Wenn ein Spalt mit Licht beleuchtet wird, behält das Elektron dann noch sein Interferenzmuster?

Das Interferenzmuster verschwindet, wenn das Elektron mit den Photonen interagiert (die Beleuchtung des Schlitzes), weil dann ein lokalisiertes Ereignis stattfindet und die Flugbahn des Elektrons, dh welcher Schlitz genommen wurde, klar ist.

Sendet man nur wenige Photonen aus, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Wechselwirkung gering. Keine Wechselwirkung dazwischen bedeutet Interferenzmuster. Es ist also eine Frage, ob etwas passiert, und die Wahrscheinlichkeit dafür ist proportional zur Anzahl der Photonen.

Um herauszufinden, wohin das Elektron geht, müssen Sie zunächst akzeptieren, dass die Antwort eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und kein einzelner Punkt sein wird.

Die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Elektron an einem Punkt ankommt$P$Auf dem Bildschirm müssen Sie zwei Zahlen addieren und dann das Modulusquadrat nehmen. Das sind komplexe Zahlen. Nennen wir sie$a$Und$b$. Lassen$x$sei der Ort des Punktes auf dem Schirm, an dem das Elektron schließlich ankommt. Dann hängen die komplexen Zahlen (genannt Quantenamplituden) davon ab$x$, und die Wahrscheinlichkeit ist

$$\mbox{Probability(electron arrives at $x$)} = | a(x) + b(x) |^2$$ Nehmen wir zunächst an, dass kein Licht die Schlitze beleuchtet. In diesem Fall ist die Formel für$a(x)$Und$b(x)$ist ziemlich einfach: Sie nehmen einfach die Entfernung vom entsprechenden Schlitz zum Punkt an$x$und durch die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen dividieren, und dies sagt Ihnen die Phase (nach Multiplikation mit$2\pi$). Es ist wie eine Welle, die sich ausbreitet, weshalb$\psi(x) = a(x) + b(x)$wird oft als Wellenfunktion bezeichnet. Wie auch immer, finden Sie $$a(x) = A e^{-i\phi(x)/2}, \;\;\;\;\; b(x) = B e^{i\phi(x)/2}$$ Wo$A$Und$B$sehr wenig abhängen$x$, aber die Phase$\phi(x)$ist ziemlich empfindlich: $$\phi(x) = \frac{2 \pi x d }{\lambda L}$$ Wo$d$ist die Trennung der Schlitze und$L$der Abstand von den Schlitzen zum Bildschirm, und wir nahmen an$L \gg x,d$damit die Kombination$x/L$ist der Winkel, den die verschiedenen Stellen an den Schlitzen einschließen$x$auf dem Bildschirm.

Nun hat das beobachtete Interferenzmuster (wenn kein Licht die Schlitze beleuchtet) sehr viel mit der Phase zu tun$\phi(x)$. Weil wenn$A$Und$B$gleich sind (was in der Praxis eine gute Annäherung ist), die wir haben

$$\mbox{Probability} = |A|^2 |e^{-i\phi(x)/2} + e^{i\phi(x)/2}|^2 = 4|A|^2 \cos^2(\phi(x)/2).$$ Das$\cos^2$Funktion ist das Interferenzmuster.

Ok, jetzt kommen wir endlich zu dem, was passiert, wenn Licht die Schlitze beleuchtet. Nehmen wir den Fall, wo Licht nur einen Schlitz beleuchtet$B$. Der Effekt davon ist die Einführung einer Änderung an$b(x)$. Die Wechselwirkung zwischen dem Licht am Elektron gibt dem Elektron eine Impulsänderung, so dass es sich nun von Spalt B weg in eine neue Richtung ausbreitet (eine andere Analysemethode ruft die Idee der Verschränkung hervor, aber ich werde diesen Ansatz nicht übernehmen). Die Richtung, die das Elektron nach der Wechselwirkung mit dem Photon einschlägt, ist so, dass der Impuls erhalten bleibt, also hängt sie von der Impulsänderung des Photons ab. Aber um den einen Spalt zu treffen und nicht den anderen, muss der Lichtstrahl einen engen Fokus haben und daher wird die Ausbreitungsrichtung des Photons über einen Bereich gestreut (ein Beispiel für die Heisenbergsche Unschärferelation, hier angewendet auf die ankommenden Photonen der Schlitz). Folglich ist auch die Bewegungsrichtung des Elektrons nach der Wechselwirkung mit dem Photon über einen Bereich verteilt. Dieser Winkelbereich beträgt ca

