Warum verwendet JPL diesen Ausdruck, um Schwarzschild-Umlaufbahnen zu emulieren?

Aus der Dokumentation „Formulation for Observed and Computed Values ​​of Deep Space Network Data Types for Navigation“ Ausdruck 4-61 auf Seite 4-42 ist ersichtlich, dass JPL den folgenden Ausdruck verwendet, um die Auswirkungen der Relativitätstheorie unter Schwarzschild-Bedingungen zu berücksichtigen:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2})\hat{r}+\frac{4GM}{r^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\frac{v^2}{c^2}\hat{r}$

Wenn ich diesen Ausdruck in einem Integrator verwende, repliziert er die „anomale Präzession des Perihels“ korrekt. Bei der Schwarzschild-Lösung in Schwarzschild-Koordinaten sollten Sie jedoch auf einer Kreisbahn die gleiche Umlaufgeschwindigkeit wie klassisch erhalten. Außerdem sollte die anfängliche Beschleunigung beim Fallenlassen eines Objekts aus der Ruhe dieselbe sein wie klassisch (glaube ich). Dieser JPL-Ausdruck kann dies nicht erreichen ^† . Jemand sagte mir, dass JPL isotrope Koordinaten anstelle von Schwarzschild-Koordinaten verwendet und dass dies ein Effekt davon sein könnte, aber das erscheint mir seltsam.

Wenn Sie das Konzept der „relativistischen Masse“ verwenden, das recht gut funktioniert, um die relativistische Beschleunigung eines geladenen Teilchens unter Einfluss der Lorentzkraft zu berechnen, erhalten Sie auf die Gravitation:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-\frac{v^2}{c^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$

Dies kann nur ein Drittel der Perihelverschiebung erzeugen, aber der Ausdruck ist besser als der JPL-Ausdruck in dem Sinne, dass er korrekte Werte für die Umlaufgeschwindigkeit und die Anfangsbeschleunigung eines Objekts in Ruhe wiedergibt ^† . Durch Schummeln und Einfügen eines Faktors von drei:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-3\frac{v^2}{c^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$

Sie erhalten einen Ausdruck, der die korrekte Perihelverschiebung, aber auch die korrekte Umlaufgeschwindigkeit eines Objekts auf einer Kreisbahn und die Anfangsbeschleunigung eines ruhenden Objekts wiedergibt.

^† Die Bedingung für Kreisbewegung ist$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$, gibt es keinen radialen Anteil der Bewegung. Dann stellen Sie die Beschleunigungsterme ein, die nicht verschwinden$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$gleich$v^2/r$, die Zentrifugalbeschleunigung und lösen. Sie sehen, dass bei keiner Bewegung$v=0$, und im Fall keiner radialen Bewegung reduzieren sich der zweite und der dritte obige Ausdruck auf die klassische Newtonsche Gravitationsbeschleunigung, die auch von der Schwarzschild-Lösung in Schwarzschild-Koordinaten erwartet wird, der "JPL-Ausdruck" jedoch nicht. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand von JPL sagen könnte, warum Sie den ersten Ausdruck oben verwenden. Es gibt eine rudimentäre Ableitung des Ausdrucks in der Dokumentation, aber sie ist eher auf hohem Niveau und nicht so einfach zu verstehen.

Beachten Sie, dass laut JPL$v = \sqrt{GM/R}$gilt nicht mehr für eine kreisförmige Umlaufbahn, sondern Sie haben ^† :

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}\frac{(1-4GM/(rc^2))}{(1-GM/(rc^2))}}$

Auch beim Fallenlassen eines Objekts aus der Ruhe geht die Beschleunigung laut JPL wie folgt:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(1-\frac{4GM}{rc^2})\hat{r}$

Aus diesem letzten Ausdruck sehen wir tatsächlich, dass JPL in all ihren Ephemeriden-Berechnungen tatsächlich einen kleinen Gravitationsterm "negativer inverser r-Würfel" verwendet, was etwas seltsam ist.

Fragen:

1.Warum verwendet JPL den ersten Ausdruck oben und nicht etwas Ähnliches wie den dritten?

2. Wie lautet der korrekte Ausdruck für die Umlaufgeschwindigkeit eines Körpers in Kreisbewegung nach JPL?

3.Was ist die korrekte Anfangsbeschleunigung eines ruhenden Objekts gemäß JPL?

Über ein paar Antworten würde ich mich sehr freuen.

Starke Feldbahnen

Ich habe viel Zeit damit verbracht, altes unordentliches Papier zu sehen, und versucht, eine physikalische Erklärung dafür zu finden, warum der dritte obige Ausdruck zumindest in der schwachen Feldgrenze zutreffen sollte, indem ich mit einer "allgemein relativistischen relativistischen Masse" von experimentierte der Typ$\gamma(r,v)$statt nur$\gamma(v)$aber es gelang mir nicht ganz. Wenn Sie einfügen$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}$hinein$\frac{d(m\gamma\bar{v})}{dt}=-\frac{GMm\gamma}{r^2}\hat{r}$du am Ende mit$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(\hat{r}-3\frac{v^2(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})} +\frac{v^4(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^4(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}\right)$.

In den starken Feldgrenzen führt dieser Ausdruck zu Bahnen wie unten gezeigt, wobei der grüne Kreis den Schwarzschild-Radius und der rote Kreis den Radius der "innersten stabilen Kreisbahn" darstellt, die sich in einem Abstand von drei Schwarzschild-Radien befindet. Das Ergebnis ähnelt dem, was von GR erwartet wird.

Wenn Sie die JPL-Formel in der starken Feldgrenze verwenden, können Sie sehr seltsame "springende" Effekte erhalten, wie unten gezeigt, dies liegt an dem abstoßenden inversen r-Würfel-Term:

Das ist überhaupt nicht das, was von GR erwartet wird. Mir wurde klar, dass es eine Version höherer Ordnung der JPL-Formel gibt, die eine attraktive Umkehrung enthält$r^4$Term sowie eine abstoßende Inverse$r^5$Begriff. Trotzdem finde ich es sehr seltsam, GR mit einer Abstoßung zu simulieren$r^3$Begriff, und ich weiß nicht wirklich, warum es gängige Praxis ist, genau das zu tun.