Warum wird hier (scheinbar) das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses verletzt?

Question

Warum wird hier (scheinbar) das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses verletzt?

Anonym

Diagramm des Systems

Beschreibung des Systems

Nehmen Sie zwei Punktmassen an, eine an dem Punkt $C$ und die andere auf dem Umfang des Kreises mit Radius $R$ . Sie ziehen sich gravitativ an und es wirken keine äußeren Kräfte auf sie ein. Die Punktmasse bei C hat eine sehr große Masse, so dass sie sich an der COM des Systems befindet, das aus beiden Teilchen besteht, und die COM in Ruhe ist. Der Massepunkt dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit um die COM $\omega$ . Wir fixieren unsere Koordinatenachse an einem Punkt auf dem Umfang und finden den Drehimpuls beider Teilchen durch die folgende Formel:

ℓ = R \times P

$\boldsymbol {\ell} = \mathbf r \times \mathbf p$

Frage

Eindeutig die Größe des Drehimpulses $\ell _{\alpha}$ des Teilchens am Umfang ist wie folgt gegeben:

\begin{matrix} (1) & ℓ_{a} = R P Sünde (ω T) \end{matrix}

$\ell _{\alpha} = Rp\sin (\omega t) \tag 1$ Wohingegen dasjenige von dem einen in der Mitte ist

0

$0$ .

Damit ist der Gesamtdrehimpuls des Systems:

L = R P Sünde (ω T)

$L = Rp\sin (\omega t)$

Dies ist eine zeitabhängige Gleichung, was bedeutet, dass der Drehimpuls variabel ist, was nicht der Fall sein sollte, da dieses System isoliert ist.

Ich denke, da das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses nicht verletzt werden kann, stimmt etwas mit der Methode / Schlussfolgerung nicht.

So

Was mache ich hier falsch, dass ich zu dieser Schlussfolgerung komme?
Kann man mathematisch zeigen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt?

Bitte überspringen Sie diesen Abschnitt nicht und sagen Sie mir dann später, dass der Drehimpuls hier ist $\ell = rp$

Herleitung der Gl. (1)

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Größe des Drehimpulses am Punkt $O'$ wenn gegeben von

ℓ_{a} = R (T) P Sünde ϕ

$\ell _{\alpha} = r(t) p \sin \phi$

Hier

θ (T) = ω T

$\theta (t) = \omega t$

Eindeutig (über die Summe der inneren Winkel des Dreiecks)

a = \frac{π}{2} - \frac{θ (T)}{2}

$\alpha = \frac {\pi}{2} - \frac {\theta (t)}{2}$

Deshalb

ϕ = \frac{π}{2} + a = π - \frac{θ (T)}{2}

$\phi = \frac {\pi}{2} + \alpha = \pi - \frac {\theta (t)}{2}$

Deshalb

\begin{aligned} ℓ_{a} & = R (T) P Sünde (π - \frac{θ (T)}{2}) \\ = R (T) P Sünde (\frac{θ (T)}{2}) \end{aligned}

$\boxed {\begin {align} \ell _{\alpha} & = r(t) p \sin \left (\pi - \frac {\theta (t)}{2} \right ) \\ & = r(t) p \sin \left ( \frac {\theta (t)}{2}\right)\end {align}}$

Jetzt (unter Verwendung des Sinusgesetzes)

\frac{R}{Sünde a} = \frac{R (T)}{Sünde θ (T)}

$\frac {R}{\sin \alpha} = \frac {r(t)}{\sin \theta (t)}$

Deshalb

R (T) = 2 R \cos (\frac{θ (T)}{2})

$r(t) = 2R \cos \left ( \frac {\theta (t) }{2} \right)$

Setzen Sie dies nun in die Gleichung für ein $\ell$ wir bekommen

\Rightarrow ℓ_{a} = R P (2 \cos (\frac{θ (T)}{2}) Sünde (\frac{θ (T)}{2}))

