Post-Newtonsche Schwarzschild-Näherung von 3PN und höherer Ordnung

Dieser Ausdruck findet sich in der Dokumentation des JPL zur Bestimmung der relativistischen Beschleunigung unter Schwarzschild-Bedingungen in der euklidischen Näherung, die sie zur Berechnung der Umlaufbahnen von Himmelskörpern verwenden:

D v ¯ D T = − G M R 2 ( 1 − 4 G M R C 2 + v 2 C 2 ) R ^ + 4 G M R 2 ( R ^ ⋅ v ^ ) v 2 C 2 v ^

Dies ist Ausdruck 4-26 auf Seite 4-19 in Formulation for Observed and Computed Values ​​of Deep Space Network Data Types for Navigation, von Theodore Moyer . Die meisten Terme werden Null, wenn Sie nur eine Masse haben.

Kennt jemand die physikalische Interpretation der drei zusätzlichen Begriffe? Ich würde mich freuen, wenn du mir davon erzählst. Ich sehe, es gibt einen Begriff, der im Grunde genommen "negativer inverser Würfel" ist, der die Schwerkraft zum Beispiel Planeten von der Sonne wegdrückt.

Jetzt habe ich eine Abhandlung gefunden, Third post-Newtonian dynamics of compact binaries: Equations of motion in the center-of-mass frame" von Blanchet und Iyer . Die Abhandlung skizziert die post-Newtonsche Erweiterung zur dritten "3PN"-Ordnung Die Beschleunigung unter Schwarzschild-Bedingungen findet sich in den Ausdrücken 3.9 und 3.10. Die meisten Terme werden zu Null. Ich finde die 3PN-Post-Newtonschen Beschleunigungen unter Schwarzschild-Bedingungen wie folgt:

D v ¯ D T = − G M R 2 ( 1 − 4 G M R C 2 + 9 ( G M R C 2 ) 2 − 16 ( G M R C 2 ) 3 ) R ^ − G M R 2 ( v 2 C 2 − 2 G M R C 4 ( v ¯ ⋅ R ^ ) 2 + ( G M ) 2 R 2 C 6 ( v ¯ ⋅ R ^ ) 2 ) R ^ − G M R 2 ( − 4 ( v ¯ ⋅ R ^ ) C 2 + 2 G M R C 4 ( v ¯ ⋅ R ^ ) − 4 ( G M ) 2 R 2 C 6 ( v ¯ ⋅ R ^ ) ) v ¯

Vielleicht habe ich einen Fehler gemacht. Die ersten vier Terme, die nicht von der Geschwindigkeit abhängen, sehen aus wie eine konvergierende Reihe. Vielleicht konvergieren auch die restlichen Begriffe zu einem bekannten Ausdruck, weißt du etwas darüber?

  1. Was ist die physikalische Interpretation der verschiedenen Begriffe?
  2. Konvergieren die Beschleunigungen der postnewtonschen Expansion, wenn sie auf einen Fall von nur einem kugelsymmetrischen Körper angewendet werden, zu einem Ausdruck für die relativistische Beschleunigung, und wenn ja, was ist dieser Ausdruck?
Zu (1) bezweifle ich, dass es eine physikalische Auslegung der einzelnen Begriffe gibt. Ich schlage jedoch vor, entweder C. Wills frühe Arbeiten zur postnewtonschen Gravitation oder sein kürzlich erschienenes Buch „Theory and Experiment in Gravitational Physics“ zu lesen.
Warum sagst du „Vielleicht habe ich einen Fehler gemacht“? Das 3PN-Ergebnis stimmt mit dem ersten 2PN-Ergebnis überein.
Bezüglich (2) sind diese Erweiterungen z D 2 R ¯ / D T 2 Wo T ist Koordinatenzeit. Die relativistische Beschleunigung wäre D 2 R ¯ / D τ 2 Wo τ ist richtige Zeit.
Nun, Sie könnten eine Art von Fehler bekommen, wenn Sie eine "Übersetzung" in ein euklidisches System mit Koordinatenzeit und eine andere Art von Fehler machen, weil Sie eine Reihe abschneiden und nur die ersten paar Terme der Reihe verwenden. Wenn Sie herausfinden können, ob die Reihe zu einem Ausdruck konvergiert, können Sie zumindest den Fehler beseitigen, der auf das Abschneiden zurückzuführen ist.
Dies sind wahrscheinlich die Einstein-Infeld-Hoffmann-Gleichungen, erweitert auf höhere Ordnung: en.wikipedia.org/wiki/… . Es ist wahrscheinlich wahr, dass einige der Terme niedrigerer Ordnung eindeutige physikalische Interpretationen haben, wie z. B. Effekte relativistischer Trägheit oder gravitomagnetische Effekte. Aber wenn Sie bei der dritten Ordnung angelangt sind, bezweifle ich, dass Sie viel tun können, um Term-für-Term-physikalische Interpretationen zu finden. Beachten Sie, dass so etwas nur in speziell ausgewählten Koordinatensystemen funktioniert und daher keine direkte physikalische Bedeutung hat.

