Welchen Randbedingungen gehorcht ein stationäres Anfangstemperaturprofil, das sich gemäß der Wärmestromgleichung entwickelt?

Question

Welchen Randbedingungen gehorcht ein stationäres Anfangstemperaturprofil, das sich gemäß der Wärmestromgleichung entwickelt?

Physik
Temperatur
Gleichgewichtszustand
Thermodynamik
Wärmeleitung

BRAND

Ein zylindrischer Stab von Länge $L$ ist über seine gekrümmte Oberfläche isoliert. Das Ende der Stange bei $x = 0$ in Kontakt mit einem Wärmebad auf Temperatur steht $\Theta_0$ und das Ende der Stange bei $x = L$ in Kontakt mit einem Wärmebad auf Temperatur steht $\Theta_L$ . Nach einiger Zeit wird ein stationärer Zustand erreicht. Die stationäre (zeitunabhängige) Lösung der Wärmegleichung ist
$Θ (X) = Θ_{0} + \frac{Θ_{L} - Θ_{0}}{L} X$ $\Theta(x)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x$ Die Wärmegleichung, die das Temperaturprofil des Stabes beschreibt, ist $\frac{1}{D} \frac{\partial Θ}{\partial T} = \frac{\partial^{2} Θ}{\partial X^{2}}$ $\frac{1}{D}\frac{\partial\Theta}{\partial t}=\frac{\partial^2 \Theta}{\partial x^2}$ Wo $D$ ist eine Konstante und $\Theta(x,t)$ ist die Temperatur an der Position $x$ und Zeit.

Zum Zeitpunkt $t = 0$ wird der Stab von den Wärmebädern getrennt. Vorausgesetzt, dass keine Hitze $Q$ anschließend den Stab verlässt oder betritt, notieren Sie die Rand-/Anfangsbedingungen:
$(A) bei X = 0,$ $(a) \quad\text{at}\qquad x = 0,$ $(B) bei X = L,$ $(b) \quad\text{at}\qquad x = L,$ $(C) bei T = 0 für 0 \leq X \leq L$ $\qquad\qquad\qquad\qquad(c) \quad\text{at}\qquad t = 0 \quad \text{for}\qquad 0 \le x \le L$ (Hinweis: Erinnern Sie sich an das Fouriersche Gesetz des Wärmeflusses $\frac{1}{A}\frac{\partial Q}{\partial t}=−k\frac{\partial \Theta}{\partial x}$ , Wo $k$ ist die Leitfähigkeit.)

Die Antwort auf Teile gegeben $(a)$ , $(b)$ & $(c)$ (bzw.) sind

Die Randbedingung bei $x = 0$ ist, dass keine Wärme in oder aus dem Ende des Stabes fließt. Dies impliziert, dass der Temperaturgradient bei $x = 0$ ist null:
$\frac{\partial Θ (X, T)}{\partial X} |_{X = 0} = 0$ $\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0}= 0$

Die Randbedingung bei $x = L$ ist, dass keine Wärme in oder aus dem Ende des Stabes fließt. Dies impliziert, dass der Temperaturgradient bei $x = L$ ist null:
$\frac{\partial Θ (X, T)}{\partial X} |_{X = L} = 0$ $\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=L}= 0$

Die Anfangsbedingung bei $t = 0$ für $0 \le x \le L$ ist, dass die anfängliche Temperaturverteilung die stationäre Temperaturverteilung ist:
$Θ (X) = Θ_{0} + \frac{Θ_{L} - Θ_{0}}{L} X$ $\Theta(x)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x$

Ich kämpfe um körperliche Intuition für diese Rand-/Anfangsbedingungen. Ich habe aus dem Lesen des Kommentars unter dieser Frage gelernt , dass ein stationärer Zustand in diesem Zusammenhang bedeutet, dass so viel Wärme aus dem herausfließt $\Theta_L$ Wärmebad, wie es in die fließt $\Theta_0$ Wärmebad, und ich erkenne an, dass dies definitiv nicht dasselbe ist wie thermisches Gleichgewicht.

Liegt jedoch der Temperaturgradient bei $t=0$ bei Null ist $x=0,L$ wie kann es nach dem abklemmen des stabes zu irgendeiner wärmeübertragung kommen (auch z $t \gt 0$ )?

Anders ausgedrückt, ich weiß, dass an beiden Enden der Stange keine Wärme austritt (da sie isoliert ist) und an beiden Enden der Stange keine Wärme eindringt (da die Wärmebäder nicht mehr vorhanden sind). Es muss aber ein Wärmeübergang stattfinden $x=0$ und/oder $x=L$ entlang der Stange (in Richtung der Stangenmitte). Wenn dies nicht der Fall wäre, wie würde sich das Temperaturprofil jemals entwickeln?

