Warum summieren sich faire Münzwürfe nicht? Oder ... ist der "Trugschluss des Spielers" wirklich gültig?

Da Sie um eine formlose Antwort gebeten haben, werde ich versuchen, dem nachzukommen, indem ich keine Zahlen oder Gleichungen verwende.

Grundsätzlich ist Ihre Frage, wie es dazu kommt, dass einzelne Ereignisse völlig unvorhersehbar sein können, aber wenn Sie viele davon entweder in einer Folge oder in einer Masse zusammenstapeln, wird das Verhalten des gesamten Stapels, wenn nicht sogar vollständig vorhersehbar, zumindest weitgehend vorhersehbar? Die Antwort heißt Gesetz der großen Zahlen und ist eines der grundlegendsten Konzepte der Statistik.

Stellen Sie sich zur Veranschaulichung etwas vor, das Galton-Box genannt wird: Es ist eine dreieckige Box, die vertikal steht, mit ihrer Basis auf dem Boden und einer Spitze oben. Oben befindet sich ein Loch, in das ein Ball fallen kann. Eine Reihe von Stiften oder Stiften sind so platziert, dass ein Ball auf unvorhersehbare Weise entweder nach rechts oder links fällt, bis er den Boden erreicht. Wie in diesem Diagramm dargestellt, ist das Ergebnis, wenn viele Bälle hineingeworfen werden, ein Haufen in der Mitte. Wir können nicht vorhersagen, wohin ein einzelner Ball fallen wird, aber wenn wir genügend Bälle hineingeben, können wir zunehmend sicher sein, dass wir eine glockenförmige Kurve erhalten, einfach weil es sehr unwahrscheinlich ist, dass sich ein Ball ständig nach links oder rechts bewegt . Eine Möglichkeit, sich das vorzustellen, besteht darin, die möglichen Pfade bis zu einem Punkt auf der Unterseite zu zählen.Das bedeutet, dass wir nicht annehmen müssen, dass sich ein Ball an die vorherigen Stürze erinnert. Jede Kugel ist unabhängig, und die resultierende Kurve (eine Binomialverteilung) ergibt sich spontan daraus. Dies ist eines von vielen Beispielen dafür, wie scheinbar geordnetes Verhalten entstehen kann, selbst wenn auf der Mikroebene viele ungeordnete Dinge vor sich gehen. Ein anderer ist der radioaktive Zerfall: Wir können nicht vorhersagen, wann ein Atom zerfallen wird, aber bei einer großen Masse von ihnen können wir sehr genau vorhersagen, welcher Anteil von ihnen in einem bestimmten Zeitintervall zerfallen wird. Ein weiteres Beispiel ergibt sich aus der kinetischen Wärmetheorie: Wir können nicht vorhersagen, wie sich einzelne Moleküle bewegen, aber wenn wir genug davon zusammenfügen, können wir allerlei nützliche Dinge über ihre thermodynamischen Eigenschaften sagen.

Der Irrtum des Spielers ist also ein echter Irrtum, auch wenn er immer wieder verlockend ist. Meine Lieblingsmethode, um die Intuition der Leute zu testen, ist, sie folgendes zu fragen: Angenommen, ich beschließe, jede Woche Lotto zu spielen, und meine bevorzugte Strategie zum Auswählen der Zahlen besteht darin, die Zahlen zu suchen, die letzte Woche gewonnen haben, und diese auszuwählen. Sie werden viele Leute finden, die das für verrückt halten, weil die Chancen, dass die gleichen Zahlen zwei Wochen hintereinander gewinnen, winzig sind. Aber natürlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reihe von Zahlen gewinnt, gleich: Sie wird nicht durch den Gewinn der Vorwoche beeinflusst.

Wenn die Wahrscheinlichkeit für Kopf = p ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl = 1- p . Wenn es sich um eine faire Münze handelt, dann ist p = 1 - p und die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl ist p = 1/2.

Nehmen wir nun an, dass die Anzahl der Münzwürfe N ist , und nehmen wir an, dass N ziemlich groß wird. Der erwartete Wert der Zufallsvariablen, dh die Anzahl der Köpfe aus den N Würfen, wird um den Mittelwert Np herum liegen , was für eine ehrliche Münze N /2 ist.

Die Varianz der Zufallsvariablen (die Gesamtzahl der Köpfe bei N Würfen) ist Np (1- p ) (was für die ehrliche Münze N /4 ist), was das Quadrat der Standardabweichung ist . Das heißt, wenn N um den Faktor 4 erhöht wird, dann erhöht sich die Standardabweichung nur um den Faktor 2.

Wenn also die Anzahl der Würfe zunimmt, nimmt die Abweichung der Anzahl der Köpfe (das ist sqrt( N )/2)) vom erwarteten Mittelwert (das ist N /2) zu, aber nicht so schnell wie die Anzahl der Würfe zunimmt . Wenn Sie durch N dividieren, wird der Prozentsatz dieser erwarteten Abweichung innerhalb der Gesamtzahl der Würfe kleiner und nähert sich den erwarteten 50 %. Das liegt daran, dass es (sqrt( N )/2)/ N = 1/(2 sqrt( N )) ist.

Aus einem prozentualen POV sieht es so aus, als ob Sie dem, was von einer ehrlichen Münze erwartet wird, immer näher kommen.

Von einem Count POV sieht es nicht genau gleich aus. Wenn Sie eine ehrliche Münze 1.000.000 Mal werfen, wird die Anzahl der Köpfe wahrscheinlich weit von 500.000 entfernt sein. Aber der Prozentsatz der Kopfzahl an der Gesamtzahl der Würfe wird sehr nahe bei 50 % liegen. Und es wird mit immer mehr Würfen näher an 50 % herankommen, aber der absolute Abstand weg von der 50 %-Marke wird mit einer Rate wachsen , die proportional zu sqrt( N ) ist. Aber die Zahl der Würfe wächst mit einer Rate von N .