$\Rightarrow \ell _{\alpha} = Rp \left (2 \cos \left ( \frac {\theta (t) }{2} \right) \sin \left ( \frac {\theta (t)}{2}\right) \right)$

ℓ_{a} = R P Sünde θ (T)

$\ell _{\alpha} = Rp \sin \theta (t)$

Ersetzen $\theta (t) = \omega t$

ℓ_{a} = R P Sünde ω T

$\boxed { \ell _{\alpha} = Rp \sin {\omega t}}$

John Alexiou

Ja, das Drehimpulstransformationsgesetz ist es

ℓ_{0} = ℓ_{A} + R_{A} \times P

$\boldsymbol{\ell}_0 = \boldsymbol{\ell}_A + \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{p}$ wobei 0 der Ursprung und A der interessierende Punkt ist (wie der Massenmittelpunkt).

Benutzer65081

Warum

R p \sin ω t

$Rp \sin\omega t$ anstatt

r (t) p \sin γ (t)

$r(t)p\sin\gamma(t)$ Wo

γ

$\gamma$ ist der Winkel zwischen p und r?

JEB

Haben Sie das von der (nicht) zentralen Kraft ausgeübte Drehmoment berücksichtigt?

Benutzer249968

@wolphram Ich habe die Ableitung hinzugefügt.

Benutzer65081

Danke, du hast Recht! und ich stimme den anderen Antworten zu und sage, dass Sie die Masse im Zentrum nicht vernachlässigen können

Russell McMahon

Als interessantes Beispiel betrachten wir unser Sonnensystem. Die Planeten und andere drehen sich NICHT um die Sonne – sie drehen sich um die COM – die relativ zur COM der Sonne nicht stationär ist. Es 'fegt' hin und her durch und außerhalb der Sonne und ist gelegentlich (aus der Erinnerung) um mehrere Sonnenradien außerhalb der Oberfläche.

Adler275

nur aus einfacher Betrachtung - Sie bauen Ihre Formel unter der Annahme auf, dass P konstant ist - aber P in einem gravitationsgebundenen System hängt von den Koordinaten des Punktes um den Mittelkörper ab - also ebenfalls eine Funktion von t. @RussellMcMahon, die gemeinsame Quelle für das Erde-Sonne-System ist fast das Zentrum der Sonne - nicht einmal Jupiter schafft das, was Sie beschreiben, weil seine Geschwindigkeit geringer ist (~ 5 AU-Entfernung unter Anwendung des 3. Kepler-Gesetzes).

Benutzer249968

@eagle275 das P hat in der Tat eine konstante Größe (wenn auch nicht in Richtung) für Kreisbewegungen (beachten Sie, dass die Umlaufbahnen nicht elliptisch sind). Diese Art von Bewegung wird als gleichmäßige Kreisbewegung bezeichnet und ist für den Fall der Gravitationskraft möglich. Nur die Bedingungen sollten stimmen. Auch dies dient als Vereinfachung des Falles.

Anaximander

Wenn die große Masse a) eine Punktmasse ist und b) sich genau an der COM befindet, dann folgt daraus, dass die andere Masse Null (oder zumindest vernachlässigbar klein) sein muss, um die COM überhaupt nicht von der Position der zu entfernen große Masse? An welchem Punkt ist die von ihm ausgeübte Gravitationskraft ebenfalls null (oder vernachlässigbar klein)? Ich glaube nicht, dass Sie es genau an der COM haben können, was bedeutet, dass sein Drehimpuls nicht Null sein kann.

Russell McMahon

@ eagle275 Interessanterweise liegt allein das Baryzentrum von Sol und Jupiter knapp außerhalb der Sonnenoberfläche. Fügen Sie den Rest des Systems hinzu und Sie erhalten einen interessanten "Tanz", wie in diesen vielen Bildern zu sehen ist [Garglabet-Bildsuche]. |Das folgende Beispiel zeigt auch eine angebliche Verbindung zu einem Terraner ...

