Erhaltung der Quantenkohärenz?

Nein, Kohärenz wird im Allgemeinen nicht durch einheitliche Transformationen konserviert . Am einfachsten ist dies an einem einfachen Beispiel zu sehen. Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Quantenoszillator mit Hamiltonian ($\hbar = 1$)

$$H = \omega a^\dagger a,$$ Energieeigenzustände besitzen $H\lvert n\rangle = n\omega \lvert n\rangle$. Nun kann Kohärenz (im üblichen Sinne des Wortes) nur in Bezug auf eine bestimmte Basiswahl definiert werden. In der Quantenoptik, bei der Untersuchung von nanomechanischen Oszillatoren und in vielen anderen Anwendungen des harmonischen Quantenoszillators wird Kohärenz normalerweise in Bezug auf die Energieeigenbasis definiert. Das heißt, ein Staat $\rho$besitzt Kohärenz, wenn sie in der Energieeigenbasis entwickelt wird $$\rho = \sum_{m,n} \rho_{mn} \lvert m \rangle \langle n\rvert,$$ hat mindestens einen Begriff wo $\rho_{mn}\neq 0$für $m\neq n$. Tatsächlich wird ein solcher Term technisch als Kohärenz (in der Energie-Eigenbasis) bezeichnet .

Also der Grundzustand des Systems$\lvert 0 \rangle$besitzt keine Kohärenz. Andererseits ein kohärenter Zustand $\lvert \alpha\rangle$, so dass$a \lvert \alpha\rangle = \alpha \lvert \alpha \rangle$, besitzt viel Kohärenz (Überraschung!). Die beiden sind jedoch durch eine einheitliche Transformation, die wohlbekannte einheitliche Verschiebungsoperation, miteinander verbunden $\lvert \alpha\rangle = D(\alpha)\lvert 0 \rangle$, Wo

$$D(\alpha) = \exp \left ( \alpha a^\dagger - \alpha^* a \right ),$$ und klar $D^\dagger(\alpha) D(\alpha) = 1$. Ein Kohärenzmaß $C(\rho)$die Erfüllung der Bedingung 1 des OP impliziert somit $$C(\lvert \alpha \rangle \langle \alpha \rvert) = C(D(\alpha)\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert D^\dagger(\alpha)) = C(\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert ).$$ Deshalb $C(\rho)$ist ein ziemlich schlechtes Maß, da es dem Vakuumzustand (normalerweise als ohne Kohärenz angesehen) und einem kohärenten Zustand (normalerweise als mit "maximaler" Kohärenz angesehen) dieselbe Menge an "Kohärenz" zuweist.

Es ist einfach, dies auf mehrteilige Systeme zu verallgemeinern. Das findet man bspw.$C(\rho)$weist maximal verschränkten reinen Zuständen und trennbaren reinen Zuständen dieselbe Menge an "Kohärenz" zu . Auch dies ist genau das Gegenteil von dem, was man normalerweise als Kohärenz bezeichnen würde.

Insgesamt sehen wir, dass kein sinnvolles Kohärenzmaß unter allen unitären Transformationen invariant sein kann. Tatsächlich sollte ein Kohärenzmaß nur unter Unitären allgemein unveränderlich sein, die in der gewählten Referenzbasis diagonal sind (dh in diesen Beispielen die Energieeigenbasis).

Wenn wir Kohärenz als "kohärente Überlagerung" verstehen, dann ja, Kohärenz ist in gewissem Sinne konserviert.

Eine einfache Überlagerung zweier Zustände entwickelt sich einheitlich als

$$\alpha\;|a\rangle + \beta\;|b\rangle \;\; \rightarrow\;\; \alpha\;e^{-iHt}|a\rangle + \beta\;e^{-iHt}|b\rangle \equiv \alpha\;|a(t)\rangle + \beta\;|b(t)\rangle$$ so können wir sagen, dass dies jederzeit die relative Phase der entwickelten Komponenten ist $|a(t)\rangle$Und $|b(t)\rangle$ist dasselbe wie die relative Phase der Anfangskomponenten $|a\rangle$Und $|b\rangle$.

Tatsächlich gilt dasselbe für Dichtematrixelemente gemischter Zustände. Wir haben$\rho(t) = e^{-iHt} \rho(0) e^{iHt}$, aber auch

$$\langle a(t) |\rho(t)|b(t)\rangle = \langle a |\rho(0)|b\rangle$$

Ferner in einem nicht wechselwirkenden zweiteiligen System, das sich unter Hamiltonian entwickelt$H = H_A + H_B$, die relative Phase der Beiträge zu einem reinen Gesamtzustand bleibt in dem Sinne erhalten, dass

$$|\Psi_{AB}(0)\rangle = \alpha\;|\psi_A \otimes \psi_B\rangle + \beta\;|\phi_A \otimes \phi_B\rangle \;\; \rightarrow\;\; |\Psi_{AB}(t)\rangle = \alpha\;|\psi_A(t) \otimes \psi_B(t)\rangle + \beta\;|\phi_A(t) \otimes \phi_B(t)\rangle$$ Wo $$\alpha\;|\psi_A(t) \otimes \psi_B(t)\rangle + \beta\;|\phi_A(t) \otimes \phi_B(t)\rangle \equiv \alpha\;e^{-iHt}|\psi_A \otimes \psi_B\rangle + \beta\;e^{-iHt}|\phi_A \otimes \phi_B\rangle$$ für $$|\psi_A(t)\rangle = e^{-iH_At}|\psi_A\rangle, \;\; |\phi_A(t)\rangle = e^{-iH_At}|\phi_A\rangle\\ |\psi_B(t)\rangle = e^{-iH_Bt}|\psi_A\rangle, \;\; |\phi_B(t)\rangle = e^{-iH_Bt}|\phi_A\rangle$$ Und obwohl in diesem Fall die Zustände der Teilsysteme A und B nicht mehr "kohärente" reine Zustände sind, sondern "inkohärente" Mischzustände, $\rho_{A(B)} = Tr_{B(A)}|\Psi_{AB}\rangle\langle \Psi_{AB}|$, können wir sagen, dass auch in den gemischten Zuständen noch ein gewisses Maß an Kohärenz in der Zeit erhalten bleibt, da ihre Matrixelemente immer noch genügen $$\langle \psi_A(t) |\rho_A(t)|\psi_A(t)\rangle = \langle \psi_A |\rho_A(0)|\psi_A\rangle,\;\;\;\langle \psi_A(t) |\rho_A(t)|\phi_A(t)\rangle = \langle \psi_A |\rho_A(0)|\phi_A\rangle\;\;, \text{etc}$$ und ähnlich für B.

Beachten Sie jedoch, dass wir nicht von einer einzigen Erhaltungsgröße sprechen können, die Kohärenz darstellt. Wir können nur sagen, dass eine einheitliche Evolution relative Phasenbeziehungen zwischen einheitlich entwickelten reinen Zuständen bewahrt, sowohl in reinen Zustandsüberlagerungen als auch in gemischten Zuständen.