Wie ist eine starke Zeitdilatation mit schwachen Gezeitenkräften vereinbar?

Der einfachste Grund dafür ist die Tatsache, dass die Gravitationszeitdilatation in führender Ordnung (der Einfachheit halber im Zero-Spin-Fall) durch den Faktor bestimmt wird$\sqrt{1 -\frac{2GM}{c^{2}r}}$. Um unsere Messungen zu vereinfachen, schreiben wir nun die Masse in Bezug auf den Radius des Ereignishorizonts um:

Nun ist unser Zeitdilatationsfaktor:$\sqrt{1 -\frac{r_{0}}{r}}$

Unterdessen erhalten wir für einen Frontalkurs mit dem Schwarzen Loch und in führender Ordnung, dass die Radialbeschleunigung und die Gezeitenkräfte proportional dazu sind$\frac{GM}{r^{2}} = \frac{r_{0}c^{2}}{2r^{2}}$. Beachten Sie, wann$r \rightarrow \infty$, haben Sie den Zeitdilatationsfaktor, der gegen 1 tendiert, und die Gezeitenkräfte, die gegen Null tendieren, wie Sie es erwarten würden.

Aber hier ist das Ding. Wenn ich meine Entfernung zum Schwarzen Loch verdoppele, also$r \rightarrow 2r$, dann wird die Kraft um den Faktor 4 reduziert, während die Zeitdilatation viel langsamer reduziert wird${}^{1}$. Das bedeutet also, dass es durchaus möglich ist, dass die Zeitdilatation einen starken Effekt hat, während die Gezeitenkräfte noch schwach sind, nur weil der Zeitdilatationseffekt langsamer abfällt.

${}^{1}$sagen wir ich gehe aus$2_{r_{0}}$Zu$4 r_{0}$, dann ändert sich der Zeitdehnungsfaktor von$\sqrt{\frac{1}{2}}$Zu$\sqrt{\frac{3}{4}}$, für einen Änderungsfaktor von$\frac{1}{\sqrt{3}}$, was sicherlich ein viel weniger aggressiver Faktor ist als das Teilen durch 4.

Die Zeit verlangsamt sich in Gegenwart starker Gravitationsfelder

Nicht das Gravitationsfeld bestimmt die Zeitdilatation, sondern das Gravitationspotential. Die Newtonsche Annäherung ist hier wirklich nicht korrekt, aber verwenden wir sie trotzdem zur Einsicht:

• Das Potential fällt wie ab$1/r$mit Abstand$r$.

• Das Feld fällt wie ab$1/r^2$.

• Gezeiteneffekte gehen wie$1/r^3$.

Um ein großes Potenzial und kleine Gezeiteneffekte zu erhalten, möchten Sie eindeutig ein großes$r$. Das ist es, was Sie mit einem supermassereichen Schwarzen Loch haben, da sein Ereignishorizont groß ist.