Russell McMahon

... 6-Tage-Zyklus. | Gutes Beispiel hier || Von dieser ketzerischen und möglicherweise richtigen Seite. | Referenzen eines Lesers auch interessant.

Antworten (7)

Warum wird hier (scheinbar) das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses verletzt?

Ja, das Drehimpulstransformationsgesetz ist es $ℓ_{0} = ℓ_{A} + R_{A} \times P$ $\boldsymbol{\ell}_0 = \boldsymbol{\ell}_A + \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{p}$ wobei 0 der Ursprung und A der interessierende Punkt ist (wie der Massenmittelpunkt).
Warum $Rp \sin\omega t$ anstatt $r(t)p\sin\gamma(t)$ Wo $\gamma$ ist der Winkel zwischen p und r?
Haben Sie das von der (nicht) zentralen Kraft ausgeübte Drehmoment berücksichtigt?
Danke, du hast Recht! und ich stimme den anderen Antworten zu und sage, dass Sie die Masse im Zentrum nicht vernachlässigen können
Als interessantes Beispiel betrachten wir unser Sonnensystem. Die Planeten und andere drehen sich NICHT um die Sonne – sie drehen sich um die COM – die relativ zur COM der Sonne nicht stationär ist. Es 'fegt' hin und her durch und außerhalb der Sonne und ist gelegentlich (aus der Erinnerung) um mehrere Sonnenradien außerhalb der Oberfläche.
nur aus einfacher Betrachtung - Sie bauen Ihre Formel unter der Annahme auf, dass P konstant ist - aber P in einem gravitationsgebundenen System hängt von den Koordinaten des Punktes um den Mittelkörper ab - also ebenfalls eine Funktion von t. @RussellMcMahon, die gemeinsame Quelle für das Erde-Sonne-System ist fast das Zentrum der Sonne - nicht einmal Jupiter schafft das, was Sie beschreiben, weil seine Geschwindigkeit geringer ist (~ 5 AU-Entfernung unter Anwendung des 3. Kepler-Gesetzes).
@eagle275 das P hat in der Tat eine konstante Größe (wenn auch nicht in Richtung) für Kreisbewegungen (beachten Sie, dass die Umlaufbahnen nicht elliptisch sind). Diese Art von Bewegung wird als gleichmäßige Kreisbewegung bezeichnet und ist für den Fall der Gravitationskraft möglich. Nur die Bedingungen sollten stimmen. Auch dies dient als Vereinfachung des Falles.
Wenn die große Masse a) eine Punktmasse ist und b) sich genau an der COM befindet, dann folgt daraus, dass die andere Masse Null (oder zumindest vernachlässigbar klein) sein muss, um die COM überhaupt nicht von der Position der zu entfernen große Masse? An welchem Punkt ist die von ihm ausgeübte Gravitationskraft ebenfalls null (oder vernachlässigbar klein)? Ich glaube nicht, dass Sie es genau an der COM haben können, was bedeutet, dass sein Drehimpuls nicht Null sein kann.
@ eagle275 Interessanterweise liegt allein das Baryzentrum von Sol und Jupiter knapp außerhalb der Sonnenoberfläche. Fügen Sie den Rest des Systems hinzu und Sie erhalten einen interessanten "Tanz", wie in diesen vielen Bildern zu sehen ist [Garglabet-Bildsuche]. |Das folgende Beispiel zeigt auch eine angebliche Verbindung zu einem Terraner ...
... 6-Tage-Zyklus. | Gutes Beispiel hier || Von dieser ketzerischen und möglicherweise richtigen Seite. | Referenzen eines Lesers auch interessant.

Benutzer249968 · Answer 1

Was mache ich hier falsch, dass ich zu dieser Schlussfolgerung komme?

Das Problem ist, dass selbst wenn die innere Masse ziemlich groß ist, sie auch eine Winkelgeschwindigkeit und damit einen Drehimpuls haben würde.