Die Konvergenz erscheint ziemlich schnell.

Das ist Ihre falsche Annahme. Es erscheint ziemlich schnell. In den meisten Fällen. Aber überhaupt nicht jedes Mal.

Es gibt gewissermaßen zwei Wahrscheinlichkeitsschichten: In Schicht eins hat jedes einzelne Ereignis genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie seine Vorgänger. In Schicht zwei hat die Abfolge von Ereignissen als Ganzes eine Wahrscheinlichkeit, dass sie eintritt. Und jede einzelne Sequenz einer bestimmten Länge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass sie auftritt, dh. HTHTHTHT hat dieselbe Wahrscheinlichkeit wie HHHHHHHH (H=Kopf, T=Zahl), nämlich 0,5^8. Nur weil über alle möglichen Folgen einer gegebenen Länge hinweg die Zahl der Kopf- und Zahlzahlen jeweils 50 % beträgt, konvergiert im Allgemeinen eine Folge unabhängiger Würfe gegen diese Frequenzen. Und natürlich gibt es noch viele, viele weitere Serien mit einer Länge von acht Würfen, die mindestens eine Zahl enthalten, was uns ausmachtdenke , dass es ziemlich bald Schwänze geben wird.

Das Problem ist, dass man sozusagen nie weiß, in welcher Reihenfolge man sich befindet. Deshalb soll für den Spieler mit Blick in die Zukunft nur die Wahrscheinlichkeit des nächsten Einzelereignisses zählen. Die Unwahrscheinlichkeit des 11. Kopfes nach 10 Mal Kopf ist rein subjektiv, weil es so viel mehr Folgen mit mindestens einem Zahl gibt, aber sie beträgt immer noch 50%. Schließlich ist 10 Kopf hintereinander das unwahrscheinliche Ereignis, nicht dass der nächste Wurf wieder Kopf ist. Aber naja, es ist trotzdem passiert, also macht es für den nächsten Wurf keinen Unterschied.

Sie müssen sehen, was genau das Ereignis (und Objekt der Wahrscheinlichkeit) ist. Im Münzbeispiel ist die bisherige Reihe ein eingetretenes Ereignis. Es gab also eine Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieser Serie, aber jetzt, da es passiert ist, bleibt nur eine Häufigkeit des Auftretens übrig , die wir bereits kennen . Die einzige Wahrscheinlichkeit im engeren Sinne, bei der es darum geht, zukünftige oder zumindest unbekannte Sachverhalte vorherzusagen, ist die des nächsten Ereignisses oder der kommenden Serie. Sobald der nächste Wurf gemacht wird und wir das Ergebnis gesehen haben, gibt es nur noch die Wahrscheinlichkeit für das nun nächste Ereignis und die nun folgende mögliche Serie.

Der Trugschluss besteht in der Annahme, dass, weil es immer mehr mögliche Folgen mit mindestens einem Zahl gibt, je länger die Gesamtfolge wird, die Wahrscheinlichkeit von Zahl steigt , nachdem er eine große Anzahl von Köpfen erlebt hat . Aber egal, wie unwahrscheinlich die Sequenz war, auf die er bereits gestoßen ist , es ist ein Kategoriefehler, die Wahrscheinlichkeit auf vergangene und bekannte Ereignisse anzuwenden, dh. "seine" Folge +1 Wurf im Vergleich zu allen anderen möglichen Folgen dieser Länge . Bei jedem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit immer noch 50 %, egal was vorher passiert ist.

Die eigentliche Wahrscheinlichkeit macht nur Sinn/gilt für zukünftige oder unbekannte Sachverhalte!

Als Randbemerkung folgendes "Gegenbeispiel": Betrachten Sie drei Türen, Sie wählen eine, die die "Wahrscheinlichkeit" hat, den Gewinn von 1/3 zu enthalten. Jetzt wird eine Tür geöffnet und Sie haben die Wahl, die gewählte Tür zu ändern. Wie stehen die Chancen? Nun, Sie sollten auf jeden Fall wechseln, denn Ihre Tür hat jetzt die "Wahrscheinlichkeit" von 1/3 wie zuvor, aber die andere hat 2/3. Hier muss man die ganze Serie betrachten, da gibt es keinen Widerspruch. Denn es gibt keine Wahrscheinlichkeit mehr : Der Preis liegt bereits hinter einer Tür, das Ereignis ist passiert . Das ist der Unterschied.

TL;DR: Bearbeiten und Fazit

Der Trugschluss, wie er von @wedstrom in seinem Kommentar zum Ausdruck gebracht wird, besteht also darin, zu glauben, dass sich die Natur selbst korrigiert und es geschehen lässt, dass die laufenden Serien schnell konvergieren. Aber die Natur ist kein Akteur, der etwas tut. Und in der Gegenwart gibt es nur Vergangenheit (eingetretene/bekannte Ereignisse, Häufigkeit) und Zukunft (bevorstehende/unbekannte Ereignisse, Wahrscheinlichkeit). Wenn also die Wahrscheinlichkeit unabhängig ist, muss dies wörtlich genommen werden als Unabhängigkeit von allem, was in der Vergangenheit passiert ist, egal wie selten das Auftreten der resultierenden Gesamtreihe erscheint.

Wir wissen aber auch, dass die Reihe bei einem Kopf-Zahl-Gleichgewicht zusammenlaufen wird.

Ich denke, das ist dein zentrales Problem. Dies ist in der Tat das wahrscheinlichste Ergebnis einer Reihe von Münzwürfen, aber die Wahrscheinlichkeit gilt nicht für Dinge, von denen bereits bekannt ist, dass sie passiert sind.

Stellen Sie sich dieses Spiel vor:

Eine Münze wird 100 Mal geworfen. Spieler können auf die Gesamtzahl der geworfenen Köpfe wetten. Sie können dies jederzeit vor oder während des Spiels tun.

