Warum sagen die Leute, dass Hamiltons Prinzip ganz aus der klassischen Mechanik stammt? Wie erhält man Newtons drittes Gesetz?

Newtons drittes Gesetz besagt, dass es für jede Aktion eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion gibt. Dies ist eine Aussage über Momentum-Gespräche.

In der Euler-Lagrange-Gleichung der letzte Term

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}$$ ist eine verallgemeinerte Kraft. Ähnlich verhält es sich mit dem verallgemeinerten Impuls $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot q_i}.$$ Wenn die verallgemeinerte Kraft null ist, dann $$\frac{d}{dt} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot q_i} = 0$$ Mathematisch bedeutet dies, dass der verallgemeinerte Impuls zeitlich konstant ist, also erhalten bleibt, was das dritte Newtonsche Gesetz ist.

Wir brauchen nicht einmal die Lagrange-Funktion, um alle Newtonschen Gesetze zusammenzufassen. Wie Sie wahrscheinlich wissen, Newtons zweites Gesetz$F=ma$ist ein Sonderfall von$F = \frac{dp}{dt}$. Dies erklärt im Allgemeinen alle Newtonschen Gesetze:

• Newtons 1. Gesetz – ein Objekt verharrt in einem Zustand gleichförmiger Bewegung, wenn es nicht durch eine äußere Kraft dazu gezwungen wird: Wenn$F = 0$, dann$\frac{dp}{dt} = 0$, und somit$p$ist konstant.
• Newtons 2. Gesetz -$F = ma$: wenn m konstant ist, dann $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = m\frac{dv}{dt} = ma.$$
• Newtons 3. Gesetz - siehe die folgende Ableitung.

Im Allgemeinen sind die dritten Newtonschen Gesetze insofern etwas redundant, als sie alle beschrieben werden können

$$\vec F = \frac{d\vec p}{dt}.$$

(oder durch die Euler-Lagrange-Gleichung, wie Sie argumentieren.)

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Bearbeiten: Ableitung von N3L mit Impulserhaltung

Stellen Sie sich ein System mit Gesamtimpuls vor$\vec p_{\rm tot}$und zwei Teilchen mit Impulsen$\vec p_1$und$\vec p_2$so dass$\vec p_{\rm tot} = \vec p_1 + \vec p_2$. Ist das System abgeschlossen, so bleibt der Gesamtimpuls erhalten, also

$$\frac{d\vec p_{\rm tot}}{dt} = 0.$$ Wenn Sie beide Seiten differenzieren, erhalten Sie $$\frac{d}{dt}(\vec p_{\rm tot}) = \frac{d}{dt}(\vec p_1 + \vec p_2)$$ $$0 = \frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$$ $$\vec F_1 = -\vec F_2$$

Hier ist eine etwas andere Sicht auf dieselbe Frage von Lanczos, der in seinem Klassiker „THE VARIATIONAL PRINCIPLES OF MECHANICS“ (siehe: https://archive.org/details/VariationalPrinciplesOfMechanicsLanczos ) auf Seite 77 das schreibt

Diejenigen Wissenschaftler, die behaupten, die analytische Mechanik sei nichts anderes als eine mathematisch andere Formulierung der Newtonschen Gesetze, müssen davon ausgehen, dass das Postulat A aus den Newtonschen Bewegungsgesetzen ableitbar ist. Der Autor kann sich nicht vorstellen, wie dies geschehen kann. Sicherlich ist das dritte Bewegungsgesetz, „Aktion gleich Reaktion“, nicht breit genug, um Postulat A zu ersetzen.

Hier ist Postulat A auf der vorherigen Seite 76 definiert als:

Da das Gleichgewichtsprinzip verlangt, dass "eingeprägte Kraft plus resultierende Reaktionskraft gleich Null ist", sehen wir, dass die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte durch die negative virtuelle Arbeit der Reaktionskräfte ersetzt werden kann. Damit lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit in folgender Form formulieren, die wir Postulat A nennen:

"Die virtuelle Arbeit der Reaktionskräfte ist immer Null für jede virtuelle Verschiebung, die im Einklang mit den gegebenen kinematischen Randbedingungen steht."

Dieses Postulat ist nicht auf den Bereich der Statik beschränkt. Gleiches gilt für die Dynamik, wenn das Prinzip der virtuellen Arbeit mittels des d'Alembertschen Prinzips geeignet verallgemeinert wird. Da alle grundlegenden Variationsprinzipien der Mechanik, die Prinzipien von Euler, Lagrange, Jacobi, Hamilton, nur alternative mathematische Formulierungen des d'Alembertschen Prinzips sind, ist Postulat A tatsächlich das einzige Postulat der analytischen Mechanik und daher von grundlegender Bedeutung.