Was ist die Bedeutung des y-Achsenabschnitts in einem Log-Log-Diagramm der Oberflächengravitation zur Planetenmasse?

Ich denke, was Sie hier festgestellt haben, ist genau das$\rho$nimmt tendenziell mit der Masse zu. Die Dichte der Planeten ist nicht konstant.

Lassen$\rho = \rho_0 (M/M_{earth})^{\alpha}$, damit$M = (4/3)\pi R^{3} \rho_0 (M/M_{earth})^{\alpha}$

Dann

$$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{4\pi G}{3} R \rho$$

Ersetzen$R$mit$(3M/4\pi \rho)^{1/3}$damit

$$g = \frac{4\pi G}{3} \left(\frac{3M}{4\pi \rho}\right)^{1/3} \rho$$ $$g = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} G M^{1/3} \rho_0^{2/3} (M/M_{earth})^{2\alpha/3}$$ $$g = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} GM_{earth}^{1/3} \rho_0^{2/3} (M/M_{earth})^{(2\alpha+1)/3}$$

Also, abgesehen von einem (höchstmöglichen) algebraischen Fehler, wenn Sie zeichnen$\log g$vs$\log M$, der Gradient ist$(2\alpha+1)/3$, die aus Ihrem Grundstück ergibt$\alpha \simeq 0.92$- dh die durchschnittliche Planetendichte nimmt nahezu linear mit der Masse zu.

Das Abfangen ist dann

$$b = \log \left[ \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} GM_{earth}^{1/3} \rho_0^{2/3}\right],$$ was nachgibt $\rho_0 \simeq 3.5$kg/m $^3$(NB: Ich habe 2 von deinem abgezogen $b$um es SI zu machen; ergibt eine Dichte von etwa 814 kg/m $^3$bei einer Jupitermasse).

Die Tatsache, dass die Dichte fast proportional zur Masse ist, kann dem gleichen Datensatz entnommen werden. zB siehe unten. Unterhalb von 0,1 Jupitermassen scheint die Beziehung zusammenzubrechen, obwohl tatsächlich nur sehr wenige der Dichten für solche Planeten sehr genau gemessen werden (da ein Radius von einem Transit erforderlich ist), aber es funktioniert gut genug in dem von Ihnen gezeichneten Bereich . Die Physik hier ist, dass Gasriesen von einer teilweise (elektronen-) entarteten Zustandsgleichung beherrscht werden, die dazu führt, dass sie alle einen ähnlichen Radius von etwa einem Zehntel einer Jupitermasse bis etwa 50 Jupitermassen haben (allerdings mit erheblicher und weitgehend unerklärter Streuung). . Die Dichte ist also proportional zur Masse. Diese Beziehung funktioniert nicht für kleine Gesteinsplaneten, bei denen der Radius für kleinere Massen abnimmt.

Für Planeten konstanter mittlerer Dichte gilt:

$$M=\rho \times 4\pi r^3$$ und der Oberflächenwert von $g$ist: $$g(r)=\frac{GM}{r^2}=G \times \rho\times 4 \pi \times r$$ Bei Körpern konstanter Dichte ist also die Oberflächengravitation proportional zum Radius und die Steigung wie $r \to 0$sagt dir die Dichte. Also für Körper gleicher Dichte $\log(g(r)) \to -\infty$als $r \to 0$

Von der Masse her:

$$g(M)={G(4\pi \rho)^{2/3}M^{1/3}}$$ So wie $M\to 0$wir haben $g(M)\to 0$und wieder $\log(g(M))\to -\infty$und das Abfangen der $\log-\log$Handlung als $M$auf Null geht ermöglicht die Berechnung der mittleren Dichte.