Was bedeutet es, dass ein Gesetz grundlegend ist?

Grob gesagt ist ein Gesetz grundlegender als ein anderes , wenn es es erklärt. (Es gibt keine Garantie dafür, dass ein Gesetz "fundamental" ist, in dem Sinne, dass es nichts noch Grundlegenderes gibt; vielleicht haben alle Gesetze eine tiefere Erklärung, aber unser Wissen ist zu jedem Zeitpunkt begrenzt.)

Die naheliegendste Vermutung, wofür es bedeutet$A$erklären$B$ist das$B$ableitbar ist$A$, aber wenn die Deduktion in beide Richtungen funktioniert, zeigt dies nicht, was grundlegender ist, was der Punkt ist, auf den Sie gestoßen sind. (Wenn Sie technisch werden wollen, in der Wissenschaftsphilosophie ist die einfache Definition von Erklärung, die ich gerade kritisiert habe, das deduktiv-nomologische Modell .) Tatsächlich können wir das Coulombsche Gesetz als Spezialfall des Gaußschen Gesetzes oder das Gaußsche Gesetz aus dem Coulombschen Gesetz erhalten Gesetz durch Linearität.

Grundlegendere Behauptungen bieten tiefere Einblicke. Das Gesetz von Gauß ist insofern grundlegender, als wir aus den Maxwell-Gleichungen eine Vektorrechnungsbeschreibung der elektromagnetischen Felder erhalten, die für beliebige Ladungsverteilungen funktioniert. An dieser Stelle werden die Felder$\vec{E},\,\vec{B}$werden in einer Theorie verwandt, die sie vereint. Die Vereinigung ist typischerweise ein Zeichen tieferer Einsicht in die Physik, während das Coulombsche Gesetz nur davon spricht$\vec{E}$.

Aus Maxwells Gleichungen entstehen Lorentz-invariante Wellengleichungen, die letztendlich die spezielle Relativitätstheorie inspirierten. Wenn wir umschreiben$\vec{E},\,\vec{B}$bezüglich$\vec{A},\,\phi$(die sich zu vereinen$A^\mu$relativistisch) reduzieren wir das Gaußsche Gesetz auf$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$. Aber ein offensichtlich relativistischer Formalismus ermöglicht ein noch tieferes Verständnis des Elektromagnetismus, weit über alles hinaus, was Coulomb sich vorgestellt hat.

An dieser Stelle fragen wir uns nur wo$A^\mu$kommt von. Die skalare Elektrodynamik erklärt dies mit lokalen Symmetrien eines skalaren Felds; dies liefert eine noch grundlegendere Darstellung. (Wir könnten noch weiter gehen, aber Sie verstehen, was ich meine.)

Das Gaußsche Gesetz ist in mehrfacher Hinsicht grundlegender:

Es ist in mehr Situationen anwendbar:

Eine Version des Gaußschen Gesetzes, die das Vektorpotential beinhaltet, ist in der Quantenfeldtheorie immer noch gültig, unabhängig von der Wahl der Eichung, während das Coulombsche Gesetz erst nach der Wahl der Coulomb-Eichung entsteht.$\nabla\cdot\vec{A}=0$.

Es erfordert weniger physikalische Annahmen:

Das Gaußsche Gesetz ist im Wesentlichen nur der Divergenzsatz, der keine physikalischen Annahmen erfordert, da es eine mathematische Aussage ist, die auf der Struktur von basiert$\mathbb{R}^3$. Das Gauß'sche Gesetz definiert dann die Ladung als die Divergenz des elektrischen Feldes*, skaliert mit einer beliebigen Konstante. Unterdessen beginnt das Coulombsche Gesetz im Wesentlichen mit der Annahme eines Wechselwirkungspotentials, das eine physikalische Annahme ist, und definiert die Ladung basierend auf dieser physikalischen Annahme. Die beiden können gleichgesetzt werden, wenn man annimmt, dass sich weder die Ladung noch das elektrische Feld bewegen, aber auch das ist eine physikalische Annahme.

Es hat allgemein eine breitere Bedeutung:

Das Coulombsche Gesetz ist eine Aussage über die Kräfte und/oder elektrischen Felder, die in Gegenwart von Ladung erzeugt werden. Das Gaußsche Gesetz hingegen ist eine Aussage über das Verhalten des elektrischen Feldes im Allgemeinen, unabhängig davon, ob Ladung vorhanden ist oder nicht. Als solches gibt das Gaußsche Gesetz im Zusammenhang mit elektromagnetischer Strahlung im Vakuum noch brauchbare Aussagen, während das Coulombsche Gesetz nur eine vage Antwort gibt.

*Hier nehmen wir die Existenz des elektrischen Feldes an. Dies ist nicht problematisch, da sogar QFT es als grundlegend behandelt.

Grob gesagt kann man sich eine allgemeinere Gültigkeit als grundlegender vorstellen.

Im Fall des Vergleichs zwischen dem Gaußschen Gesetz und dem Coulombschen Gesetz sind beide in den statischen Fällen genau äquivalent, aber das Gaußsche Gesetz ist auch in einer allgemeinen Situation ein gültiges Gesetz. Somit kann das Gaußsche Gesetz als grundlegender angesehen werden als das Coulombsche Gesetz.

Mit anderen Worten, das Coulombsche Gesetz,

ist ein gültiger Ausdruck für das elektrische Feld an einem Punkt$\vec{r}$aufgrund einer Ladungsverteilung$\rho(\vec{r'})$nur in einer statischen Situation.

Aber das Gaußsche Gesetz

gehört zu den allgemeinen Maxwell-Gleichungen und ist immer gültig - sowohl im statischen als auch im dynamischen Fall.

Im statischen Fall$(2)$impliziert$(1)$(und umgekehrt) und somit äquivalent sind. Aber im allgemeinen Fall$(1)$hält nicht, während die$(2)$tut - machen$(2)$grundlegender als$(1)$. Wie ich bereits sagte, nennen wir etwas im groben Sinne ein grundlegenderes Merkmal der Gesetze der Physik, wenn das Merkmal mehr Verallgemeinerungen überlebt.