Was versteht man unter komplexen Frequenzen? (Quasinormale Modi)

Dies erklärt immer noch nicht, welche Bedeutung der Faktor i hat

Eulers Formel

Somit ist der Realteil von$e^{i\omega}$Ist$\cos \omega$:

und der Imaginärteil von$e^{i\omega}$Ist$\sin \omega$:

Betrachten Sie nun die komplexe Zahl

die wir die komplexe Frequenz nennen werden.

Durch das oben haben wir

Der wahre Teil ist

und der Imaginärteil ist

Dies sind eindeutig abklingende (gedämpfte) Schwingungen, die, wie Sie sich vorstellen können, für die Beschreibung vieler physikalischer Systeme sehr wichtig sind.

Obwohl es möglich ist, die Verwendung komplexer Frequenzen zu vermeiden, ist dies viel weniger bequem.

Wenn ich also etwas darüber lese, wie Felder in Schwarze Löcher fallen und die Moden folglich zerfallen, warum sind die entsprechenden Frequenzen komplex?

Wenn die komplexe Frequenz reell ist,$\sigma = 0$, es gibt keinen Zerfall, keine Zerstreuung.

Fourier-Frequenzen und besonders komplexe werden am besten in Bezug auf oszillierende Exponentiale und nicht in Bezug auf Sinus und Cosinus betrachtet. Das heißt, Sie drücken die interessierende Funktion aus$f(t)$als eine Art Superposition (Summe, Reihe oder integrale Transformation) komplexer Exponentiale$e^{-i\omega t}$:

Wenn Ihr System aus irgendeinem Grund nicht geschlossen ist und Ihre Moden zerfallen (was ungefähr in quasinormalen Moden passiert, aber auch in einer Reihe anderer Situationen, wie z. B. metastabilen Resonanzen in der Quantenmechanik), können Sie es leicht integrieren Dies, indem die komplexe Exponentialfunktion ein wenig abklingende Exponentialfunktion hat.

Also, wenn Ihre Frequenz$\omega$hat einen negativen Imaginärteil, also$\omega=\omega_0-i\gamma$dann kann jede komplexe Exponentialfunktion geschrieben werden als

Mit einer komplexen Frequenz können Sie im Wesentlichen den oszillatorischen Charakter des Modus und seine Abklingeigenschaften mit einem einzigen Parameter erfassen . Sie müssen nicht anfangen, über komplexe Zahlen zu sprechen, und Sie könnten beide Parameter getrennt halten, aber das ist bei komplexen Zahlen immer so. Sie haben zwei reelle Zahlen,$\omega_0$Und$\gamma$, sodass sich Ihre Lösung wie folgt verhält

Die Verwendung komplexer Frequenzen ist in der Physik eher üblich, daher werde ich sie in einem allgemeinen Zusammenhang erläutern. Wahrscheinlich wird es ausreichen, sonst kann es jemand anderes in den Kontext der allgemeinen Relativität stellen. Wenn Sie einen Modus der Frequenz betrachten$\omega = \omega_R + i\omega_I$dann hat die Schwingung eine Zeitabhängigkeit wie$\exp(-i\omega t) = \exp(-i\omega_R t) \times\exp(\omega_I t)$der erste Faktor beschreibt die periodische Bewegung und der zweite Faktor die Dämpfung bzw. das Wachstum dieser periodischen Bewegung. Also wenn$\omega_I>0$, wird die periodische Bewegung exponentiell wachsen, dh diese Bewegung wird instabil sein, während wenn$\omega_I<0$, wird die periodische Bewegung exponentiell gedämpft oder anders gesagt, die Bewegung wird abklingen. Es ist ersichtlich, dass dieses Anwachsen oder Abklingen der Bewegung mit dem Imaginärteil zusammenhängt$\omega$. Oft$\omega_I$ist geschrieben wie$\omega_I=1/\tau$Wo$\tau$stellt die Wachstums- oder Dämpfungszeit dar. Das negative Vorzeichen im Exponenten \exp(-i \omega t) ist reine Konvention, wird es geändert, ändert auch die Definition von Wachstum und Dämpfung das Vorzeichen. Dieses Phänomen kann bereits an einer gedämpften Schwingung oder einer angeregten Schwingung untersucht werden, beispielsweise eine Feder, die in eine viskose Flüssigkeit getaucht wird, die Bewegung wird als Produkt einer periodischen Bewegung beschrieben$\sin(\omega t)$Und$\exp(\omega_I t)$,$\omega_I<0$wenn es immer noch schwer zu verstehen ist, zeichne einfach eine kurve in einem grafikprogramm: einmal nur a$\sin(\omega t)$und dann$\sin(\omega t)\exp(t/\tau)$mit$\tau <0$und einmal mit$\tau>0$.

Dies ist die Fortsetzung meines Kommentars: Jede (reale) Größe im Zeitbereich kann wie geschrieben werden

Um die Realitätseigenschaft zu gewährleisten$A(t)$,$a(\omega)$die im Allgemeinen komplexe Werte annehmen muss$a^{\star}(\omega) =a(\omega^{\star})$wo wieder die komplexen Frequenzen eintreten. Die Berechnung in der komplexen Ebene ist also ziemlich bequem, solange einige Regeln eingehalten werden.