Was ist Kohärenz in der Quantenmechanik?

Kohärenter (oder reiner) Zustand

Betrachten Sie 2 Grundzustände$\lvert0\rangle$und$\lvert1\rangle$. (Wenn Sie noch nie von Zuständen gehört haben, behandeln Sie sie als gewöhnliche komplexe Vektoren.) Hier nehmen wir das an$\lvert0\rangle$und$\lvert1\rangle$sind orthogonal ($\langle 0\lvert1\rangle =0$).

Nun, bedenke$\lvert c\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\lvert0\rangle + e ^{i\phi}\lvert1\rangle)$.

$\lvert c\rangle$ist ein (normalisierter) kohärenter Zustand, weil die Phase$\phi$ist konstant.

Wir können uns die Dichtematrix ansehen, definiert als$\rho = \lvert c\rangle \langle c\lvert$(das ist$\langle i\lvert\rho\lvert j\rangle=\rho_{ij} = c_i^* c_j$, mit$c_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}, c_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}e ^{i\phi}$). Wir haben:

$$\rho =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&e ^{i\phi}\\e ^{-i\phi}&1 \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Diese Dichtematrix beschreibt einen kohärenten Zustand. Sie können das überprüfen$\rho^2 = \rho$, das ist$\rho$ist ein Projektor auf den kohärenten Zustand$\lvert c\rangle$.

Nehmen wir nun die Phase an$\phi$ist zufällig (das heißt: die Phasendifferenz zwischen$c_1$und$c_2$ist zufällig), also der mittlere Erwartungswert von$e ^{i\phi}$ist einfach Null, und wir haben eine Dichtematrix:

$$\rho' =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}. \tag{2}$$

Die Dichtematrix$\rho'$stellt keinen kohärenten Zustand mehr dar, dies ist einfach ein klassisches statistisches Wahrscheinlichkeitsgesetz. Die außerdiagonalen Elemente der Matrix$\rho$sind verschwunden.

In den 2 Fällen haben wir es mit nur einem Teilchen zu tun, und die Wahrscheinlichkeiten, das Teilchen darin zu finden$\lvert0\rangle$Staat oder der$\lvert1\rangle$Staat, sind die gleichen, und sind$\frac{1}{2}$.

$$\langle 0\lvert\rho\lvert0\rangle= \langle 1\lvert\rho\lvert1\rangle= \langle 0\lvert\rho'\lvert0\rangle= \langle 1\lvert\rho'\lvert1\rangle = \frac{1}{2}. \tag{3}$$

Verstrickung

Verstrickung ist mindestens ungefähr$2$Teilchen, zum Beispiel der reine Zustand

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert0\rangle\lvert0\rangle+\lvert1\rangle\lvert1\rangle )\tag{4}$$ ist ein maximal 2-Teilchen verschränkter Zustand.

Aus einem gegebenen verschränkten Zustand können Sie die Korrelationen für die gemeinsame Messung der 2 Teilchen berechnen.

Es scheint, dass diese verschränkten Quantenkorrelationen stärker sind als die klassischen statistischen Korrelationen.

Korrelationen bedeuten nicht, dass Sie unmittelbar Informationen austauschen können; siehe auch diese vorherige Antwort .

Was ist Kohärenz und Quantenverschränkung? Bedeutet das, dass zwei Teilchen gleich sind?

Nein, Kohärenz bedeutet eine mathematische Beziehung, die unveränderlich bleibt. Verschränkung ist mit Kohärenz verwandt, da sie eine Beschreibung von Teilchen ist, die eine unveränderliche Beziehung in Zeit und Raum haben.

Eine alltägliche Beschreibung der Verstrickung wäre die folgende: Ein Paar Zwillinge, ein Junge und ein Mädchen, haben sich in entgegengesetzte Richtungen bewegt, einer lebt in Kalifornien, der andere in New York. Wenn Sie den Jungen in Kalifornien treffen, wissen Sie sofort, dass der andere Zwilling in New York ein Mädchen ist. Es wurden keine Informationen mit irgendeiner Geschwindigkeit über Land übermittelt, außer dem vorherigen Wissen, dass zwischen diesen beiden Menschen eine unveränderliche Beziehung bestand.