Stellen Sie sich vor, Sie wetten, bevor das Spiel beginnt. Ihre beste Wette sind natürlich 50 Köpfe (50 % von 100 zukünftigen Würfen).

Stellen Sie sich nun vor, Sie setzen, nachdem die Münze bereits 10 Mal geworfen wurde und alle 10 Mal Kopf zeigte.

Was ist jetzt die beste Wette? Nach dem Irrtum des Spielers sollten sich die Münzen ausgleichen und daher sollte die beste Wette immer noch 50 sein. Aber in Wirklichkeit ist das wahrscheinlichste Ergebnis für die zukünftigen Würfe immer noch 50% Kopf, und wir haben bereits 10 Kopf, also die beste Wette ist 55 (10 bekannte Köpfe + 50 % von 90 zukünftigen Würfen).

Wenn Sie eine faire Münze verwenden, konvergiert der Durchschnitt der geworfenen Köpfe auf 50 %. Die Anzahl der Köpfe wird jedoch nicht der Hälfte der geworfenen Münzen entsprechen.

Während der Prozentsatz immer näher an 50 % herankommt, weicht die Anzahl der Münzen in der Regel immer mehr von genau der Hälfte ab. Wie kann das sein? Wirf zehn Münzen. Sie werden wahrscheinlich 3 bis 7 Köpfe bekommen. 30% bis 70%. Wirf 1000 Münzen. Sie werden wahrscheinlich 450 bis 550 Köpfe haben. 45% bis 55%. Auch wenn Sie näher an 50 % liegen, sind Sie tatsächlich weiter davon entfernt (50 statt 2), dass genau die Hälfte der Münzwürfe Kopf ist. Es wird kein Speicher benötigt. Ihr Prozentsatz nähert sich 50 %, obwohl Sie tatsächlich mehr abweichen.

Werfen Sie jetzt 1000 Münzen und werfen Sie dann weitere 1000 Münzen. Sagen Sie jedes Mal, wenn Sie zwischen 45 % und 55 % Köpfe haben. Aber da es keine Erinnerung gibt, besteht eine fünfzigprozentige Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei den ersten 1000 Würfen weniger als 50 % und bei den nächsten 1000 Würfen mehr als 50 % hatten, oder umgekehrt. In diesem Fall kommen Sie viel näher an 50 % heran. 45 % + 55 % bedeutet beispielsweise genau 50 %.

Das ist wirklich Mathematik, nicht Philosophie.

Angenommen, Sie haben die Münze bisher m Mal geworfen und n Kopf bekommen. Der Anteil der bisherigen Köpfe beträgt n / m .

Jetzt wirfst du die Münze noch einmal.

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass der Wurf Zahl ist und der Bruch n / ( m + 1) wird, und eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass der Wurf Kopf ist und der Bruch ( n + 1) / ( m + 1) wird.

Aufgrund der Linearität der Erwartung ist der erwartete Bruch nach dem zusätzlichen Wurf dann ( n + 0,5) / ( m + 1).

Jetzt können Sie überprüfen, dass wenn n / m = 0,5, dann auch ( n + 0,5) / ( m + 1) = 0,5 ist – wenn wir bisher einen gleichmäßigen Lauf hatten, dann bleibt der Erwartungswert nach einem weiteren Wurf gerade .

Wenn 0,5 < n / m , dann 0,5 < ( n + 0,5) / ( m + 1) < n / m .

Wenn n / m < 0,5, dann n / m < ( n + 0,5) / ( m + 1) < 0,5.

Mit anderen Worten, wenn wir bisher einen ungleichmäßigen Lauf hatten, ist der Erwartungswert nach einem weiteren Wurf etwas näher an der Geraden als vorher, und zwar aus keinem anderen Grund, als dass der Nenner des Bruchs schneller ansteigt als der Zähler tut. Sie können mit 100 Würfen beginnen, 100 Kopf zu bekommen, aber 100 unabhängige Würfe später sollten Sie damit rechnen, bei 150/200 zu sein, was näher an 50 % liegt. Und 800 Würfe danach sollten Sie mit 550/1000 rechnen. Der Überschuss beträgt in allen drei Fällen 50, aber der Prozentsatz des Überschusses wurde kleiner.

Da "zu einem Gleichgewicht konvergieren" nicht eine exakt gleiche Anzahl von Kopf und Zahl bedeutet, bedeutet es, dass sich das Verhältnis von Kopf zu Zahl der Gleichheit annähert (mit Wahrscheinlichkeit 1: deren Bedeutung den ganzen mathematischen Formalismus verbirgt, um mit der Möglichkeit umzugehen andere Ergebnisse). Tatsächlich geht die Wahrscheinlichkeit einer genau gleichen Anzahl von Kopf und Zahl nach einer geraden Anzahl von Würfen bei mehr Würfen gegen Null.

Ignorieren Sie für einen Moment, dass es eine erste Reihe von Köpfen gibt. Beginnen Sie einfach mit der Punktzahl „Kopf: 10, Zahl 0“ und einer fairen Münze. Dann „konvergiert das Ergebnis immer noch zu einem Gleichgewicht“, denn je mehr Münzwürfe Sie machen, desto kleiner ist der proportionale Unterschied, der durch den unfairen Vorteil von 10 entsteht. Sie sind glücklicher, jemandem bei einem Marathon einen 10-Meter-Vorsprung zu verschaffen als bei einem 100-Meter-Lauf sprinten, und in der Tat freut sich Tails, Köpfen in einem "unendlichen Rennen" einen beliebigen Vorsprung zu verschaffen. Wenn Sie sich der Unendlichkeit nähern, sind alle festen Konstanten klein, die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl auf dem Weg mindestens einmal Kopf eingeholt hat, nähert sich 1, die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl voraus ist, nähert sich 0,5, und das ist alles, was wir unter Gleichgewicht verstehen.

