Warum sind Bahnen elliptisch statt kreisförmig?

Angenommen, der Planet hat im Vergleich zum Stern eine vernachlässigbare Masse, dass beide kugelsymmetrisch sind (das Newtonsche Gravitationsgesetz gilt also, aber dies geschieht normalerweise sowieso in sehr guter Näherung) und dass außer der Schwerkraft keine Kräfte zwischen ihnen wirken . Wenn die erste Bedingung nicht zutrifft, wird die Beschleunigung von jedem in Richtung des Schwerpunkts des Systems erfolgen, als ob der Schwerpunkt sie mit einer bestimmten reduzierten Masse einer Gravitationskraft anziehen würde, sodass das Problem mathematisch äquivalent ist.

Nimm den Stern als Ursprung. Nach Newtons Gravitationsgesetz ist die Kraft$\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$, wo$\mathbf{r}$ist der Vektor zum Planeten,$m$ist seine Masse, und$\mu = GM$ist der Standard-Gravitationsparameter des Sterns.

Naturschutzgesetze

Denn die Kraft ist rein radial$(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$, Drehimpuls$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$wird konserviert:

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ Wenn die Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null ist und der Stern im Ursprung steht, muss die Umlaufbahn in Bezug auf die Anfangsposition und -geschwindigkeit auf die Ebene aller Punkte mit Vektoren beschränkt sein $\mathbf{x}$vom Ursprung, die befriedigen $\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, dann ist die Bewegung rein radial, und wir können jede beliebige von unendlich vielen Ebenen nehmen, die den Schwerpunkt und die Anfangsposition enthalten.

Die Gesamtbahnenergie ist gegeben durch

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$ wobei der erste Termteil die kinetische Energie und der zweite Term die Gravitationspotentialenergie des Planeten ist. Seine Erhaltung sowie die Tatsache, dass es die richtige potentielle Energie anruft, kann durch den Fundamentalsatz der Analysis für Linienintegrale bewiesen werden.

Definieren Sie den Laplace-Runge-Lenz-Vektor zu sein

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ Es wird auch konserviert: $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Schließlich nehmen wir auch$\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$, die die gleichen Einheiten wie hat$\mathbf{r}$, und da$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$, es liegt entlang der Orbitalebene. Da es sich um einen konservierten Vektor handelt, der durch einen konservierten Skalar skaliert wird, lässt sich das leicht zeigen$\mathbf{f}$bleibt auch erhalten, solange$\mathcal{E}\neq 0$.

Vereinfachen

Indem wir das Vektor-Tripelprodukt verwenden, können wir schreiben

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ dessen Normquadrat lässt sich leicht herauskurbeln: $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ wo $\mathcal{E}$wurde durchgehend verwendet, um zwischen kinetischen und potentiellen Termen umzuschalten.

Warum Ellipsen?

Seit$\mathcal{E}$ist Energie relativ zur Unendlichkeit, um eine gebundene Umlaufbahn zu haben, die wir brauchen$\mathcal{E}<0$. Also aus dem vorigen Abschnitt,$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$und deshalb

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ die eine Ellipse mit Brennpunkten definiert $\mathbf{0},\,\mathbf{f}$und Hauptachse $2a=-m\mu/\mathcal{E}$.

Warum nicht Kreise?

Der Kreis ist ein Sonderfall, bei dem die Brennpunkte derselbe Punkt sind,$\mathbf{f} = \mathbf{0}$, was umformuliert werden kann als

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ Mit anderen Worten, kreisförmige Umlaufbahnen erfordern, dass die Umlaufbahnenergie das Negative der kinetischen Energie ist. Dies ist möglich, aber mit ziemlicher Sicherheit nicht genau zu halten. Da irgendwelche Werte von $\mathcal{E}<0$für gebundene Bahnen erlaubt sind, gibt es viele weitere Möglichkeiten, elliptische Bahnen zu haben. (Obwohl einige von ihnen tatsächlich abstürzen würden, weil der Stern und der Planet eine positive Größe haben.)

Beachten Sie, dass hyperbolische Bahnen haben$\mathcal{E}>0$, und wir können die Brennpunkte immer noch mit der obigen Methode finden, obwohl wir mit den Zeichen vorsichtig sind. Für$\mathcal{E}=0$, der zweite Schwerpunkt$\mathbf{f}$ist undefiniert, weil dies eine parabelförmige Umlaufbahn ist und Parabeln nur einen Brennpunkt innerhalb einer endlichen Entfernung vom Zentrum haben.

Zusätzlich der Exzentrizitätsvektor $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$ist eine alternative Wahl für den LRL-Vektor; Wie der Name schon sagt, ist seine Größe die orbitale Exzentrizität.

Es ist möglich, dass ein Planet eine kreisförmige Umlaufbahn hat, schließlich ist ein Kreis eine Ellipse, bei der beide Brennpunkte am selben Ort sind; dies wird als Exzentrizität von 0 bezeichnet . Exzentrizität wird wie folgt definiert:

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ wo $r_{a}$ist die Apoapsis (am weitesten vom Massenmittelpunkt entfernter Punkt in der Umlaufbahn) und $r_{p}$ist die Periapsis (der nächste Abstand). Nur um hier etwas Intuition aufzubauen, wenn die Apoapsis doppelt so weit entfernt ist wie die Periapsis, wird die Exzentrizität sein $e=0.333$.