Ich habe das in einem Buch mit dem Titel „Physik des Unmöglichen“ von Michio Kaku gelesen. Er sagt, zwei Teilchen verhalten sich gleich, selbst wenn sie getrennt sind. Er sagt auch, dass dies bei der Teleportation hilfreich ist. Wie kann das möglich sein? Könnte das bitte jemand erklären?

Ich hoffe, das ist eine schlechte Transkription dessen, was er gesagt haben muss. Er muss gesagt haben, dass verschränkte Teilchen es einem ermöglichen, sofort den Zustand des anderen zu erkennen, wenn man eines von ihnen entdeckt. Dies ist trivial, wie mein Beispiel mit den Zwillingen zeigt, und hat keine verwertbare Bedeutung, selbst wenn Teleportation existiert, was nicht der Fall ist. Klingt für mich wie ein Science-Fiction-Buch.

Nun ist die Kohärenz in der Quantenmechanik auf die Natur der Wellenfunktionen zurückzuführen , die die zugrunde liegende Schicht von Teilchen und Molekülen beschreiben. Dies sind sinusförmige Funktionen, was bedeutet, dass sie nicht nur eine Amplitude (ein Maß) haben, sondern auch eine Phase. Kohärenz bedeutet, dass die Phasen der Wellenfunktion zwischen den kohärenten Teilchen konstant gehalten werden.

Kohärenz existiert auch in klassischen Dimensionen überall dort, wo es Sinusfunktionen gibt, die den Sachverhalt beschreiben. Resonanzen können sich kohärent aufbauen, wie in einem kreischenden Lautsprecher oder Mikrofon. Es wird gesagt, dass Soldaten beim Überqueren alter Brücken den Schritt brechen, damit sich die Amplitude ihrer Füße, die auf den Boden auftreffen, nicht summiert und die Brücke zerstört.

Ich denke, eine grundlegendere Antwort wäre hilfreich.

Wenn wir an Teilchen und Wellenfunktionen denken, denken wir daran, dass jedes Teilchen seine eigene Wellenfunktion hat$\psi(x)$- die Tendenz, dass ein Teilchen an irgendeiner Position gefunden wird$x$. Wenn wir zwei Teilchen haben, ist es natürlich zu denken, dass wir zwei Wellenfunktionen haben,$\psi_1(x)$und$\psi_2(x)$, wobei jedes sein eigenes Teilchen beschreibt. Aber Verschränkung ist die Aussage, dass wir die beiden Teilchen mit einer einzigen Wellenfunktion beschreiben sollen$\psi(x_1, x_2)$stattdessen. Mit anderen Worten, ein Maß für die Tendenz von Partikel 1, sich in Position zu befinden$x_1$WENN Partikel 2 in Position ist$x_2$.

Es gibt viele Vorbehalte dazu, und ich hoffe, die technisch versierten werden ihre Auslassung verzeihen.

Da Partikel mehr als nur eine Position haben können, können wir das Gleiche mit dem Spin in der Mischung machen. Lassen$\psi(s_1, s_2)$Geben Sie die Tendenz für Teilchen 1 an, Spin zu haben$s_1$(oben oder unten) und Partikel 2, um Spin zu haben$s_2$usw. Die Wellenfunktion hängt immer noch von der Position ab, aber ich habe sie momentan ignoriert. Nehmen wir dann an, wir messen den Spin von Teilchen 2 und stellen fest, dass es "oben" ist. Da die beiden Teilchen durch dieselbe Funktion beschrieben werden, kennen wir die Tendenz von Teilchen 1, sich in einem bestimmten Zustand zu befinden$s_1$ist$\psi(s_1, up)$. Daher hat die Kenntnis des Zustands des zweiten Teilchens das Verhalten des ersten Teilchens beeinflusst. Das ist die Essenz der Verschränkung.