Dasselbe gilt für jede Anfangsfolge von Münzwürfen. Ob es gerade ist oder nicht, es wird durch die unbegrenzte Folge von Münzwürfen begraben, die danach kommt. Bedenken Sie, wenn Sie die Mathematik dazu haben, dass die Grenze von (x+1)/x, wenn sich x der Unendlichkeit nähert, 1 ist. Der Zähler erhält einen „Vorsprung“ gegenüber dem Nenner, aber es macht keinen Unterschied zur Grenze.

Du vergleichst zwei unterschiedliche Fälle. Die eine ist „die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf Kopf zu landen“ und die andere ist „Summe der Anzahl der Köpfe“. Letzteres wird durch den zentralen Grenzwertsatz geregelt, der erklärt, warum die Summe (in vielen Fällen) so schnell konvergiert. Das Summieren verhält sich ganz anders als einfach zu fragen, "was das nächste Ergebnis ist", und es ist das Summieren, das die Konvergenz verursacht.

Aus der Perspektive, uns von diesem „Paradoxon“ zu befreien, ist der Schlüssel, dass wir für jeden Fall, in dem wir N Würfe haben, die mit Kopf gelandet sind, auch einen entsprechenden Fall haben, in dem wir N Würfe haben, die mit Zahl gelandet sind. Aus der Perspektive der "Summe der Anzahl der Köpfe" ist dies von Bedeutung. In dem Fall, in dem wir diskutieren, dass „die Münze 10 Mal hintereinander mit Kopf gelandet ist“, ist dies nicht der Fall, da die Tatsache, dass wir festgestellt haben, dass sie 10 Mal mit Kopf gelandet ist, uns daran hindert, den Fall zu berücksichtigen, in dem sie 10 Mal mit Zahl gelandet ist hoch. Der 10-Zahlen-Fall hat keinen Einfluss auf unsere Diskussion des nächsten Münzwurfs, weil er einfach nicht passiert ist. Uns interessiert es nicht.

Es ist etwas einfacher, sich das Nicht-Paradoxon vorzustellen, wenn wir, anstatt die Anzahl der Kopf- und Zahlzahlen zu zählen, numerische Werte für Kopf und Zahl zuweisen (z. B. +1 und -1) und den Durchschnitt nehmen . Die meisten Menschen können sich leicht vorstellen, dass sich der Durchschnitt einer Stichprobe dem Durchschnitt der Zufallsvariablen annähert, wenn N größer wird.

Diese Visualisierung kann auf viele Arten erfolgen. Eine Möglichkeit besteht darin, sich all die verschiedenen Folgen von Kopf und Zahl anzusehen, die auftreten können. Offensichtlich tritt jede Folge mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf (bei einer fairen Münze). Wenn Sie diese jedoch basierend darauf, wie viele Köpfe Sie sehen, in „Kisten“ legen, stellen Sie fest, dass es viel mehr Sequenzen mit einer „durchschnittlichen“ Anzahl von Köpfen gibt als solche mit einer außergewöhnlichen Anzahl von Köpfen. Dies führt dazu, dass wir häufiger durchschnittliche Zahlen sehen als außergewöhnliche Zahlen.

Um ein konkretes Beispiel zu geben, die Saiten der Länge 3: 0 Köpfe = 1 Saite ({T, T, T}), 1 Köpfe = 3 Saiten ({H, T, T}, {T, H, T}, { T, T, H}), 2 Köpfe = 3 Saiten ({H, H, T}, {H, T, H}, {T, H, H}), 3 Köpfe = 1 Saite ({H, H, H}). 8 Strings insgesamt, jeder mit einer Auftrittswahrscheinlichkeit von 1/8. Somit ist durch Addition die Wahrscheinlichkeit von 0 Kopf = 1/8, 1 Kopf = 3/8, 2 Kopf = 3/8, 3 Kopf = 1/8

Sie haben recht: Nach einer Serie von 10, 20, 40, 80 Köpfen ist die Wahrscheinlichkeit für einen weiteren Kopf immer noch 1/2. Es ist nicht etwas weniger oder etwas größer, es ist konstant 1/2. Würfe haben kein Gedächtnis.

Um dieses Ergebnis mit der naiven Erwartung in Einklang zu bringen, sollte man berücksichtigen: Die Wahrscheinlichkeit einer Reihe der Länge 10 mit 10 Köpfen ist (1/2) ** 10, also etwa 1/1000. dh die Wahrscheinlichkeit, solche Serien zu bekommen, wenn man immer 10 Würfe macht, ist 1/1000.

Und die Wahrscheinlichkeit von 80 Köpfen ist dementsprechend (1/2) ** 80, also etwa 10 ** (-24), eine Dezimalzahl mit der Ziffer 1 an Stelle 24 nach dem Komma.

Daher ist der Beitrag solcher Ausnahmereihen zum Grenzwert aller Reihen gleicher Länge außerordentlich gering.

Um auf dem aufzubauen, was Celtschk (und möglicherweise andere, ich habe nicht alle gelesen) mit weiteren Beispielen aufgezeigt hat, ist "Tendenz zu 50/50" nichts, da die nächsten n Würfe jeden aktuellen Versatz negieren werden an Ort und Stelle ist es vielmehr so, dass jeder Stromoffset unbedeutend wird, wenn n groß genug wird.

Dh

Nehmen wir an, Sie schaffen es irgendwie, 100 Münzen zu werfen und 100 Kopf zu bekommen, aber von nun an, um der Argumentation willen, sagen wir, die Münzwürfe teilen sich genau 50/50.

Das bedeutet, dass wir bei 200 Würfen 150 Kopf und 50 Zahl hätten, immer noch voreingenommen auf Kopf.

Bei 500 Würfen, 300 Kopf 200 Zahl, immer noch voreingenommen zu Kopf, aber weniger.

Bei 10000 Würfen, 5050 Kopf, 4950 Zahl ist das fast 50/50.