$$\Delta \theta \simeq \frac{p_{\rm photon}}{p_{\rm electron}}$$ wo hier$p$bezieht sich auf Impuls, und wir nehmen an$p_{\rm photon} < p_{\rm electron}$. Das ist die Formel, weil das Elektron einen Impulsschub von etwa bekommt$p_{\rm photon}$seine Fahrtrichtung wird also um etwa zur Seite gedreht$\Delta \theta$. Erinnere dich jetzt daran$x/L$ist der Winkel (dh der Winkel weg von der Normalen zur Ebene der Schlitze) des Ortes$x$auf dem Bildschirm. Der Beitrag zur Wellenfunktion von Spalt B wird nun abgelenkt$\Delta \theta$, was bedeutet, dass es von gesteuert wird $$\Delta x = L \Delta \theta$$ Jetzt haben wir also die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron ankommt$x$: $${\rm Probability} = 4 |A|^2 | e^{-i\phi(x)/2} + e^{i\phi(x + \Delta x)/2}|^2$$ wo wir das beachten müssen$\Delta x$Hier steht der Betrag, um den$x$kann zwischen einem Elektron und dem nächsten variieren, während das Interferenzmuster aufgebaut wird. Die Mathematik mag kompliziert aussehen, aber die zentrale Idee ist, dass der durch das Licht verursachte Impulsschub das Interferenzmuster durch eine zufällige Verschiebung verschiebt, die von einem Elektron zum nächsten variiert . Wenn Sie jedoch eine Reihe zufällig verschobener Interferenzmuster hinzufügen, verwaschen sich die Muster, da die hellen Bereiche eines Musters die dunklen Bereiche eines anderen füllen.

Mal sehen, wie groß diese Verschiebung sein muss, um das Muster auszuwaschen. Es wird erfordern

$$\Delta x > \lambda L/d$$ (weil das die Trennung zwischen den Fransen ist). Also wird es erfordern $$\Delta \theta > \lambda / d$$ und deshalb $$p_{\rm photon} > p_{\rm electron} \lambda / d.$$ Nun wird die De-Broglie-Wellenlänge mit dem Impuls in Beziehung gesetzt$\lambda = h / p$Wo$h$ist die Plancksche Konstante, also haben wir $$p_{\rm photon} > \frac{h}{d}$$ oder mit anderen Worten $$p_{\rm photon} d > h.$$

Der Grund, warum ich die mathematischen Details vorgestellt habe, war wirklich, um klar zu machen, dass die Aussage in Fettschrift oben, über den Impulskick, wirklich die Physik hier enthält. Es ist nicht nötig zu sagen „manchmal ist es eine Welle, manchmal ist es ein Teilchen“ oder so etwas. Es ist einfach ein Fall, in dem eine Sache mit einer anderen interagiert, Impulserhaltung und die Tatsache, dass der Impulsstoß eine zufällige Richtung beinhaltet, die entweder vom einfallenden oder vom ausgehenden Photon oder von beiden genommen wird.

Wie ich oben angedeutet habe, kann das gleiche Ergebnis auch berechnet werden, indem der Quantenzustand des Photons in der Berechnung beibehalten wird, und dann erhalten Sie einen verschränkten Zustand und die Frage wird, ob die möglichen Endzustände des Photons zueinander orthogonal sind. Wenn dies der Fall ist, enthält das Photon die Information „welcher Pfad“ und die Elektroneninterferenz verschwindet. Dies bietet einige nette weitere Einblicke, aber die obige Berechnung in Bezug auf den Momentum-Kick ist völlig gleichwertig.