Sind Gravitationskraft und Gravitationszeitdilatation proportional?

Teilchen in Gravitationsfeldern unterliegen der Gravitationszeitdilatation. Je näher ein Teilchen an einer Gravitationsquelle ist, desto langsamer läuft seine Uhr. Ich würde gerne mehr über die Beziehung zwischen Gravitation und gravitativer Zeitdilatation erfahren.

Um einen ungefähren Eindruck zu bekommen, habe ich die Newtonsche Gravitationsgleichung verwendet (die für schwache Felder verwendet werden kann, und ich fand heraus, dass Gravitation und Zeitdilatation (ungefähr) proportional sind: Kann dieses Ergebnis auf der Basis von Einsteins Feldgleichung bestätigt werden (vielleicht sogar für stärkere Felder)?

dτ = Eigenzeit eines Teilchens im Gravitationsfeld der Erde, dt = Eigenzeit eines Beobachters im Unendlichen, rs = Schwarzschildradius der Erde, r = Abstand Teilchen – Erdmittelpunkt

Gravitationszeitdilatation:

D τ D T = 1 − R S R ≈ 1 − R S 2 R

Zeitdilatation (Differenz):

1 − D τ D T ≈ R S 2 R = G M C 2 R

Gravitationskraft (Newtonsche Gleichung):

F = G M M R 2

G R A v ich T A T ich Ö N A l F Ö R C e T ich M e D ich l A T ich Ö N ( D ich F F e R e N C e ) ≈ G M M R 2 G M C 2 R = M C 2 R = R e S T e N e R G j ( Ö F T H e P A R T ich C l e S u B J e C T T Ö T ich M e D ich l A T ich Ö N ) D ich S T A N C e ( Ö F T H e P A R T ich C l e )

(Infolgedessen wäre die Zeitdilatation ungefähr die Gravitation, dividiert durch die Ruheenergie des Teilchens, multipliziert mit seiner Entfernung.)

Hallo @Qmechanic, vielen Dank für Ihre Informationen, und ich habe die von Ihnen angegebene Seite gelesen. - Ich weiß nicht, warum Sie denken, dass meine Frage in diese Kategorie fällt. Meine Frage ist im Titel klar angegeben, und es gibt keine andere Frage: Gibt es eine Proportionalitätsbeziehung zwischen Gravitationskraft und Gravitationszeitdilatation? Ich könnte meine Frage sogar ohne die von mir bereitgestellten Formeln umformulieren (wenn Sie dies wünschen). Ich brauche nur die Informationen über Einstein-Feldgleichungen, mehr nicht.
Für zukünftige Referenzen bitte auch keine Fragen löschen und neu posten. Wenn sie nicht gut ankommen, sollten Sie sie stattdessen bearbeiten, um sie zu verbessern.
@David Z♦: OK, ich habe die vorherige Frage wiederhergestellt. Vielen Dank für diesen formellen Kommentar, ich hoffe, ich habe ihn behoben. Ich würde gerne Ihren Kommentar zum Thema meiner Frage erfahren? Aufrichtig

Antworten (2)

Wenn Sie sich meine Antwort auf Ableiten eines Schwarzschild-Radius unter Verwendung relativistischer Masse ansehen, erörtere ich, wie die Annäherung an schwache Felder uns eine ungefähre Metrik für das Newtonsche Gravitationspotential liefert ϕ :

D S 2 ≈ − ( 1 + 2 ϕ C 2 ) C 2 D T 2 + 1 1 + 2 ϕ / C 2 ( D X 2 + D j 2 + D z 2 )

Um die Zeitdilatation daraus zu extrahieren, nehmen wir ein stationäres Objekt, also D X = D j = D z = 0 und verwenden Sie die Beziehung zwischen dem Linienelement und der Eigenzeit D S 2 = − C 2 D τ 2 zu bekommen:

D τ D T ≈ 1 + 2 ϕ C 2

Um dies zu verdeutlichen, nehmen Sie zwei Beobachter A Und B mit Gravitationspotentialenergien ϕ A Und ϕ B , dann sagt uns die Gleichung, dass die von aufgezeichneten verstrichenen Zeiten A Und B sind verwandt durch:

D T A D T B ≈ 1 + 2 ( ϕ A − ϕ B ) C 2

Diese Gleichung ist nur gültig, wenn 2 Δ ϕ / C 2 ≪ 1 , in diesem Fall können wir die Binomialentwicklung verwenden:

D T A D T B ≈ 1 + Δ ϕ C 2 + höhere Laufzeiten

und die höheren Terme fallen lassen und neu anordnen:

D T A − D T B D T B ≈ Δ ϕ C 2

Und das ist in etwa das, was du beschreibst. Denken Sie daran, dass die potentielle Energie ϕ ist die potentielle Energie pro Masseneinheit, also wenn wir die Ober- und Unterseite der rechten Seite mit der Masse multiplizieren, erhalten wir die potentielle Gesamtenergie Φ wir bekommen:

D T A − D T B D T B ≈ Δ Φ M C 2

das ist in der Tat das Gravitationspotential dividiert durch die Ruheenergie.