Bei 1000000 Würfen 500050 Kopf 499950 Zahl, mit so vielen Würfen hat sich dies effektiv auf 50/50 konvergiert.

Dies ist die Konvergenz, die Sie sehen, der anfängliche Fehler wird nur unbedeutend, je mehr Würfe Sie hinzufügen. Es gibt keine „etwas höhere Wahrscheinlichkeit“ von Schwänzen.

Sie müssen darauf achten, die Frage, die Sie stellen, zu spezifizieren. In Zukunft hat die Münze kein Gedächtnis und die Chance auf Kopf bei einem gegebenen Wurf beträgt 1/2. Zeitraum. Ende. Die Konvergenz zum Mittelwert liegt daran, dass jeder Überschuss, den Sie jetzt haben, in viel größerem ausgewaschen wirdZahlen. Angenommen, die ersten zehn Würfe ergeben Kopf. Wenn ich an dieser Stelle nach der wahrscheinlichsten Anzahl von Köpfen nach 100 Würfen frage, lautet die Antwort 55. Das ist ein wenig hoch. Wenn ich nach der wahrscheinlichsten Kopfzahl nach einer Million Würfen gefragt habe, ist sie 500005, während sie vor den ersten 10 Würfen 500000 war. Da die Standardabweichung der Kopfzahl bei einer Million Würfen 500 beträgt, ist ein Überschuss von 5 nicht groß handeln. So sagt es das Gesetz der großen Zahl. Egal, welchen Überschuss Sie jetzt haben, wenn Sie genug mehr Flips machen, wird er sehr klein sein im Vergleich zur Standardabweichung der restlichen Flips. Nichts bringt es näher an den Mittelwert, aber der Überschuss wird ausgewaschen, wenn Sie den Durchschnitt betrachten.

Nehmen wir an, Sie haben zehn Köpfe geworfen und sind dabei, eine Million weitere Würfe zu machen. Was ist die Erwartung der Differenz zwischen Kopf und Zahl? Nun, es ist zehn, weil Sie bereits zehn Würfe haben und die Erwartung für die zukünftigen Würfe so viele Kopf wie Zahl ist.

Nehmen wir für den Moment an, dass Sie bei den nächsten Millionen Würfen genau eine halbe Million Kopf und eine halbe Million Zahl bekommen. Das bedeutet, dass der Unterschied genau der Erwartung entspricht, da Sie bei den ersten zehn Köpfen zehn Kopf mehr als Zahl haben.

Wenn Sie sich jedoch den Prozentsatz der Köpfe ansehen, werden Sie feststellen, dass Sie, da 500.010 von 1.000.010 Würfen Kopf waren, etwa 50,00005 % Kopf und 49,9995 % Zahl haben. Das ist also ziemlich gleich.

Aber natürlich ist es nicht genau die gleiche Anzahl von Kopf und Zahl. Ist das kein Problem? Eigentlich eher das Gegenteil: Wenn Sie bei einer Million Würfen genau eine halbe Million Kopf bekommen und keinen einzigen mehr oder weniger, sollten Sie misstrauisch werden. Denn die Wahrscheinlichkeit von genau einer halben Million Kopf bei einer Million unabhängigen Würfen einer absolut fairen Münze beträgt nur etwa 0,032%. Schlimmer noch, diese Wahrscheinlichkeit schrumpft sogar, wenn die Folge länger wird, und geht in der Grenze von unendlich vielen Würfen gegen Null.

Das Ergebnis einer zufälligen Wurffolge einer fairen Münze wird wahrscheinlich ungefähr gleich viele Kopf und Zahl sein. In der Tat wächst diese wahrscheinlich zu findende Anzahl von Kopfzahlen mit mehr Münzwürfen sogar noch an. Es ist nur so, dass es langsamer wächst als die Anzahl der Würfe (das heißt, wenn Sie doppelt so viele Würfe machen, werden Sie wahrscheinlich feststellen, dass die Anzahl der Köpfe nicht doppelt so groß ist; tatsächlich ist es nur sqrt(2) mal , oder ungefähr das 1,4-fache im Großen und Ganzen), und daher sinkt der Bereich für den Bruchteil der Köpfe.

Nun bedeutet die wachsende Bandbreite wahrscheinlicher Kopfzahlen, dass Ihre anfänglichen zehn Köpfe bei genügend Würfen tatsächlich vollständig innerhalb der Bandbreite wahrscheinlicher Zahlen liegen, und diese Bandbreite wird schließlich so groß sein, dass die zehn Zahlen im Vergleich zu der durch die verursachten Abweichung vernachlässigbar sind zufällige Würfe.

Reihen werden im Allgemeinen konvergieren, aber es besteht immer eine kleine Wahrscheinlichkeit, dass eine Reihe nach einer endlichen Anzahl von Versuchen nicht konvergiert, daher gibt es keinen Widerspruch. Wenn Sie bereits 100 Schwänze hatten, konvergiert die gesamte Serie langsamer. Die Interpretation von Wahrscheinlichkeiten (Glaubwürdigkeit? Objektive Neigung? Häufigkeit?) ist eine eigenständige Angelegenheit.

Wie kann beides wahr sein? Gibt es nicht etwas in der körperlichen Serie von Würfen, das sich „erinnert“? Gibt es nicht unbedingt eine etwas bessere Chance auf Zahl nach 10 Kopf?

Beachten Sie, dass ich keine symbolische Logik kenne, daher entziehen sich formale Demonstrationen peinlicherweise meiner Vorstellungskraft.

Meine Art, es zu sehen, besteht darin, die möglichen Ergebnisse zu zählen. Angenommen, Sie machen 10 Münzwürfe. Es gibt viele Ergebnisse; Genau 1024 davon (2 hoch 10), davon nur:

• man besteht nur aus Köpfen
• 10 bestehen aus einem Schwanz und neun Köpfen
• 45 bestehen aus zwei Schwänzen und acht Köpfen

...