Kann man mathematisch zeigen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt?

Ja ist es. Das folgende Bild sagt das meiste aus. (Eine Beschreibung folgt noch):

Diagramm-1

Beschreibung

Die äußere Masse ist auf Distanz $R_{out}$ aus der com und hat eine lineare Dynamik als $\mathbf p_{out}$ . Die innere Masse hat einen Abstand $R_{in}$ aus dem Zentrum und hat einen linearen Impuls $\mathbf p_{in}$ . Zwei Dinge sind hier zu beachten:

Der Impuls jedes Teilchens wird sich nicht ändern, weil
- Der Abstand zwischen den beiden Objekten ist immer gleich (dh $R+R'$ ).
- die Kraft (hier Gravitation) ist zentripetal.
der Massenmittelpunkt liegt immer zwischen diesen beiden auf der Verbindungslinie. Also die Winkelgeschwindigkeit, $\omega$ , beider Teilchen ist gleich.

Jetzt im Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts:

L_{T Ö T A l} = R_{ich N} \times P_{ich N} + R_{Ö u T} P_{Ö u T}

$\mathbf L_{total} = \mathbf R_{in} \times \mathbf p_{in} +\mathbf R_{out} \ \mathbf p_{out}$

L_{T Ö T A l} = (P_{ich N} R_{ich N} + P_{Ö u T} R_{Ö u T}) \hat{k}

$\mathbf L_{total} = (p_{in}R_{in}+ p_{out}R_{out}) \hat k$

Hier sehen Sie, dass der Drehimpuls des Systems zeitlich konstant ist, also erhalten bleibt. Beachten Sie, dass $\hat k$ ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene aus Ihrem Bildschirm herauszeigt. Auch die Verwendung von Vektoren würde die Dinge einfacher machen.

Auch da die Position des Massenmittelpunkts in diesem Referenzrahmen im Ursprung ist:

\Rightarrow R_{ich N} M_{ich N} + R_{Ö u T} M_{Ö u T} = 0

$\Rightarrow R_{in}m_{in} + R_{out}m_{out}= 0$

[Diese Gleichung wird im letzten Teil der Ableitung sehr nützlich sein]

Lassen Sie uns nun die Achse zu einem Punkt auf der Umlaufbahn des äußeren Teilchens verschieben. Das Etikettendiagramm sieht wie folgt aus:

Beschriftetes Diagramm

Inneres Teilchen

Der Positionsvektor $\mathbf r_{in}(t)$ des inneren Teilchens mit verschobener Achse ist:

\begin{aligned} R_{ich N} (T) & = Ö B - Ö A \\ = R_{ich N} \hat{R} - R_{Ö u T} \hat{ich} \end{aligned}

$\begin {align} \mathbf r _{in}(t) & = \mathbf {OB} - \mathbf {OA} \\ & = R _{in} \hat r - R_{out} \hat i \end {align}$

Und $\mathbf p = p_{in} \hat {\theta}$

\begin{aligned} ℓ_{ich N} & = R_{ich N} (T) \times P \\ = (R_{ich N} \hat{R} - R_{Ö u T} \hat{ich}) \times P_{ich N} \hat{θ} \\ = R_{ich N} P_{ich N} \hat{k} - R_{Ö u T} P_{ich N} (\hat{ich} \times \hat{θ}) \end{aligned}

$\begin {align} \boldsymbol {\ell} _{in} & = \mathbf r _{in}(t) \times \mathbf p \\ & = (R_{in} \hat r - R_{out} \hat i) \times p_{in} \hat {\theta} \\ & = R_{in}p_{in} \hat k- R_{out}p_{in} (\hat i \times \hat {\theta}) \end {align}$

\begin{matrix} (1) & ℓ_{ich N} = R_{ich N} P_{ich N} \hat{k} - R_{Ö u T} P_{ich N} (\hat{ich} \times \hat{θ}) \end{matrix}