Wir können dasselbe mit einem Teilchen machen und sagen, dass sein Spin und seine Position verschränkt sind. Ebenso können wir beliebig viele Teilchen beschreiben. Es ist besser, sich vorzustellen, dass es eine und nur eine Wellenfunktion gibt, die alle Teilchen im Universum beschreibt. Der Grund, warum wir manchmal mit Einzelteilchen-Wellenfunktionen davonkommen, liegt darin, dass diese "große" Wellenfunktion oft sauber in ein Produkt von Wellenfunktionen einfließt. Wenn zum Beispiel zwei Teilchen nicht verschränkt sind, dann können wir schreiben$\psi(x_1, x_2) = \psi_1(x_1) \times \psi_2(x_2)$. Dies ist offensichtlich nicht immer der Fall.

Ein verschränkter Zustand ist mathematisch wohldefiniert. Wenn man es durch diese Linse betrachtet, sollte die Angelegenheit entmystifiziert werden. Angenommen, Sie haben ein zweiteiliges System, das durch die Zustandsräume beschrieben wird$H_{1}\otimes H_{2}$. Jeder Vektor aus dem Raum hat die Form

$\left | \psi \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{i,j} ( \left | \phi_{i} \right \rangle \left | \varphi _{j} \right \rangle)$, (1)

wo$\left | \phi_{i} \right \rangle$ist die Grundlage von$H_{1}$und$\left | \varphi _{j} \right \rangle$ist die Grundlage von$H_{2}$. Ein trennbarer (nicht verschränkter) Zustand ist definiert als ein Zustand, für den man Vektoren finden kann$\left | \phi \right \rangle \in H_{1}$,$\left | \varphi \right \rangle \in H_{2}$so dass

$\left | \psi \right \rangle = \left | \phi \right \rangle \left | \varphi \right \rangle$.

Seit$\left | \phi \right \rangle \in H_{1}$und$\left | \varphi \right \rangle \in H_{2}$wir haben die folgenden Basisdarstellungen:

$\left | \phi \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} \left | \phi_{i} \right \rangle$,

$\left | \varphi \right \rangle = \sum_{j=1}^{m} c_{i,j} \left | \varphi _{j} \right \rangle$.

Wenn Sie die Definition des Tensorprodukts anwenden und "diese ausmultiplizieren", erhalten Sie:

$\left | \psi \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i}b_{j} ( \left | \phi_{i} \right \rangle \left | \varphi _{j} \right \rangle)$. (2)

Wenn Sie (1) und (2) vergleichen, können Sie sehen, dass für einen trennbaren Zustand die Koeffizienten wie folgt in Beziehung stehen müssen:

$c_{i,j} = a_{i}b_{j}$für alle$i, j$. (3)

Das folgende Beispiel wird hoffentlich endgültige Klarheit schaffen. Angenommen, Sie sollen entscheiden, ob der folgende Zustand trennbar ist:

$\left | \psi \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\left | 00 \right \rangle + \left | 11 \right \rangle)$.

Geht man davon aus, dass dieser Zustand als Produkt zweier „elementarer“ Zustände entstanden ist$H_{1}$,$H_{2}$Sie würden einen Widerspruch erhalten (dh es existiert kein Satz von Koeffizienten, der (3) erfüllt). Dies zeigt uns, dass der Zustand nicht trennbar (dh verschränkt) ist. Die wichtigsten Takeaways sind:

1) Es sind "mehr" Vektoren drin$H_{1}\otimes H_{2}$dann nur die des Formulars$\left | \psi \right \rangle = \left | \phi \right \rangle \left | \varphi \right \rangle$.

2) Die verschränkten Zustände haben eine "besondere Struktur". Angenommen, Sie würden eine Von-Neumann-Messung am ersten Zustands-Qbit durchführen$\left | \psi \right \rangle$. Unabhängig davon, welches Ergebnis Sie erhalten würden, würden Sie den zweiten Teil des Systems in einen der beiden Zustände kollabieren lassen$\left | 0 \right \rangle$oder$\left | 1 \right \rangle$. Diese gegenseitige Abhängigkeit hat diesen Staatentypen ihren Namen gegeben.