• 120 von ihnen enthalten zwei Kopf mehr als Zahl
• 210 von ihnen enthalten Kopf mehr als Zahl
• 252 bestehen aus so vielen Schwänzen wie Köpfen
• 210 von ihnen enthalten einen Schwanz mehr als Köpfe
• 120 von ihnen enthalten zwei Schwänze mehr als Köpfe

...

• 10 bestehen aus einem Kopf und neun Schwänzen
• einer besteht nur aus Schwänzen

Die allgemeine Formel wird unter Verwendung von Binomialkoeffizienten erhalten , aber ich habe den Formalismus übersprungen.

Alles in allem besteht eine höhere Wahrscheinlichkeit, ungefähr so ​​viele Köpfe wie Schwänze zu haben, da es viele Möglichkeiten gibt, eine gleichmäßige Mischung von Köpfen und Schwänzen zu ordnen, während es wenig Möglichkeiten gibt, ungleichmäßige Mischungen zu ordnen.

Hinweis: Dies hängt mit dem Konzept der Entropie zusammen, wie von der Zufälligkeit erwartet.

Ich bin mir nicht sicher, ob dies die Art von Antwort ist, nach der Sie suchen, aber hier ist eine nicht mathematische, intuitive Erklärung.

Das Werfen einer Münze ist zwar zufällig, besteht aber immer noch aus einer Kette von Ereignissen, die selbst bis zu einem gewissen Grad theoretisch vorhersehbar sind - es ist nur so, dass diese Ereignisse sehr komplex sind und die Art und Weise, wie sie interagieren (und was sie sind), nicht bekannt ist.

Beispielsweise könnte das Ergebnis eines Münzwurfs von den folgenden Eigenschaften abhängen:

• Die Form und Herstellung der Münze
• Das Material, aus dem die Münze besteht
• Die Art und Weise, wie man seine Hand/Finger bewegt, um die Münze zu werfen
• Die Physik der Schwerkraft, des Impulses, des Luftwiderstands und anderer Umweltfaktoren
• Das Material der Oberfläche, auf der die Münze landet

Usw. Wenn Sie genau wissen, wie diese Eigenschaften interagieren, und die Anfangsbedingungen für jede dieser Eigenschaften kennen, haben Sie möglicherweise ein besseres Gefühl dafür, wie die Münze landen könnte (in der Praxis unmöglich).

In Bezug auf Ihre Frage ist jeder Münzwurf ein unabhängiges Ereignis, das das nächste Ereignis nicht diktieren kann. Dies liegt daran, dass jede der anfänglichen Startbedingungen etwas anders sein wird. Aber die Form des Objekts wird einen großen Einfluss auf die möglichen Ergebnisse haben. Kopf oder Zahl wird durch das genaue Zusammenspiel aller Variablen im Prozess bestimmt. Aufgrund der Struktur der Münze sind nur zwei Ergebnisse möglich, und keines ist wirklich wahrscheinlicher als das andere, basierend auf der Wechselwirkung aller Variablen, die von der Form des Objekts bestimmt wird. Was es in die eine oder andere Richtung treibt (Kopf oder Zahl) hat damit zu tun, wie die Physik alle Teile des Systems dazu bringt, miteinander zu interagieren.

Dies bedeutet, dass der Beitrag aller anderen Faktoren, wenn es darum geht, die Münze in die eine oder andere Richtung zu stupsen, nicht ausreicht, um entweder Kopf oder Zahl wahrscheinlicher als das andere zu machen. Wenn sich alles über Tausende von Proben summiert, sehen Sie, dass beides ziemlich gleich wahrscheinlich ist, und dies liegt an der Wechselwirkung aller Variablen, die an diesem physikalischen System beteiligt sind.

Wir wissen aber auch, dass die Reihe bei einem Kopf-Zahl-Gleichgewicht zusammenlaufen wird

Wir eigentlich nicht.

Bei jedem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Wurf Kopf oder Zahl ist, immer noch 50:50. Können wir nicht unendlich viele Köpfe umdrehen? Wir sagen, wir können nicht, weil die Wahrscheinlichkeit klein ist , das heißt, es ist die Grenze als x->unendlich auf 1/2^x. Mathematisch können wir sagen, dass diese Grenze gegen 0 konvergiert (wenn wir uns im normalen mathematischen Land befinden).

Aber stellen wir uns nun eine Dartscheibe vor, die der Einheitskreis ist. Wir gehen durch einen Pfeil in das Brett und es trifft das Brett an einem einzigen, zufälligen Punkt. Es gibt unendlich viele Punkte, also ist die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen Punkt zu treffen, 0. Aber irgendwo müssen wir das Brett treffen! Wo immer wir also auf das Brett trafen, geschah an diesem Punkt ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 . Dies scheint zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht nur keine kausale Kraft hat, sondern sogar unendlich unwahrscheinliche Ereignisse mit unendlichen Möglichkeiten dazu gezwungen werden können, in endlicher Zeit einzutreten.

Wenn Sie also eine Münze unendlich oft geworfen haben, ist es wahr, dass wir ein exaktes 1:1-Gleichgewicht zwischen Kopf und Zahl (für eine faire Münze) erwarten sollten, aber wir würden auch unendliche Läufe von Kopf und Zahl darin erwarten die größere unendliche Menge, und wenn Sie sich danach entscheiden würden, nur diese unendlichen Mengen zu betrachten, würde unsere Erwartung für alle unendlichen Mengen verletzt werden. Wir erwarten also ein Gleichgewicht von Kopf und Zahl im Unendlichen, aber wir erwarten auch, unendlich oft falsch zu liegen, was einem unendlich kleinen Teil der unendlichen Menge der unendlichen Mengen entspricht.

