Was sagt der Divergenzsatz von Gauß über die Kompression eines Körpers unter Eigengravitation?

Unter dieser Frage gibt es einen Kommentar , der mein Interesse geweckt hat:

Erstens gibt es ein Missverständnis. Das Zusammendrücken eines Körpers erhöht nicht die Schwerkraft auf außen liegende Massen. Das ist der berühmte Divergenzsatz von Gauß.

Ich verstehe, dass man den Divergenzsatz verwenden kann, um den Schalensatz anzusprechen (abzuleiten) - eine Folge von schnell ist, dass ein Teilchen innerhalb einer kugelsymmetrischen Schale keine Nettogravitationskraft von der Schale erfährt, aber dies scheint anders zu sein, da es sich auf Änderungen im Durchschnitt bezieht Dichte eines Körpers und Gravitationskräfte auf außen liegende Massen .

Deshalb würde ich gerne besser verstehen: Was sagt der Divergenzsatz von Gauß über die Kompression eines Körpers unter Eigengravitation?

Als Referenz deckt diese Antwort das Shell-Theorem gut ab.

Antworten (1)

Der Divergenzsatz von Gauß, angewendet auf das Gravitationsfeld g → ist das

∮ g → ⋅ d EIN → = ∫ ∇ ⋅ g →   d v ,
wobei die linke Seite der Fluss des Gravitationsfeldes in/aus einer geschlossenen Oberfläche ist und die rechte Seite das Integral der Divergenz dieses Feldes über das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen ist.

Die grundlegende Definition dafür, wie Masse ein Gravitationsfeld erzeugt, ist folgende

∇ ⋅ g → = − 4 π G ρ ,
wo ρ ist die Massendichte.

Wenn Sie sich an einem Punkt außerhalb der Masse befinden, wird die rechte Seite des Divergenzsatzes zu einer Konstante .

∮ g → ⋅ d EIN → = − 4 π G ∫ ρ   d v = − 4 π G M .
Daher ist die linke Seite auch konstant, wenn sie über eine beliebige Fläche berechnet wird, die die gesamte Masse umschließt.

Lässt man die Masse kugelsymmetrisch kontrahieren , so ist das Gravitationsfeld auf der linken Seite dann immer in radialer Richtung g → muss an jeder Stelle im Raum außerhalb der Massenverteilung gleich bleiben.

Meinst du, an jeder festen (gegebenen) Position außerhalb bleibt g gleich, egal wie komprimiert es ist? g außerhalb jeder sphärischen Verteilung kann berechnet werden, indem es durch eine Punktmasse im Zentrum ersetzt wird. Rechts?
@uhoh Ja, das ist das Shell-Theorem.
OK, also wird die Schwerkraft auf der Oberfläche des Körpers natürlich stärker, wenn er komprimiert wird. Großartig. Ich dachte, dass der verlinkte Kommentar in meiner Frage etwas Seltsames ist. Ich konnte nicht verstehen, wie der Divergenzsatz dort angewendet wurde. Vielen Dank!
Was sagt der Divergenzsatz von Gauß über die Kompression eines Körpers unter Eigengravitation?
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