Verlangsamung der Zeit unter der Schwerkraft

Ich nenne das nicht Gravitationszeitdilatation, weil das aufgrund des Äquivalenzprinzips ein relativistischer Effekt ist. ... Aber GR sagt es nur durch Beschleunigung von Frames voraus und bringt so Relativität ein. Ich sehe in meinem Fall keine Relativität. Es ist nur die Raumzeitkrümmung.

Was Sie haben, ist die Gravitationszeitdilatation. Aber auch wenn Sie es nicht so nennen, in jeder statischen, gekrümmten Raumzeit mit Zeitdilatation zwischen stationären Uhren werden zumindest einige der Uhren notwendigerweise beschleunigt. Eine statische Raumzeit hat eine privilegierte zeitähnliche Richtung, in der die Geometrie gleich bleibt, und ihren metrischen Tensor$g$kann also in folgende Form gebracht werden:

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2\phi}\,\mathrm{d}t^2 + h_{ij}\,\mathrm{d}x^i\,\mathrm{d}x^j\text{,}$$ Wo $\phi$ist eine Funktion, die von beliebigen räumlichen Koordinaten abhängen kann $x^i$( $i = 1,2,3$), aber nicht an $t$. Eine in dieser Raumzeit stationäre Uhr hat vier Beschleunigungskomponenten $a^\alpha = g^{\alpha\beta}\phi_{,\beta}$. Wenn es zwischen stationären Uhren an verschiedenen Positionen eine gewisse Zeitdilatation gibt, dann $\phi$bezüglich der Raumkoordinaten nicht konstant ist, also zumindest einige der partiellen Ableitungen $\phi_{,\beta}$verschwinden nicht: Daher werden einige (vielleicht alle) stationären Uhren notwendigerweise beschleunigt.

Darüber hinaus erfüllt jede Theorie, in der Testteilchen im freien Fall Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit einnehmen, automatisch das schwache Äquivalenzprinzip.

GR erklärt es wie folgt: Angenommen, Sie fallen aus dem Weltraum auf die Erde, in einer höheren Position ist Ihre Geschwindigkeit nicht sehr hoch und Sie erfahren weniger Zeitdilatation (da die Zeitdilatation direkt von Ihrer Geschwindigkeit abhängt), während Sie kommen Näher an der Oberfläche wird Ihre Geschwindigkeit höher und Sie erleben mehr Zeitdilatation.

Nein. Stellen Sie sich zwei Beobachter vor, die in einem Gravitationsfeld stationär sind, einer über dem anderen, getrennt durch eine Höhe, entlang derer sich die Schwerkraft nicht wesentlich ändert (daher können wir das Gravitationsfeld als gleichmäßig annähern). Da sie beschleunigt werden, ist die Situation gleichbedeutend damit, sie außerhalb eines Gravitationsfeldes, aber in einer vertikal beschleunigenden Rakete zu haben.

Nehmen wir an, die Rakete ist durchsichtig. Dann sieht man, wie ein horizontaler Lichtstrahl, der in die beschleunigende Rakete eintritt, sich im Rahmen der Rakete nach unten krümmt. Also muss es das auch bei einem Gravitationsfeld tun. Mit ein paar Reflexionen des Lichtstrahls ist diese Situation identisch mit Ihrem Setup.

Wird dies nicht auch zu einer Verlangsamung der Zeit in einem Bereich mit höherer Gravitation führen (wo die Schwerkraft größer ist)?

Ja.

Kann dies ein tatsächlicher Grund für die Gravitationszeitdilatation sein oder nicht?

Art von. Anstatt den Lichtstrahl horizontal zu führen, wäre es viel einfacher gewesen, ihn vertikal zu führen. Angenommen, zwei Beobachter, die in einem Gravitationsfeld stationär sind, einer übereinander, durch eine Höhe getrennt, die klein genug ist, damit sich die Schwerkraft darüber nicht viel ändert, geben sich in regelmäßigen Abständen (gemäß ihrer Berechnung) Lichtimpulse. Diese Situation ist dann gleichbedeutend damit, dasselbe außerhalb eines Gravitationsfeldes, aber in einer vertikal beschleunigenden Rakete zu tun. Dann wird offensichtlich, dass die Unterseite Signale mit einer anderen Rate empfängt als die Oberseite sie sendet, da die Unterseite die Lichtimpulse einholt, während sie unterwegs sind.

Nochmals: Das ist nicht wirklich spezifisch für GTR. Das Argument wäre in jeder gekrümmten, statischen Raumzeit praktisch identisch, weil stationäre Beobachter in einer solchen Raumzeit beschleunigt werden. Wir können dann die Situation in einem lokalen Inertialsystem betrachten und alles andere folgt wie oben. Die wichtigste relativistische Erkenntnis ist einfach, dass Gravitationsfelder in Inertialsystemen verschwinden.

Sogar GR sagt voraus, dass eine Uhr in hoher Schwerkraft langsamer läuft, gibt aber keinen Grund dafür an.

Die übliche Darstellung der Argumentation von GTR bezüglich der Gravitationszeitdilatation beinhaltet einen Aufbau, der Ihrem moralisch äquivalent ist, außer dass er meistens einfacher dargestellt wird, da es einfacher ist, Lichtstrahlen in die gleiche Richtung wie die Beschleunigung zu bringen. Es hat nichts mit Geschwindigkeit zu tun, die beim Fallen gewonnen wird, wie Sie zu denken scheinen.