Und es entwickelt sich als die endgültige Antwort für $\Theta(x,t)$ (Arbeiten weggelassen) ist

Θ (X, T) = \frac{Θ_{0} + Θ_{L}}{2} + \frac{2 (Θ_{L} - Θ_{0})}{π^{2}} \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{[(- 1)^{N} - 1]}{N^{2}} \cos (\frac{N π X}{L}) \exp (- \frac{N^{2} π^{2} D}{L^{2}} T)

$\Theta(x,t)=\frac{\Theta_0+\Theta_L}{2}+ \frac{2 \left(\Theta_L-\Theta_0\right)}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[(-1)^n-1\right]}{n^2}\cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 D}{L^2}t \right)$

Also einfach gesagt, ich verstehe physikalisch nicht warum $t=0$

\frac{\partial Θ (X, T)}{\partial X} |_{X = 0 / L} = 0

$\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0/L}= 0$ Nach meiner Logik muss es sogar bei Wärmefluss entlang des Stabes (nicht aus oder in den Stab) geben

t = 0

$t=0$ .

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Welchen Randbedingungen gehorcht ein stationäres Anfangstemperaturprofil, das sich gemäß der Wärmestromgleichung entwickelt?

Ragnar · Answer 1

Sie können sich dieses Problem in zwei Teilen vorstellen. Der erste Teil findet statt, während der Stab mit den Wärmebädern verbunden ist, dh $t < 0$ . Während dieses Teils sind die Randbedingungen an der Stange

\begin{matrix} Θ (X = 0, T < 0) = Θ_{0} \\ Θ (X = L, T < 0) = Θ_{L} . \end{matrix}

$\begin{gather} \Theta(x = 0,t < 0) = \Theta_0\\ \Theta(x = L,t < 0) = \Theta_L. \end{gather}$ Als Ergebnis dieser Randbedingungen entwickelt sich die Temperatur im Zylinder gemäß der Wärmegleichung, bis die Temperatur im Zylinder durch beschrieben wird

Θ (X, T < 0) = Θ_{0} + \frac{Θ_{L} - Θ_{0}}{L} X

$\begin{equation} \Theta(x,t < 0)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x \end{equation}$

Der zweite Teil dieses Problems findet statt $t = 0$ wo die Enden des Stabs aus den Bädern entfernt und isoliert werden, so dass es keine Wärmeübertragung aus den Enden heraus gibt. Die Randbedingungen, wie in Ihrer Frage angegeben, sind

\begin{aligned} \frac{\partial Θ (X, T)}{\partial X} |_{X = 0} = 0 \\ \frac{\partial Θ (X, T)}{\partial X} |_{X = L} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0}= 0\\ \frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=L}= 0. \end{align}$ Der Stab befindet sich nicht mehr im stationären Zustand, da sich die Randbedingungen geändert haben.

Liegt jedoch der Temperaturgradient bei $t = 0$ bei Null ist $x = 0,L$ wie kann es nach dem abklemmen des stabes zu irgendeiner wärmeübertragung kommen (auch z $t > 0$ )?

Diese Randbedingungen besagen lediglich, dass an den Enden der Stäbe kein Temperaturgradient vorliegt ( $x = 0$ Und $x = L$ ) sagt aber nicht, dass Wärme innerhalb des Stabes nicht übertragen werden kann ( $0<x<L$ ). Wie Sie an Ihrem Ausgangszustand erkennen können $t = 0$ , ist die Temperatur im Stab nicht gleichmäßig, und in Abwesenheit von Wärmequellen breitet sich die Wärme aus, bis sie überall die gleiche Temperatur hat.

Danke für Ihre Antwort, ich denke, wir kommen irgendwo hin, was ich hier frage, ist der Punkt $x=0$ bei $t=0$ , gibt der BC an, dass keine Wärme eintritt (von außen) oder austritt (von innen in den Stab). Aber warum keine Wärmeübertragung weg oder hin zum Punkt $x=0$ bei $t=0$ ? Es ist fast so, als ob der BC nur die Wärmeübertragung in oder aus dem Stab berücksichtigt und die Wärmeübertragung durch ihn ignoriert.
@BLAZE-Randbedingungen werden so genannt, weil sie nur genau an der Grenze gültig sind. Der BC sagt nicht, dass es keinen Temperaturgradienten innerhalb des Stabes gibt, nur dass keine Wärme von den Enden des Stabes austritt. In diesem Fall $\partial \Theta/\partial x \neq 0$ für $0<x<L$ (zumindest bis zum Gleichgewicht) und daher bewegt sich die Wärme zu den Enden hin / von ihnen weg. Sie haben also Recht, der BC sagt Ihnen nur, was an den Grenzen passiert, und Sie müssen die Wärmeübertragungsgleichung verwenden, um zu bestimmen, was zwischen den Grenzen passiert.

Gert · Answer 2

Also einfach gesagt, ich verstehe physikalisch nicht warum $t=0$ :

$\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0/L}= 0$

Nach meiner Logik muss es sogar bei Wärmefluss entlang des Stabes (nicht aus oder in den Stab) geben $t=0$ .

Es gibt zwar einen Wärmestrom entlang des Stabes z $t>0$ , fließt von heiß nach kalt.

Aber es fließt keine Wärme hinein oder hinaus $x=0$ oder $x=L$ . Und da der Wärmestrom durch einen Temperaturgradienten angetrieben wird, gem. Fourier :

\dot{Q} = - k \nabla Θ

$\dot{q}=-k\nabla \Theta$

Wenn $\dot{q}=0$ , und mit $k\neq 0$ , dann per definitionem auch $\nabla \Theta=0$ , daher die Null-Temperaturgradienten-Randbedingungen für $x=0,L$ .

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