Was macht den Satz von Poynting konsistent für eine Ladung, die sich in einem statischen elektrischen Feld bewegt?

Der Satz von Poynting ist gegeben durch

∂ ∂ T ∫ v U D v + ∮ A S → ⋅ D A → + ∫ v E → ⋅ J → D v = 0

Wo,

  • die gesamte elektromagnetische Energie im Volumen v ist U = 1 2 ( E → ⋅ D → + B → ⋅ H → )
  • der Poynting-Vektor S → = E → × H →

Diese Gleichung wird als Erhaltung elektromagnetischer und mechanischer Energie für ein Raumvolumen interpretiert, wobei jeder Term die entsprechende Rate darstellt

  1. elektromagnetische Energie ändert sich innerhalb des Volumens
  2. elektromagnetische Energie überquert die Grenze der umschließenden Oberfläche
  3. an Ladungen innerhalb des Volumens wird mechanische Arbeit verrichtet

Nehmen wir nun den Fall einer Ladung, die durch ein statisches elektrisches Feld aus der Ruhe beschleunigt wird, und zwar zunächst im Zentrum eines im Raum fixierten kugelförmigen Volumens mit dem Radius cT, wobei c die Lichtgeschwindigkeit und T die Zeit ist, die elektromagnetische Felder benötigen, um sich von der auszubreiten Zentrum zur Kugelgrenze. Für 0 < t < T nimmt sowohl die magnetische als auch die mechanische Energie innerhalb des Volumens zu, ohne dass elektromagnetische Energie die Grenze überschreitet.

Woher kommt also während dieser Zeit der negative Term, um RHS = 0 im Satz von Poynting aufrechtzuerhalten?

Ich kann mir das leichter vorstellen, wenn ich ein Volumen mit einem Radius größer als betrachte C T ...
Haben Sie tatsächlich versucht, die zeitliche Ableitung der Energiedichte unter Berücksichtigung des äußeren Feldes und des Ladungsfeldes zu berechnen? Es wäre eine gute Übung.
@ user37496 ja, das ist mir klar geworden, nachdem ich die Frage gestellt hatte, also habe ich daraus eine kurze Antwort gemacht.

Antworten (3)

Was macht Sie so sicher, dass die elektromagnetische Nettoenergie innerhalb des Volumens zugenommen hat? Ja, es gibt ein Strahlungsfeld, aber es gab auch ein vorher existierendes Feld, das die Beschleunigungsquelle der Ladung war, und dieses vorher existierende Feld hatte eine Energiedichte, und elektromagnetische Energie ist in den Feldern nicht linear. Es muss so sein, dass jede geleistete mechanische Arbeit durch eine Nettoreduzierung der EM-Energie ausgeglichen wird, wenn die bereits vorhandene Felddichte einbezogen wird.

Wie der andere Kommentator erwähnte, gibt es das Problem der beweglichen Grenze. Man könnte jedoch das „Paradoxon“ mit einer festen Grenze umschreiben, die zu einem bestimmten Zeitpunkt größer als CT ist.

Für den Fall einer sich bewegenden Grenze sollte Ihr aus den lokalen Dichten abgeleitetes Erhaltungsgesetz lauten

∫ v ∂ U ∂ T D v + ∮ A S → ⋅ D A → + ∫ v E → ⋅ J → D v = 0

Der gesuchte Negativbegriff kommt dann von

∫ v ∂ U ∂ T D v = ∂ ∂ T ∫ v U D v − U [ ∂ v ]

wobei der letzte Term positiv ist und auf Beiträge von der sich bewegenden Grenze von zurückzuführen ist v , ∂ v = A .

Es ist aufschlussreich, sich das optisch ansprechende Bild der Feldverteilung um eine beschleunigte Ladung anzusehen ( http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html ). Tatsächlich gibt es eine Diskontinuität in den Feldlinien auf der die Ladung umgebenden Kugel vom Radius cT.

Entschuldigung, ich hätte deutlicher machen sollen, dass die Lautstärke festgelegt ist.

Der negative Term kommt von der Änderung der elektrischen Energie innerhalb des Volumens, die von der Ladung selbst beigetragen wird, die bei t <= 0 maximal ist und mit zunehmender Entfernung vom Zentrum abnimmt.

Was macht den Satz von Poynting konsistent für eine Ladung, die sich in einem statischen elektrischen Feld bewegt?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v