Dies ist aber eine Näherung, die (zuverlässig) nur in der schwachen Feldgrenze funktioniert. Zufällig funktioniert der schwache Feldausdruck für alle Werte von R in der Schwarzschild-Metrik, aber wie in der verknüpften Frage besprochen, ist dies ein zufälliger Zufall, auf den man sich nicht verlassen kann.

Schöne, interessante Erklärungen, aber Sie sind weit davon entfernt, meine Frage zu beantworten! Sie haben mir bestätigt, dass meine überschlägige Berechnung mit der Newtonschen Gleichung für schwache Felder annähernd richtige Ergebnisse liefert. Ich weiß das, auch wenn ich es nicht wie Sie mit Schwarzschild-Metriken erklären könnte. Aber meine Berechnungen (und auch Ihre) führen zu der Vorstellung, dass die Gravitationskraft und die Gravitationszeitdilatation proportional sind, mit einem Proportionalitätsfaktor, der gleich der Ruheenergie des Teilchens dividiert durch die Entfernung ist. - Sind sie verhältnismäßig oder nicht?
@Moonraker: Ich dachte, das wäre aus meiner letzten Gleichung ersichtlich. In der schwachen Feldgrenze ist die relative Zeitdilatation proportional zum Gravitationspotential. Dies gilt jedoch nur im schwachen Feldlimit, sodass es für die Berechnung der Zeitdilatation geostationärer Satelliten funktioniert, nicht jedoch für die Berechnung der Zeitdilatation in der Nähe eines Schwarzen Lochs.
Meine Frage dient nicht technologischen Anwendungen, sondern der Erforschung der Natur der Gravitationszeitdilatation und der Schwerkraft (selbst in stärkeren Feldern). Ihre endgültige Näherungsgleichung enthält nicht mehr Einsicht als meine endgültige Näherungsgleichung, Newtons Gleichung ist für schwache Felder geeignet.
Ich schätze, dass Sie die Schwarzschild-Näherung gezeigt haben, aber es könnte andere Erkenntnisse geben, die sich aus Einsteins Feldgleichung ableiten, die etwas Licht auf diese angebliche Proportionalität werfen. Masse erzeugt Gravitation und Masse erzeugt Gravitationszeitdilatation - kann es eine direkte Beziehung zwischen beiden geben?
@Moonraker: Ich muss gestehen, dass ich nicht verstehe, worauf du hinauswillst. Die lineare Proportionalität ist ein Schwachfeldphänomen und eine zwangsläufige Folge der Tatsache, dass GR in der Schwachfeldgrenze die Newtonsche Gravitation reproduzieren muss. Außerhalb der schwachen Feldgrenze hängt die Zeitdilatation offensichtlich mit der Masse zusammen (genauer gesagt mit dem Spannungs-Energie-Tensor), aber denken Sie daran, dass Sie ein beliebiges Koordinatensystem auswählen können und die Zeitdilatation von den von Ihnen gewählten Koordinaten abhängt, daher ist die Beziehung a kompliziert.
Hängt die Gravitationszeitdilatation vom gewählten Koordinatensystem ab?
@Moonraker: das kommt darauf an. Die Eigenzeit ist eine Invariante, die Koordinatenzeit jedoch nicht. Ich nehme an, wir sollten die Zeitdilatation als das Verhältnis der Eigenzeiten definieren, in welchem ​​​​Fall das Verhältnis von den Koordinaten unabhängig ist.

Sie müssen nicht verwandt sein.

Wenn Sie beispielsweise eine hohle kugelförmige Hülle aus Materie haben, dann ist das Innere der Kugel ein flacher Raumzeitbereich und hat die gleiche Zeitausdehnung wie die Hülle.

Aber da das Innere flach ist, gibt es keine Gravitationskraft innerhalb der Schale. Dennoch gibt es eine Zeitdilatation.

Sind Gravitationskraft und Gravitationszeitdilatation proportional?
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