Das sequenzielle Werfen einer Münze erweckt den Eindruck von „Geschichtsbildung“. Wenn wir jedoch die äquivalente Methode verwenden, werden wir deutlich sehen, dass keine Geschichte (Speicher) aufgebaut wird. Nehmen wir den Fall, dass eine Münze 1000 Mal geworfen wird, die äquivalente Methode wäre, 1000 Münzen einmal zu werfen. Mit dieser Methode ist klar, dass keine Geschichte aufgebaut wird, und wenn wir die Münzen untersuchen, sollten wir ungefähr 500 Kopf (oder Zahl) finden!

Hier gibt es bereits viele gute mathematische Antworten, aber dies ist die SE für Philosophie, daher möchte ich eine philosophischere anbieten. Ich denke, der interessanteste Teil Ihrer Frage ist:

Gibt es nicht etwas in der körperlichen Serie von Würfen, das sich „erinnert“?

denn die Antwort ist ein überraschendes "Ja!" Es ist einfach nicht die Münze , die das Erinnern bewirkt.

Angenommen, ich werfe eine faire Münze zehnmal und erhalte das Ergebnis „TTHHHTHTTT“. Angenommen, ich werfe die Münze weitere zehn Mal und erhalte stattdessen „TTTTHHTHTH“. Bisher nichts Ungewöhnliches.

Aber warte! Jede dieser beiden Sequenzen ist tatsächlich sehr ungewöhnlich – tatsächlich sind die Chancen bei beiden genau gleich wie die Chancen, zehnmal hintereinander Kopf zu bekommen! Ein Ergebnis wie 'TTHHHTHTTT' scheint nur "zufälliger" zu sein als zehn Köpfe hintereinander, weil Ihr Gehirn unbewusst Informationen über die Reihenfolge auswirft. Für unser Gehirn sehen die beiden Ergebnisse 'TTHHHTHTTT' und 'TTTTHHTHTH' beide nur aus wie "unordentliches Durcheinander von 'T's und 'H's", obwohl sie objektiv gesehen völlig unterschiedlich sind.

Der Grund, warum Sie also die gleiche Chance haben, Kopf oder Zahl zu werfen, selbst nachdem Sie neun Mal hintereinander Kopf geworfen haben, ist einfach, dass die beiden Folgen "HHHHHHHHT" und "HHHHHHHHHH" genauso wahrscheinlich auftreten wie jede andere Folge von zehn Drehungen -- das ist der Teil "faire Münzen haben kein Gedächtnis". Aber was ist mit dem anderen Teil? Woher kommt das Gesetz der großen Zahlen, wenn alle Folgen von Flips gleich wahrscheinlich sind?

Ich habe bereits erwähnt, dass Ihr Gehirn beim Betrachten von Ergebnissen wie „TTHHHTHTTT“ oder „TTTTHHTHTH“ unbewusst Informationen über die Reihenfolge ausgibt, und deshalb sehen diese beiden Ergebnisse so ähnlich aus. Nun, das Gesetz der großen Zahlen funktioniert, weil es genau dasselbe tut! Das Gesetz sagt nicht die genaue Folge voraus, die Sie erhalten, wenn Sie eine Münze viele Male werfen – vielmehr nimmt das Gesetz die Gesamtzahl der geworfenen Köpfe, vergleicht sie mit der Gesamtzahl der Schwänze und extrapoliert dann dieses Verhältnis für immer längere Flip-Sequenzen. Soweit es das Gesetz der großen Zahlen betrifft, ist die Folge „TTHHHTHTTT“ genau die gleiche wie die Folge „TTTTHHTHTH“ – oder, was das betrifft, „HHHHTTTTTT“ – weil sie jeweils sechs „T“ und vier „

Das Gesetz der großen Zahlen impliziert also tatsächlich „etwas, das sich erinnert“ – sonst gäbe es keine Möglichkeit, die Summen im Auge zu behalten. Der Trick ist, dass Sie das „Ding, das sich erinnert“ sind ! Das Gesetz der großen Zahlen verlässt sich auf Ihr Gedächtnis, damit Sie es ableiten und nutzen können. Als Antwort auf den letzten Teil Ihrer Frage könnten Sie also sagen, dass die "Kausalität der Wahrscheinlichkeit" nur Ihre Erwartungen sind , die auf vergangene Ergebnisse einwirken: Anstatt zu sagen, dass die Fairness der Münze "verursacht", dass sie in 50% der Fälle Zahl ergibt, Sie würden sagen, dass Sie aufgrund Ihrer bisherigen Erfahrung mit fairen Münzen erwarten, dass die Münze bei jedem Wurf gleichermaßen Kopf oder Zahl zeigt. (Dies ist die allgemeine Ansicht der Bayseschen Wahrscheinlichkeit, ein faszinierender Zweig der Mathematik und eine von vielen möglichen Interpretationen der Wahrscheinlichkeit .)

Angenommen, ich entscheide mich, ein Bild zu zeichnen, und a zeichne eine Linie wie diese: 'Ich', und dann noch eine, genau so, danach, und dann noch eine, und so...

Dies wäre ein langweiliges Bild, aber dies ist wie eine erinnerungslose Zeichnung - bei der jede Linie so platziert wird, als wäre sie die erste platzierte Linie.

Dies ist analog wie das Werfen einer fairen Münze oder eines Würfels, wobei jeder Wurf erinnerungslos ist .

Die Frage ist, gibt es andere Wurfmethoden, die die Geschichte berücksichtigen? Sicher, nicht mit einem Würfel oder einer Münze, aber sicherlich mit einem virtuellen Würfel in einer virtuellen Welt und einem Avatar, der ihn wirft.

Und das wäre wie ein Mann, der eine Zeichnung macht und die Linie kennt, die er vorher platziert hat, und die Linie kennt, die er danach platziert, und die Linie, die er gerade zeichnet.

Er hat ein Ziel vor sich und eine Geschichte hinter sich; und gerade jetzt der Moment gezeichnet.

