Warum stellt die Neumann-Randbedingung keinen Fluss dar?

Was ist die Beziehung zwischen dem Druck und den Verschiebungs-/Geschwindigkeitsfeldern, die dies irgendwie zu einem Zustand ohne Fluss macht?

Die Neumann-Randbedingung ist nur eine Bedingung/Einschränkung, die den Gradienten einiger Parameter auferlegt wird.$Q$, senkrecht zur Grenzfläche, oder:

$$\mathbf{n} \cdot \nabla Q = f\left(\mathbf{r},t\right) \tag{1}$$ Wo $\mathbf{n}$ist der nach außen gerichtete Einheitsnormalenvektor zur Oberflächenbegrenzung und $f\left(\mathbf{r},t\right)$ist eine bekannte/gegebene Skalarfunktion von Position und/oder Zeit.

In dem von Ihnen gezeigten spezifischen Beispiel gibt es keinen Druckgradienten entlang des nach außen gerichteten Einheitsnormalenvektors. Aus den Euler-Gleichungen wissen wir:

$$\rho \left( \partial_{t} \ \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = - \nabla \ P + \mathbf{F}_{ext} \tag{2}$$ Wo $\rho$ist die Massendichte der Flüssigkeit, $\mathbf{u}$ist die Fluidelementgeschwindigkeit, $P$ist der skalare Druck, $\mathbf{F}_{ext}$eine externe Kraft ist (normalerweise angenommen, dass es sich um die Schwerkraft handelt), und $\partial_{j}$ist nur die partielle Ableitung in Bezug auf den Parameter $j$. In Abwesenheit von Schwerkraft oder einer äußeren Kraft und Kugelsymmetrie zeigen die Gleichungen 1 und 2 Folgendes: $$\left( \partial_{t} \ \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = 0 \tag{3}$$

Wir können dies weiter reduzieren, indem wir die Kontinuitätsgleichung verwenden , die gegeben ist durch:

$$\partial_{t} \ \rho + \nabla \cdot \left( \rho \ \mathbf{u} \right) = 0 \tag{4}$$ und eine Steady-State -Annahme, um das zu finden $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$. Im Allgemeinen wird eine divergenzlose Geschwindigkeit als inkompressible Strömung interpretiert , aber in einem 1D-kugelsymmetrischen System (dh es kommt nur auf die radiale Richtung an) entspricht dies auch keiner Strömung.

Warum stellt die Neumann-Randbedingung also einen Nullfluss an der Grenze dar?

In einer allgemeinen Dimensionsanalyse ist ein Fluss nur eine Dichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit. Dies wird oft in verschiedenen Formen der Kontinuitätsgleichung gezeigt (z. B. siehe Gleichung 4 oben für Fluidströmung), wobei der erste Term die zeitliche Änderungsrate einer Dichte und der zweite die Divergenz eines Flusses ist . Druck ist eine Art Impulsfluss . Also die Bedingung, dass$\mathbf{n} \cdot \nabla P = 0$bedeutet, dass es keine Änderung des Impulsflusses entlang der äußeren Einheitsnormalen der Grenze gibt. Die allgemeine Form des Drucks ist ein Rang-2-Tensor, kein Skalar. Es reduziert sich auf einen Skalar, wenn das System symmetrisch und eindimensional ist.