$\mathbf {\ell}_{in} = R_{in}p_{in} \hat k- R_{out}p_{in} (\hat i \times \hat {\theta}) \tag 1$

Wenn wir diesen Prozess nun ähnlich für äußere Teilchen ausführen, erhalten wir:

\begin{matrix} (2) & ℓ_{Ö u T} = R_{Ö u T} P_{Ö u T} \hat{k} - R_{Ö u T} P_{Ö u T} (\hat{ich} \times \hat{θ}) \end{matrix}

$\boldsymbol {\ell}_{out} = R_{out}p_{out} \hat k- R_{out}p_{out} (\hat i \times \hat {\theta} ) \tag 2$

Gesamtdrehimpuls $L_{total}'$ wird gegeben von:

L_{T Ö T A l}^{'} = ℓ_{Ö u T} + ℓ_{ich N}

$\mathbf L_{total}' = \boldsymbol {\ell}_{out} + \boldsymbol {\ell}_{in}$

L_{T Ö T A l}^{'} = (R_{Ö u T} P_{Ö u T} + R_{ich N} P_{ich N}) \hat{k} - R_{Ö} u T (P_{Ö u T} + P_{ich N}) (\hat{ich} \times \hat{θ})

$\mathbf L_{total}' = (R_{out}p_{out} + R_{in}p_{in}) \hat k - R_out (p_{out} +p_{in} )(\hat i \times \hat {\theta})$

Jetzt

P_{Ö u T} + P_{ich N} = ω R_{ich N} M_{ich N} + ω R_{Ö u T} M_{Ö u T}

$p_{out} +p_{in} = \omega R_{in}m_{in} + \omega R_{out}m_{out}$ Und mit Gleichung

(1)

$(1)$ wir bekommen:

P_{Ö u T} + P_{ich N} = 0

$p_{out} +p_{in}=0$

Deshalb

L_{T Ö T A l}^{'} = (R_{Ö u T} P_{Ö u T} + R_{ich N} P_{ich N}) \hat{k}

$\mathbf L_{total}' = (R_{out}p_{out} + R_{in}p_{in}) \hat k$

Offensichtlich ist diese Gleichung konstant, daher impliziert dies, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.

Hast du die Winkelgeschwindigkeiten beider Massen als gleich angenommen?
@Manvendra Ich habe den Wert von beiden nicht als gleich angesehen (es war nicht meine Absicht), sondern ich habe das als Ergebnis bekommen. Wie Sie sehen können, sollte der Massenmittelpunkt beider Teilchen dazwischen bleiben, daher können Sie anhand von zwei getrennten Instanzen sehen, dass die Winkelgeschwindigkeit tatsächlich gleich ist.

Spaltchips · Answer 2

Ich denke, dass dies etwas ähnelt, das wir in der Gravitation ganz allgemein als Doppelsternsystem bezeichnen.

Darin rotieren 2 Körper einiger Masse um ihre stationäre COM. Dies ist genau derselbe Fall, außer dass eine der Massen extrem groß ist.

Es ist bekannt, dass $L_{p} = L_{com,p} + L_{system,com}$ . Damit können wir zunächst beweisen, dass der Drehimpuls um COM erhalten bleibt, da die Geschwindigkeiten beider Massen konstant sind. Auch das können wir sagen $L_{com,p} = 0$ da die Schwerpunktsgeschwindigkeit in diesem Fall Null ist. Daher $L_{p} = L_{system,com}=$ ständig.

Damit sollte der Drehimpuls um P erhalten bleiben.

Ich denke, der Fehler, den Sie gemacht haben, war, dass Sie die Masse nicht im Zentrum betrachtet haben. Obwohl es eine kleine Geschwindigkeit hat, kann es, da es eine große Masse hat, einen Unterschied machen.