Meistens werden der Trugschluss – und Ihr Problem – nur dann wahr , wenn die Ereignisse die Chancen verringern, in Zukunft die gleichen Werte zu erhalten, sagen Sie:

Mein undurchsichtiges Glas hat 100 Kugeln. 50 von ihnen sind weiß und 50 schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen zu bekommen, wenn man nur einen ergreift?

Dieses Ereignis erinnert sich an die Geschichte und wenn Sie alle oder nur eine auswählen, waren die Chancen gleich: 50/50.

Aber Ihr Problem ist der Kontrast zwischen der Ungewissheit und den bereits bekannten Ereignissen. Sie sollten sich immer die Definition des Problems ansehen. Wenn die Vergangenheit keine Einschränkung darstellt (wie in meinem Beispiel), dann vergiss die verdammte Vergangenheit und mach weiter:

Ich werfe eine Münze. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Flippen Zahl zu bekommen?

Es sagt nichts über die Vergangenheit aus, weil das Werfen einer idealen Münze nichts mit einer physikalischen Eigenschaft zu tun hat (eine nicht ideale Münze, dh eine echte Münze, bekommt vielleicht ihre Kanten weniger geschärft, wenn sie auf den Boden auftrifft, und das zukünftige Ergebnis kann variieren ...). Bearbeiten : Tatsächlich enthält dieser Wikipedia-Artikel zum Thema Entropie ein Diagramm mit der Münzwurfverteilung, und Leute, die dies wissen, würden diesen Irrtum nie wieder begehen, da es erlaubt ist, Münzwürfe zu haben, bei denen eine ideale Münze 1 in jedem Wurf hätte, obwohl das wäre nur ein Grenzfall .

Die meisten Trugschlusshalter denken das Problem so:

Die Münze hat die Qualität eines echten Gleichgewichts in einem bestimmten Intervall von Experimenten. Wenn ich es X-mal umdrehe, haben X/2 dieser Male das gewünschte Ergebnis.

Sie nehmen (oder beobachten) das anfängliche Problem wie folgt (ohne Mathematikjargon; sonst würden sie diesen Irrtum nicht begehen):

• Die Voraussetzung ist, entweder Kopf oder Zahl zu wählen.
• Das Experiment besteht darin, eine Münze zu werfen und das Ergebnis zu beobachten.
• Es ist üblich, zur Hälfte Kopf und zur Hälfte Zahl zu erhalten.

Und wandle sie so um:

• Die Voraussetzung ist, entweder Kopf oder Zahl zu wählen.
• Das Experiment besteht darin, eine Münze zu werfen und das Ergebnis zu beobachten.
• Es ist garantiert , dass es zur Hälfte Kopf und zur Hälfte Zahl gibt.

(Meistens wissen sie nichts über Varianz und SD, daher besteht keine Notwendigkeit mehr, diese Konzepte im Detail zu beschreiben).

Obwohl der Unterschied in der Sprache subtil ist, ist es nicht subtil, was Sie über Ihr System wissen. Sie ändern die Aussagen und fügen eine weitere Einschränkung hinzu (ja: Reduzierung der Entropie).

Also: Gehen Sie zurück zu den Wurzeln Ihres Problems. Entwickelt sich Ihr System durch Experimentiterationen weiter? Wenn dies der Fall ist, erhalten Sie Kenntnisse über das System und nähern sich den allgemeinen Ausgangsinformationen, die Sie kennen. Wenn Sie diesen Zustand erreichen, wird Ihre Entropie 0 (hier genau 0 Shannons): Sie wissen, was der letzte Ball ist.

Wenn sich Ihr System jedoch nicht mit Iterationen weiterentwickelt, gelten die allgemeinen anfänglichen Vorschläge immer noch: Gleiches Experiment, gleiche Chancen, die Sie bereits kennen (1 Shannon immer und immer und immer und immer und immer und immer wieder, bis zu unserem Tod und darüber hinaus oder bis die Münze irgendwie stoppt ideal sein).

Erwähnenswert ist die Regression zum Mittelwert, die eine reale Sache ist, obwohl sie völlig a-kausal ist. Das bedeutet nicht , dass bei einem sehr unwahrscheinlichen Ergebnis (8 Kopf bei 10 Würfen) die Wahrscheinlichkeit des nächsten Wurfs gegenüber dem Kopf verzerrt ist, aber es bedeutet , dass es >>50 % wahrscheinlicher ist als der Durchschnitt jeder zukünftigen Zehnerstichprobe wird näher an 50 % Kopf liegen als Ihr bisheriges Ergebnis von 80 %.

https://en.wikipedia.org/wiki/Regression_toward_the_mean

Jeder, der 80 KÖPFE hintereinander sieht und nicht erwartet, KÖPFE beim nächsten Wurf zu sehen, ist ein Idiot, und ich würde gerne mit Ihnen spielen.

Das grundlegende Problem ist, dass wir nicht wirklich wissen, ob die Münze fair ist oder nicht, wir können nur eine Annahme treffen , indem wir eine vorherige Wahrscheinlichkeit von 50/50 zuweisen. Wir müssen dann unseren Glauben an Fairness nach jedem Wurf aktualisieren. Das Gewicht, das Sie Ihrer anfänglichen Annahme beimessen, bestimmt, wie wenig oder wie stark Sie die Erwartungen angesichts früherer Ergebnisse ändern sollten.

Interessanterweise müssen wir im speziellen Fall eines Münzwurfs keine vorherige Annahme über die Fairness treffen, um optimal zu raten . Wenn die Münze fair ist, spielt es keine Rolle, ob wir Kopf oder Zahl erraten.

Daher schreibt eine optimale Strategie vor , dass wir immer das am häufigsten beobachtete Ergebnis erraten sollten, selbst nach einem einzigen Wurf. Wenn die Münze fair ist, verlieren wir dadurch nichts. Aber wenn es auch nur einen winzigen Vorteil für ein Ergebnis gegenüber einem anderen gibt, liegen wir höchstwahrscheinlich richtig, wenn wir das am häufigsten vorkommende Ergebnis erraten.