Von allen Planeten des Sonnensystems hat die Venus mit einer Exzentrizität von 0,007 die kreisrundeste Umlaufbahn.

Warum nicht alle Umlaufbahnen rund sind, hängt von der kinetischen Energie ab . Die kinetische Energie ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. In der Orbitalebene und in Polarkoordinaten um den Stern können wir dies in eine Kombination aus Radialgeschwindigkeit zerlegen$\dot{r}$und Winkelgeschwindigkeit$\dot{\phi}$:

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$ Da Kreise konstante Radien haben, muss die Radialgeschwindigkeit des Planeten genau null sein, damit die Umlaufbahn um den Stern kreisförmig ist. Außerdem muss die Winkelgeschwindigkeit so sein, dass die Zentrifugalkraft im mitrotierenden Rahmen die Gravitationskraft genau ausgleicht – etwas mehr oder etwas weniger, das Ungleichgewicht ändert die Radialgeschwindigkeit und stört den Kreis.

Angesichts der Tatsache, dass die Geschwindigkeiten aus einer Vielzahl von Gründen variieren, ist es kein Wunder, dass nur wenige Umlaufbahnen kreisförmig sind, und wenn man bedenkt, dass sich die tatsächlichen Umlaufbahnen mit der Zeit ändern , wissen wir, dass sie dies nicht lange bleiben können.

Wenn Sie nach einem mathematischen Beweis suchen, teilt dieser Link einige Details darüber mit .

Hier ist ein Bild, das die Exzentrizität einiger Körper im Sonnensystem zeigt, das von hier extrahiert wurde :

Ich bevorzuge immer Antworten, die versuchen, jede Formel zu vermeiden und stattdessen auf Argumentation zu antworten. Bezüglich des Teils der Frage, warum nicht alle Bahnen kreisförmig sind, wäre eine Argumentation wie folgt:

Stellen Sie sich einen stationären Stern und einen sich bewegenden Planeten vor. Für jeden Impuls, den der Planet haben kann, lässt sich eine Kurve für seine weitere Bewegung vorhersagen. Wenn dieser Impuls genau orthogonal zur Linie vom Stern zum Planeten gerichtet ist und die Geschwindigkeit genau den Betrag hat, dann kann diese Bewegungskurve ein exakter Kreis sein.

Aber für jede Abweichung von diesem einen exakten Impuls kann die resultierende Kurve kein Kreis sein:

• Wenn die Geschwindigkeit zu gering ist, fällt der Planet auf den Stern zu (im Extremfall eines Impulses von Null wird dieser Fall geradlinig sein).
• Ist die Geschwindigkeit zu hoch, entfernt sich der Planet vom Stern (ähnlich einer Steinschleuder).
• Wenn der Impuls nicht direkt orthogonal zur Linie zum Stern ist, bewegt die erste Bewegung den Stern auf den Stern zu oder von ihm weg, sodass die Kurve wiederum kein Kreis ist.

Man kann also einfach argumentieren, ein Kreis ist ein ganz besonderer Fall für die Kurve, die ein Planet um einen Stern nehmen kann.

Diese Antwort wird auf der Ebene der Frage für Lernende und nicht für Fachleute behandelt. Da sich die Planeten unseres Sonnensystems in engen Kreisen bewegen, stellen sich die Menschen vor, dass dies irgendwie der natürliche Zustand ist. Aber es ist eine knifflige Frage.

Zuerst sollten wir uns die Schwerkraft als eine umgedrehte Trompetenform und einen Planeten als eine Kugel vorstellen, die auf einer solchen Oberfläche rollt. Abhängig von der Richtung und Geschwindigkeit, die Sie dem Ball geben, fällt die Flugbahn mit der Tendenz, sich nach innen zu krümmen, wird aber auch schneller und schwingt dann herum und schießt wieder heraus, um sich später zu verlangsamen und wieder hinein zu krümmen. Es gibt KEINEN GRUND, einen schönen Kreis zu bekommen, es sei denn, Sie wählen Ihre Anfangsgeschwindigkeit und -richtung sehr sorgfältig aus. Im Allgemeinen zeigt Newtons Mathematik, dass Sie eine Ellipse für eine einzelne Planetenumlaufbahn erhalten, und ein Kreis ist eine spezielle Ellipse.

Aufgrund dessen, wie das Sonnensystem aus dem Gravitationskollaps einer riesigen Gas- und Staubwolke entsteht, neigt das Material jedoch dazu, ähnlich wie ein Hurrikan in einen kreisförmigen Wirbel getrieben zu werden, und Planeten kondensieren durch Akkretion in nahezu kreisförmigen Bahnen. Komplexe Kollisionen können alles verändern, aber Kreisbahnen haben eine gute Chance, nicht in andere Kreisbahnen zu kreuzen, und so enden wir ungefähr mit diesen, und zum Glück für uns ist unser System in der Nähe von Kreisbahnen glücklicherweise ziemlich stabil und driftet nicht viel von Störungen anderer ab Planeten in exzentrische Umlaufbahnen, was fatal wäre. Tatsächlich zeigen detaillierte Berechnungen, dass die Planeten einander helfen, Stabilität aufrechtzuerhalten, aber es gibt keinen offensichtlichen Grund dafür, außer wenn es nicht so gewesen wäre, dass wir nicht hier wären.