Eine Sache, die ich noch hinzufügen möchte, ist, dass, da die Schwerkraft paarweise wirkt, das Drehmoment ist $0$ um jede Achse. Dies bestätigt die Erhaltung des Drehimpulses weiter.

Hoffe das hilft!

JEB · Answer 3

Dieses Problem ist ernsthaft über-konstruiert. Die Schwerkraft ist nicht erforderlich, das COM-Zeug ist nicht erforderlich, um zum Hauptkonzept zu gelangen.

Das Hauptkonzept ist, dass der Drehimpuls kein Vektor ist, sondern ein Pseudovektor. Wahre Vektoren sind unabhängig von der Wahl des Koordinatenursprungs, Pseudovektoren: nicht so sehr.

Stellen Sie sich eine Perle auf einem Reifen vor, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt: Sie hat einen oszillierenden Drehimpuls um jeden festen Punkt auf dem Reifen. Es gibt eine "zentrale" (für den Reifen) Kraft, die die Perle zu jeder Zeit auf dem Reifen hält, aber diese Kraft ist nicht zentral im wackeligen Koordinatensystem um den festen Punkt auf dem Reifen: Sie übt ein Drehmoment aus (ebenfalls ein Pseudo- Vektor), der erfüllt:

τ = \frac{D L}{D T}

${\bf{\tau}}=\frac{d{\bf{L}}}{dt}$

Beachten Sie, dass Drehimpuls und Drehmoment ebenfalls Axialvektoren sind, aber das hat mit ihrer positiven Parität zu tun und der Tatsache, dass sie zwar als Vektoren rotieren, aber in Wirklichkeit antisymmetrische Rang-2-Tensoren sind.

Kleine Anmerkung, es gibt bestimmte Beispiele in der Mechanik einer Perle auf einem vertikalen Reifen. Nachdem ich die gesamte Antwort gelesen habe, weiß ich, dass Sie von einem horizontalen Reifen sprechen , aber vielleicht wäre eine ausdrückliche Erwähnung hilfreich. Außerdem lässt die Reihenfolge Ihrer Worte den Anschein erwecken, als würden Sie sagen, dass der Reifen die konstante Winkelgeschwindigkeit hat (was auch in einigen Beispielen für vertikale Reifen passiert).
Die meisten Quellen, mit denen ich vertraut bin, verwenden das Wort "Pseudovektor", das dasselbe bedeutet, was Sie einen "axialen Vektor" nennen. Ich habe ehrlich gesagt noch nie gehört, dass das Wort "Pseudovektor" eine herkunftsabhängige Größe bedeutet. Ist beispielsweise der Ortsvektor eines Teilchens ein Pseudovektor?
@MichaelSeifert Das dachte ich 40 Jahre lang, und dann youtube....(Wissenschaftsasyl, glaube ich?).
Magnetfeld ist ein weiteres Gegenbeispiel: Es hängt nicht vom Ursprung des Koordinatensystems ab, aber es hängt von seiner Chiralität ab.
@AaronStevens In meinem Beispiel ist der "Reifen" der einzige räumliche Freiheitsgrad. Es ist ein kreisförmiges 1D-System, das in einer abstrakten 2D-Ebene lebt. Es gibt keinen eigentlichen "Reifen", und es gibt keine Vertikale oder Horizontale.
Ich verstehe das. Ich habe nicht um Aufklärung gebeten. Nun ja.
In dem von Ihnen hier beschriebenen Aufbau ist der Reifen ein externes Mittel, das ein Drehmoment auf das System ausübt, wobei das "System" hier nur die Perle ist. Im Beispiel des OP gibt es kein externes Drehmoment - das System besteht aus beiden Massen, und die einzige Kraft ist eine interne Kraft zwischen den beiden Massen. Ihre Erklärung erklärt nicht, warum der Gesamtdrehimpuls in diesem Fall nicht erhalten bleiben würde (und tatsächlich ist er erhalten - wie das OP in seiner Selbstantwort feststellte, bestand das Problem darin, dass sie den Drehimpuls falsch angenommen hatten von das schwerere Teilchen wäre vernachlässigbar).

