Warum rollt eine Bowlingkugel am Hang schneller herunter als ein Tennisball, aber beide treffen gleichzeitig auf den Boden, wenn sie vom Dach fallen? [abgeschlossen]

Die einfache Erklärung ist, dass der Tennisball hohl ist.

Wenn Sie die Objekte einfach fallen lassen, werden sie der gleichen Beschleunigung ausgesetzt - der Erdbeschleunigung - und sonst nichts. Die Energieerhaltung besagt dann, dass ihre potenzielle Gravitationsenergie am Boden vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden sollte:

$$mg\Delta h=\frac{1}{2}mv^2\to v=\sqrt{2g\Delta h}$$

Seit den Anfangshöhen$\Delta h$gleich sind, haben beide die gleiche Geschwindigkeit (wenn auch nicht zeitlich konstant), egal wie weit sie fallen und somit gleichzeitig aufschlagen.

Wenn man sie jedoch das Dach herunterrollt, wird die anfängliche Gravitationspotentialenergie,$mg\Delta h$, wird nicht nur in Bewegungsenergie, sondern auch in Rotationsenergie umgewandelt. Die Rotationsenergie von etwas ist$\frac{1}{2}I\omega^2$, wo$I$ist das Trägheitsmoment (das Rotationsäquivalent der Masse) und$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit ($\omega=v/r$; die Geschwindigkeit des Objekts dividiert durch seinen Radius).

Das ist alles schön und gut, also besteht der Unterschied zwischen der Bowlingkugel und dem Tennisball nun darin, dass die Bowlingkugel massiv und der Tennisball hohl ist. Wenn Sie es einfach fallen lassen, gibt es keinen Unterschied. Beim Rollen wirken sich die unterschiedlichen Massenverteilungen jedoch unterschiedlich auf die Trägheitsmomente aus. Eine feste Kugel hat$I=\frac{2}{5}mr^2$, während eine hohle Kugel (ich weiß, dass der Tennisball nicht perfekt hohl ist, aber machen wir diese Annäherung, okay?) hat$I=\frac{2}{3}mr^2$. Was bedeutet das? Nun, lass uns rechnen (Mathe macht Spaß!).

Für die Bowlingkugel haben wir:

$$mgh=\frac{1}{2}\left(I\omega^2+mv^2\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\cdot\frac{v^2}{r^2}+mv^2\right)\to v=\sqrt{\frac{10}{7}gh}$$

Während wir für den Tennisball haben:

$$mgh=\frac{1}{2}\left(I\omega^2+mv^2\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}mr^2\cdot\frac{v^2}{r^2}+mv^2\right)\to v=\sqrt{\frac{6}{5}gh}$$

Beachten Sie, dass die Masse beider Kugeln größtenteils irrelevant ist, und das seitdem$\sqrt{\frac{10}{7}}>\sqrt{\frac{6}{5}}$, die Vorwärtsgeschwindigkeit,$v$, der Bowlingkugel ist größer als die des Tennisballs; nur weil einer hohl und einer fest ist.

Es ist auch erwähnenswert, dass der Radius, wie Sie vielleicht festgestellt haben, die Vorwärtsgeschwindigkeit nicht ideal beeinflusst. Dies lässt sich leicht durch die obigen Gleichungen sowie experimentell zeigen. Nehmen Sie einige feste Kugeln mit unterschiedlichen Radien und rollen Sie sie eine Schräge hinunter (ich arbeite in einem Physik-Lehrlabor, also glauben Sie mir, wenn ich sage, dass ich das schon oft gemacht habe), Sie sollten sehen, dass sie gleichzeitig den Boden erreichen. Yay! Physik ist cool!

Ich habe dieses Experiment nicht ausprobiert, aber die ersten beiden Faktoren, die mir einfallen, sind:

1. Rollreibung Die Bowlingkugel ist hart und glatt, während die Tenniskugel unscharf und weicher ist. Dies würde zu einem größeren Rollreibungskoeffizienten des Tennisballs führen.
2. Verteilung der Masse Der Tennisball ist hohl, während die Bowlingkugel massiv ist. Dies bedeutet, dass der Tennisball Gramm für Gramm ein höheres Trägheitsmoment hat, was bedeutet, dass ein größeres Drehmoment erforderlich ist, um ihn in Drehung zu versetzen. Siehe Jims Antwort für viel mehr Details. Dies ist eine Variation der klassischen Unterrichtsdemo einer massiven Scheibe und eines Rings mit gleicher Masse und gleichem Radius, der eine Rampe hinunterrollt – die Scheibe gewinnt.

Unter Vernachlässigung des Luftwiderstands und anderer Reibungseffekte als denen, die die Objekte zum Rollen bringen, ist der Unterschied auf die Massenverteilung um die Rotationsachse und nicht auf die tatsächliche Masse der beiden Objekte zurückzuführen.

Das Trägheitsmoment eines Körpers ist ein Maß für den Widerstand, den der Körper einer Winkelbeschleunigung aussetzt, und das Trägheitsmoment einer festen Kugel (Bowlingkugel) ist proportional um einen Faktor kleiner als das einer Hohlkugel (Tennisball). um$\frac 3 5$.
Das bedeutet, dass die Winkelbeschleunigung und damit auch die Translation der Bowlingkugel größer ist als die des Tennisballs.

Anders ausgedrückt: Wenn die Bowlingkugel einen Abhang hinunterrollt, geht proportional mehr des Gravitationspotentials, das sie verliert, in die kinetische Translationsenergie und weniger in die kinetische Rotationsenergie im Vergleich zu den Energieübertragungen auf einen Tennisball.

Die Ableitung für die Beschleunigung einer einen Hang hinunterrollenden Festkörperkugel wird hier als masseunabhängig gezeigt und Sie können die Ableitung so anpassen, dass gezeigt wird, dass die Beschleunigung der Bowlingkugel größer ist als die einer Tenniskugel.

Wenn die Objekte wieder fallen, sind ihre Beschleunigungen unabhängig von der Masse, und da der gesamte Verlust an potenzieller Gravitationsenergie nur in kinetische Translationsenergie geht, beschleunigen die Körper mit der gleichen Geschwindigkeit und erreichen den Boden gleichzeitig.