Wie viel Masse braucht ein Objekt im Weltraum, um einen Menschen auf seiner Oberfläche zu halten?

Jedes Objekt mit Masse (auch Sie) hat Schwerkraft. Die gegenseitige Anziehungskraft zwischen zwei Objekten ist durch die Formel gegeben

$$F = G \frac{M_1 M_2}{R_{12}^2},$$ wo die beiden Massen sind $M_1$und $M_2$und $R_{12}$ist die Trennung ihrer Massenschwerpunkte.

Um Ihre Frage zu beantworten, müssen wir also eine Art Parameter definieren, der angibt, was Sie unter "sinnvoller Schwerkraft" verstehen.

Eine Möglichkeit, dies zu tun, wäre zu fordern, dass die Kräfte aufgrund der Gezeiten von der Sonne größer sind als die Gravitationskraft, die Sie an dem fraglichen Körper hält. Auch hier müssen wir eine Annahme darüber treffen, wie weit das Objekt von der Sonne entfernt ist - lassen Sie es sein$r$. Lassen Sie jetzt Ihre Masse sein$m$, die Masse des Körpers sein$M$, der Radius des Körpers sein$R$, und die Masse der Sonne sein$M_{\odot}$.

Um an dem Objekt befestigt zu bleiben, wenn Sie sich am "subsolaren Punkt" befinden - dh der Körper dreht sich so, dass Sie der Sonne am nächsten sind, dann benötigen wir

$$G \frac{M m}{R^2} > G \frac{m M_{\odot}}{(r-R)^2} - G\frac{m M_{\odot}}{r^2}$$

Davon können wir ausgehen$r \gg R$, also aufheben$Gm$und Durchführen einer binomialen Erweiterung des Mittelterms, wobei nur die ersten beiden Terme der Erweiterung beibehalten werden:

$$\frac{M}{R^{2}} > \frac{M_{\odot}}{r^{2}}(1 + \frac{2R}{r}) - \frac{M_{\odot}}{r^{2}}$$ $$\frac{M}{R^{2}} > 2M_{\odot}\frac{R}{r^3}$$ Somit setzt dies der Dichte des fraglichen Objekts eine Grenze $$\frac{3M}{4\pi R^3} = \rho > \frac{3}{2\pi} \frac{M_{\odot}}{r^3}$$

Bei$r=1\ au$, das heißt, die Dichte muss nur überschritten werden$3 \times 10^{-4}$kg/m$^3$, die von jedem Festkörper erfüllt wird. NB: Diese Grenze wäre eine Grenze, bei der Sie tatsächlich von den Gezeiten der Sonne von der Oberfläche gezogen würden.

Eine strengere Anforderung könnte darin bestehen, sicherzustellen, dass Sie nicht von der Oberfläche springen können. Auf der Erde könnte ein durchschnittlicher Mensch etwa 50 cm vertikal springen. Mit den Gleichungen der gleichförmigen Beschleunigung (SUVAT) wissen wir es$u^2 = 2g s$, wo$g$ist die Erdbeschleunigung,$s$ist die gesprungene Höhe und$u$ist die anfängliche Aufwärtsgeschwindigkeit. Dies sagt uns, dass Sie mit etwa 3 m/s nach oben springen können. Angenommen, dies ist bei jedem anderen Körper gleich (es ist schwer zu sagen, wie gut Sie in viel geringerer Schwerkraft springen könnten), könnten Sie dies mit der Fluchtgeschwindigkeit des Objekts gleichsetzen, gegeben durch$v_{esc} = (2GM/R)^{1/2}$. Somit ergibt sich eine Einschränkung von$M/R > u^2/2G$.

Wenn wir eine realistische Dichte von festlegen$\rho = 5000$kg/m$^{3}$für einen Asteroiden können wir ersetzen$M$mit$4\pi R^{3} \rho/3$, um zu sagen, dass man von einem Asteroiden springen könnte, wenn er kleiner wäre als:

$$R < u \left(\frac{3}{8\pi G \rho}\right)^{1/2}$$ Für die besprochenen Zahlen bedeutet dies$R< 1.8$km und$M<1.2\times 10^{14}$kg .

Viele weitere Details unter https://physics.stackexchange.com/questions/46318/is-there-a-small-enough-planet-or-asteroid-you-can-orbit-by-jumping

Das Ergebnis hängt übrigens, wie Sie bestimmt schon bemerkt haben, nicht von Ihrer Masse ab.