Buddha-Bock · Answer 4

Der einfachste Weg, den ich sehen kann, um zu zeigen, dass der Drehimpuls bei diesem Problem nicht erhalten bleibt, besteht darin, das Drehmoment im System zu betrachten. Wenn der Drehimpuls erhalten bleibt, dann muss das Drehmoment (die zeitliche Ableitung des Drehimpulses) identisch Null sein.

Drehmoment ist $\mathbf{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ , indem Sie die Vektoren in Ihrem Diagramm verwenden. In Ihren beiden Diagrammen ist klar, dass in der gegebenen Position die Kraft- und Positionsvektoren nicht parallel und nicht Null sind. Daher gibt es ein Drehmoment, und der Drehimpuls kann nicht erhalten werden.

Wie andere darauf hingewiesen haben, ist das Hauptproblem Ihre Annahme, dass der massivere Körper so massiv ist, dass er sich nicht bewegt. Beide Massen bewegen sich, daher ist es notwendig, den Drehimpuls und das Drehmoment auf beiden zu verfolgen. Die Kraft auf beide ist gleich, aber in entgegengesetzte Richtungen. Das Gesamtdrehmoment ist $\mathbf{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} - \mathbf{r'}\times\mathbf{F} = (\mathbf{r}-\mathbf{r'})\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ weil die Linie zwischen den Massen parallel zu den Kräften verläuft. Das Drehmoment ist also identisch Null, und somit bleibt der Drehimpuls erhalten.

Beachten Sie, dass das Gesamtdrehmoment Null ist und die tatsächliche Position der Koordinatenachse keine Rolle spielt, wenn Sie die Bewegung beider Massen einbeziehen. Das ist eines der Merkmale der Naturschutzgesetze. Während der Wert des Drehimpulses unterschiedlich sein kann, wenn er in verschiedenen Koordinatensystemen gemessen wird, ändert er sich in keinem von ihnen.

Naman Luthra · Answer 5

Beim Lesen des Anfangsteils der Frage erinnerte ich mich an meine erste Vorlesung über moderne Physik

Sehen Sie, was Sie zu Beginn Ihrer Frage angegeben haben, ist eine sehr gute Annäherung für die Berechnung der Bewegungsparameter des kleinen Körpers, nicht jedoch für die Berechnung des Drehimpulses des Systems

Sehen Sie, dass der größere Körper nicht an einem festen Punkt bleibt (wenn er in diesem Fall nicht an einem Punkt geschwenkt wird, kann der Drehimpuls nicht erhalten bleiben, da um den Punkt, an dem Sie den Drehimpuls erhalten, ein externes Drehmoment vorhanden wäre).

Der größere Körper wird sich tatsächlich mit so geringer Geschwindigkeit bewegen, wie er auch sein mag, aber in diesem Fall wäre sein Drehimpuls aufgrund seiner fortgeschrittenen Masse keine signifikante Größe

Sie können sehen, wie es sich im Bild unten bewegen wird

In diesem Fall werden sich die Körper jedoch nähern

Über meine Klasse

Dieser Fall gilt besonders für die Bewegung eines Elektrons um ein Proton und der Grund, warum sich Elektron und Proton in einem Atom nicht näher kommen, ist, dass das System einen Nettodrehimpuls von Null hat, dh sowohl Proton als auch Elektron bewegen sich auf einer Kreisbahn um ihr Kom und die Elektrostatik An beiden zu ziehen wird verwendet, um beide in kreisförmigen Umlaufbahnen zu halten, und bringt sie nicht näher zusammen.

