichtgeschwindigkeit an).

Wenn Sie sich diese Hyperbel vorstellen, können Sie sehen, dass, wenn Sie einen Lichtstrahl über eine bestimmte Entfernung hinaus auf das beschleunigende Objekt schießen, er es nie erreichen wird. Das ist der Rindler-Horizont , darüber hinaus erreicht dich kein Licht. Beschleunigt man mit$a$der Rindler-Horizont ist bei$c^2/a$hinter dir.

Analog dazu ist der Ereignishorizont des Schwarzen Lochs. Wenn Sie über einem Schwarzen Loch schweben, befinden Sie sich in einem sich beschleunigenden Referenzrahmen, sodass der Rindler-Horizont am Ereignishorizont existiert (unter Verwendung der Schwarzschild-Metrik).

Der Rindler-Horizont verschwindet, wenn der Beobachter die Beschleunigung stoppt. Der Beobachter in der Nähe eines Schwarzen Lochs stoppt die Beschleunigung, wenn er einen freien Fall in Richtung des Schwarzen Lochs beginnt, seine Bewegung wird träge, sodass der Ereignishorizont ebenfalls verschwinden sollte. Da die Schwerkraft jedoch nicht einheitlich ist, verschwindet der Ereignishorizont nicht, sondern bleibt beim Einfallen unter dem Beobachter.

Die obige Aussage, dass ein Photon keine „Ruhe“-Masse hat, widerspricht eigentlich der Realität. Wenn sich ein Objekt der Geschwindigkeit C nähert, wird seine Masse relativ kleiner und kleiner, bis es die asymptotische Lichtgeschwindigkeit erreicht und praktisch masselos, zeitlos und raumlos wird. Je mehr Energie das Photon hat, desto kleiner die Wellenlänge, höher die Frequenz und höher die Ruhemasse. Diese Gleichung kann durch mv=hf/c gegeben werden. Technisch gesehen ähneln Sie selbst (und dieser gesamte Planet) nur einer Gruppe von Photonen in Bezug auf einen Bezugsrahmen (z. B. eine Galaxie, die sich mit sehr hoher Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung zu unserer bewegt). Ich denke, dass die Schwerkraft Photonen beeinflusst, weil sie zwar masselos sind (per Definition hat sie keine Masse, wenn sie sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen), weil sie, sogar masselos, ein photonisches Energiebündel sind.