Szenario
Angenommen, es gibt eine fortschrittliche Technologie, die lebende Menschen hypothetisch transportieren kann, um das Zentrum der Erde zu untersuchen, da sich der größte Teil der Erdmasse über ihnen befindet, wenn sie tiefer in den Untergrund gehen, und daher die Schwerkraft leichter erscheint.
Frage
Q1. Ich weiß nicht, ob Newtons Gravitationsgesetze angewendet werden können, wenn sich eine kleine Masse in einer großen Masse befindet. Gibt es eine Lösung?
Q2. Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der Effekt der Zeitdilatation mit zunehmender Schwerkraft stärker ausgeprägt. Wie wird der Abenteurer in diesem Szenario altern?
Erstens nimmt das Gravitationsfeld im Inneren der Erde mit der Tiefe ab.
In erster Näherung können Sie das Schalentheorem für kugelsymmetrische Massenverteilungen verwenden, um zu argumentieren, dass das Gravitationsfeld in einer bestimmten Tiefe nur auf die Masse zurückzuführen ist, die in einem Kugelinneren bis zu dieser Tiefe eingeschlossen ist. Wenn wir weiter die grobe Annahme machen, dass die Dichte der Erde konstant ist, erhalten wir ein einfaches Ergebnis:
Obwohl dies eine grobe Annäherung ist, sagt sie korrekt voraus, dass die Schwerkraft schließlich zum Zentrum hin schwächer wird und im Zentrum ungefähr null ist. (Bearbeiten: Beachten Sie, dass bei einem genaueren Dichteprofil die Schwerkraft ziemlich konstant ist, bis Sie den Kern in einem Radius von 3500 km erreichen, gefolgt von einer pseudolinearen Abnahme auf Null in der Mitte).
Zweitens, obwohl das Feld schwächer wird, wird das Gravitationspotential immer noch tiefer. Gravitationszeitdilatation funktioniert wie folgt. Eine Uhr in einem stärkeren (negativeren) Gravitationspotential wird von einem Beobachter, der weiter außerhalb des Potentialtopfs liegt, langsamer laufen und umgekehrt. In diesem Fall befindet sich der Beobachter in der Nähe des Kerns tiefer im Potenzial. Wenn jemand zum Kern reist und dann zurückkommt, ist seine Uhr langsamer gelaufen als an der Oberfläche.
Die Größe des Effekts ist winzig für das Potenzial der Erde (ungefähr 350 Pikosekunden gehen pro im Kern verbrachte Sekunde verloren), aber die Größe des Effekts ähnelt der, die in den Atomuhren korrigiert wird, die von GPS-Satelliten im Orbit verwendet werden der Erde, die sich in einer Region mit niedrigerem (weniger negativem) Potential befinden als eine Uhr an der Oberfläche.
Q1. Bei einer gleichmäßigen sphärischen Verteilung können Sie nichts weiter vom Zentrum entfernt spüren, als Sie selbst sind. Dies wird direkt aus dem Gauß'schen Gravitationsgesetz abgeleitet. Im Zentrum spüren Sie überhaupt keine Nettogravitationskraft von der Erde. Stellen Sie sich das so vor: Die Erde zieht Sie aus allen Richtungen genau gleich hoch, sodass sich alle Kräfte aufheben.
Q2. Das Gravitationsfeld der Erde ist bei weitem nicht in der Nähe eines Schwarzen Lochs, daher ist der Zeitverdünnungseffekt sehr gering. Sie können sehr präzise Geräte herstellen, um die Wirkung zu messen, aber ein Mensch wird keinen signifikanten Unterschied feststellen können.