@Wolphramjonny Wenn Sie Ihren Referenzpunkt nicht als Rotationszentrum ausgewählt haben, wird er jedoch nicht beibehalten
@AaronStevens richtig, das liegt daran, dass das mit der Schnur rotierende Objekt kein isoliertes System ist, richtig?
@Wolphramjonny Ja. Aber Sie können das umgehen, indem Sie Ihren Referenzpunkt direkt an der Zwangsbedingung platzieren, da die externe Kraft dann kein Drehmoment hat. Es hängt alles vom Bezugspunkt ab.

DinosaurierEi · Answer 6

Ich habe alle obigen Antworten gelesen und beschlossen, meine eigenen zu schreiben, da den meisten eine vollständige Behandlung fehlt.

Wir wissen das, wenn ein Massepunkt einem radialsymmetrischen Potential ausgesetzt ist $V(|\mathbf{r}|)$ (wie bei der üblichen Gravitationswechselwirkung) bleibt der Drehimpuls erhalten, und das ist eine Tatsache. Was passiert, wenn ich den Ursprung um einen Vektor verschiebe? $\mathbf{a}$ ? Aus der Perspektive des neuen Ursprungs ist das Potential nicht mehr zentral, es ist eindeutig an einem anderen Punkt zentriert, und daher muss der in diesem Bezugsrahmen gemessene Drehimpuls von der Zeit abhängen. Wie hängt es von der Zeit ab? Alles im neuen Bezugsrahmen messen (alle Größen im verschobenen Ursprung sind mit einem Strich gekennzeichnet)

L^{'} = R^{'} \times P = R - A \times P = L - A \times P

$\mathbf{L}'=\mathbf{r}'\times\mathbf{p}=\mathbf{r-a}\times\mathbf{p}=\mathbf{L}-\mathbf{a}\times\mathbf{p}$

In der obigen Gleichung ist der Drehimpuls der Punktmasse im ursprünglichen Koordinatensystem, aber der Drehimpuls im verschobenen Koordinatensystem wird durch einen Term modifiziert, der proportional zum Impuls des Teilchens ist.

Also was gibt? Gibt es einen Zusammenhang, in dem die Erhaltung des Drehimpulses unabhängig von Verschiebungen im Bezugssystem ist? Die Antwort ist sicherlich ja, aber das passiert nur, wenn der Gesamtimpuls des Systems erhalten bleibt. Stellen Sie sich vor, es gibt einige Punktmassen im System, dann transformiert sich ihr GESAMTER Drehimpuls unter Verschiebungen wie folgt:

L_{T Ö T}^{'} = R^{'} \times P_{T Ö T} = R - A \times P_{T Ö T} = L_{T Ö T} - A \times P_{T Ö T}

$\mathbf{L}'_{tot}=\mathbf{r}'\times\mathbf{p}_{tot}=\mathbf{r-a}\times\mathbf{p}_{tot}=\mathbf{L}_{tot}-\mathbf{a}\times\mathbf{p}_{tot}$

was impliziert, dass, wenn der Gesamtimpuls des Systems erhalten bleibt, der Gesamtdrehimpuls in jedem Bezugssystem unabhängig vom Ursprung erhalten bleibt.

meine2cts · Answer 7

Für Kreisbewegungen ${\bf r} \times {\bf p} = rp$ da dies senkrechte Vektoren sind und $\sin 90=1$ . Der Drehimpuls ist also konstant und somit erhalten. In Bezug auf den Kreismittelpunkt ist kein Drehmoment vorhanden. Natürlich bleibt der Drehimpuls bezüglich keiner anderen Position erhalten . Der Grund ist, dass es ein Drehmoment gibt ${\bf r}\times {\bf f}$ in Bezug auf jeden anderen Punkt als den Mittelpunkt, da r dann nicht mehr parallel zu f ist. Dieses Drehmoment ist entgegengesetzt und gleich dem Drehmoment, das die kleine Masse auf die große ausübt. Die _Gesamt-AM bleibt erhalten, unabhängig von der Wahl des Ursprungs.

Warum wird hier (scheinbar) das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses verletzt?

Anonym

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