Antworten (2)

Obwohl ich zuvor kommentierte, dass ich bezweifle, dass es eine physikalische Interpretation der einzelnen Begriffe gibt, wurde mir klar, dass es eine handgewellte Interpretation der Begriffe gibt, die nicht die Geschwindigkeit beinhalten, beginnend mit dem Begriff des „negativen inversen Würfels“ . abstoßend.

Ihr Ausbau dient der Beschleunigung einer Testmasse M , aber es gibt eine äquivalente Expansion der potentiellen Energie,

U = − G M M R ( 1 − 2 G M R C 2 + … ) .

Dies kann interpretiert werden, indem man darüber nachdenkt, wie potenzielle Gravitationsenergie gravitiert . Das Newtonsche PE,

U 0 = − G M M R

kann man davon ausgehen, dass sie im Newtonschen Gravitationsfeld „leben“. (Dies kann für die Newtonsche Gravitation tatsächlich präzisiert werden.) Sie ist räumlich verteilt, liegt aber hauptsächlich im Bereich dazwischen M Und M .

Da wir relativistische Korrekturen der Newtonschen Gravitation betrachten, ist es sinnvoll, die effektive negative Masse dieser negativen Feldenergie zu berücksichtigen,

M U 0 = U 0 C 2 = − G M M R C 2 ,

und betrachten Sie dann die Gravitationspotentialenergie zwischen dieser Masse und M , vorausgesetzt, dass sie ungefähr durch getrennt sind R :

U 1 = − G M M U 0 R = G 2 M 2 M R 2 C 2

Dies ist bis auf eine multiplikative Konstante der Ordnung 1, die die Nichtlokalisierung der Feldenergie widerspiegelt, der zweite Term in der PE-Entwicklung.

Es ist abstoßend, weil die potenzielle Energie der Gravitation negativ ist.

Sie können dasselbe Spiel weiterspielen und den dritten Term in der Erweiterung als attraktive Korrektur betrachten, da die Energiekorrektur, die wir gerade betrachtet haben, gravitiert.

Diese Deutung ist nicht zu ernst zu nehmen. Es dient eher der Intuition. Die „Schwerkraft der Gravitationsenergie“ ist jedoch eine reale Sache in der post-newtonschen Herangehensweise an GR. Wenn Sie zum Beispiel hier über die lesen β 2 Parameter in Wills ursprünglichem PPN-Formalismus parametrisiert, „wie viel Gravitation durch eine Einheit Gravitationspotentialenergie erzeugt wird“, und ist in GR ungleich Null.

Ein weiteres Beispiel für die Gravitation potentieller Energie ist der Nordtvedt-Effekt .

Ich habe keine ähnliche Interpretation der geschwindigkeitsabhängigen Terme, weil es keine Geschwindigkeitsabhängigkeit in der Newtonschen Gravitation gibt.

Ich bezweifle, dass die Reihe gegen eine bekannte Funktion konvergiert, denn wenn dies der Fall wäre, würden Physiker sie anstelle der Erweiterung verwenden.

Aus einer Liste von Serien finde ich das ∑ k = 1 ∞ k 2 z k = z ( 1 + z ) ( 1 − z ) 3 . Daraus erhalte ich den nicht geschwindigkeitsabhängigen Term oben, zu dem ich konvergieren kann − G M R 2 ( 1 − G M R C 2 ( 1 + G M R C 2 ) 3 ) R ^ , Einstellung z = − G M / ( R C 2 ) und unter der Annahme, dass die Serie so weitergeht, wie sie begonnen hat. das sieht seltsam aus. Vielleicht sollen Sie je nach Wahl der Metrik unterschiedliche Ausdrücke erhalten und auch, dass der Ausdruck für potentielle Energie in der verwendeten Metrik unterschiedlich ist, die als "isotrop" bezeichnet wird, sich aber möglicherweise von den bekanntesten isotropen Koordinaten unterscheidet.

Wenn Sie die Sekundärmasse auf Null setzen (oder genauer gesagt das Massenverhältnis), bleibt eine PN-Erweiterung der geodätischen Gleichung in der Schwarzschild-Raumzeit (in einigen bestimmten Koordinaten (harmonisch, denke ich).

Auf Seite 2-9 in der oben erwähnten JPL-Dokumentation gibt es einen Ausdruck mit den Nummern 2-16 für die Metrik, der neben einem Skalierungsterm wie folgt aussieht: D S 2 = ( 1 − 2 G M R C 2 ) C 2 D T 2 − ( 1 + 2 G M R C 2 ) ( D X 2 + D j 2 + D z 2 ) womit man zum ersten obigen Ausdruck kommen soll.
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