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Sie haben geschrieben, dass der Boden Signale mit einer anderen Rate empfängt. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass die Schwerkraft keine Änderungsgeschwindigkeit des Lichts verursacht, wenn das Licht vertikal ist. Bitte erkläre.

Der einzige Unterschied ist die Ausrichtung der Lichtuhr. Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Trägheitssystem gleich, und in dem Trägheitssystem, das sich augenblicklich mit der Lichtuhr mitbewegt (freier Fall aus der Ruhe), beschleunigen beide Enden der Lichtuhr nach oben. Somit beschleunigt die Unterseite in Richtung eines Abwärtsimpulses und die Oberseite beschleunigt von einem Aufwärtsimpuls weg, sodass die Strecke, die diese Impulse zurücklegen, unterschiedlich ist.

Wie die Situation im stationären Rahmen aussieht, unterscheidet sich die Koordinatenlichtgeschwindigkeit oben auf der Lichtuhr von der Koordinatenlichtgeschwindigkeit unten. Mit einer expliziten radialen Koordinate ist die obige Metrik (ohne$c=1$Einheiten) ist

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2\phi}\,c^2\,\mathrm{d}t^2 + h_{rr}\,\mathrm{d}r^2 + \{\text{other spatial terms}\}\text{,}$$ damit vertikales Licht hat $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right| = c\frac{e^{\phi}}{\sqrt{h_{rr}}}\text{.}$$ Da hat Topteil richtig Zeit $\tau_\text{top}$mit $\mathrm{d}\tau_\text{top} = e^{\phi_\text{top}}\,\mathrm{d}t$und der untere Teil hat richtige Zeit $\tau_\text{bot}$mit $\mathrm{d}\tau_\text{bot} = e^{\phi_\text{bot}}\,\mathrm{d}t$, normalerweise mit $\phi_\text{top}\neq\phi_\text{bot}$, werden sie mit der Zeit, die vertikale Lichtimpulse benötigen, um dasselbe zu durchqueren, nicht einverstanden sein $r$-Koordinatenintervall.

Übrigens sagt GTR voraus, dass für schwache Felder (geeignet in der Nähe unserer Erde)$h_{rr} \approx e^{-\phi}$Und$\phi\approx\Phi/c^2$, Wo$\Phi$ist das Newtonsche Gravitationspotential. Aber das Obige hält die Diskussion allgemein für jede statische Raumzeit, ob sie mit dem übereinstimmt, was GTR für die Situation vorhersagt oder nicht.

Ich habe nicht verstanden, wie der Fall mit zwei Beobachtern dem in einer Rakete außerhalb des Weltraums ähnlich ist, wie Sie gesagt haben.

In einem lokalen Inertialsystem beschleunigen die beiden Beobachter nach oben. Die Bedingung, dass sich das Gravitationsfeld über die relevante Höhe nicht wesentlich ändert, bedeutet, dass wir ihre Beschleunigung als gleich betrachten können. Das ist die Beschleunigung der Rakete, aber Sie können die Rakete vergessen, wenn Sie möchten, und einfach dieselbe Beschleunigung in einem lokalen Trägheitssystem betrachten.

Ich nenne das nicht Gravitationszeitdilatation, weil das aufgrund des Äquivalenzprinzips ein relativistischer Effekt ist.

Beachten Sie eines: Das Äquivalenzprinzip besagt, dass die Schwerkraft nach unten der Beschleunigung nach oben entspricht. Nun ging Einstein davon aus, die Allgemeine Relativitätstheorie zu formulieren, in der die Gravitationsbeschleunigung durch die Raum(zeit)krümmung ersetzt wird . In der klassischen Mechanik haben Sie also die Schwerkraft als Beschleunigung und in GR die Schwerkraft als Krümmung. Wenn wir also diese Definition als wahr annehmen, haben wir in beiden Fällen eine gravitative Zeitdilatation

Wie auch immer, zurück zu deiner Frage:

Die obige Uhr (das ist die Uhr im rechten Teil des Bildes) ist von der Erde entfernt und erfährt weniger Schwerkraft. Daher wird der Lichtstrahl weniger gebeugt und erreicht das empfangende Ende schneller.

Wird dies nicht auch zu einer Verlangsamung der Zeit in einem höheren Gravitationsbereich führen?

Sieht so aus :) So erklärt GR die Zeitdilatation "grafisch".

Wenn 1 Sekunde als Zeit definiert wird, die der Lichtstrahl benötigt, um vom Sender zum Empfänger zu gelangen, und der Lichtstrahl der höhergestellten Uhr kürzer braucht, um von einem zum anderen zu gelangen, dann - wie Sie sagen - diese Uhr würde schneller ticken als die niedriger platzierte Uhr. Daher ist 1 Sekunde auf der Erde eine längere Zeit im Vergleich zu 1 Sekunde über der Erde. Die höher platzierte Uhr geht also schneller und die niedriger platzierte Uhr langsamer .

Wird dies nicht auch zu einer Verlangsamung der Zeit in einem Bereich mit höherer Gravitation führen (wo die Schwerkraft größer ist)? Kann dies ein tatsächlicher Grund für die Gravitationszeitdilatation sein oder nicht?

Ja, genau das passiert. Aus diesem Grund muss GPS die unterschiedlichen Zeiten im Orbit und auf der Erdoberfläche berücksichtigen.

Ergänzung: Bezüglich der Kommentare zu möglichen Experimenten, das ist auch eine Möglichkeit, die Wirkung zu messen.