Ableitung eines Schwarzschild-Radius mit relativistischer Masse

Die Newtonsche Ableitung ist überhaupt keine Ableitung. Dies ist eine zufällige Folge der Definition der Schwarzschild-Radialkoordinate. Aus dem Versuch, den Schwarzschild-Radius auf diese Weise abzuleiten, kann keine physikalische Erkenntnis gewonnen werden.

Wenn wir mit einer flachen Raumzeit beginnen, lautet die Metrik:

Wenn wir nun ein schwaches Gravitationsfeld einführen, wobei schwach das Gravitationspotential pro Masseneinheit bedeutet$\Phi \ll c^2$, dann können wir eine Näherung verwenden, die als schwache Feldgrenze bezeichnet wird, um die Krümmung zu beschreiben, die dem schwachen Gravitationsfeld entspricht. In dieser Näherung wird die Metrik zu:

Denken Sie daran, dass diese Näherung nur gültig ist, wenn$\Phi \ll c^2$, aber wenn wir dies ignorieren und trotzdem einen Fehler machen, würden wir daraus schließen, dass es eine Koordinatensingularität gibt, wenn:

oder:

Beide Seiten dieser Gleichung sind eine Energie pro Masseneinheit, und das Wiedereinsetzen der Masse führt zu einem möglicherweise bekannteren Ergebnis:

Dies ist genau das Argument, das im klassischen Ansatz verwendet wird, um zu berechnen, wann die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit erreicht.

Wenn wir die Schwachfeldgleichung (1) in Polarkoordinaten umschreiben:

Ersetzen Sie dann das Gravitationspotential durch den Newtonschen Ausdruck:

wir erhalten etwas, das wie die Schwarzschild-Metrik aussieht:

Sondern die Newtonsche Radialkoordinate$R$ist nicht dasselbe wie die Schwarzschild-Radialkoordinate$r$. Ersteres ist die Entfernung, die vom zentralen Punkt zu der mit gekennzeichneten Position gemessen wird$R$während letzterer der Umfang eines Kreises ist, der durch die mit gekennzeichnete Position geht$r$geteilt durch$2\pi$. Es passiert jedoch einfach so, dass die Art und Weise, wie die Schwarzschild-Radialkoordinate definiert ist, bedeutet, dass, wenn wir ersetzen$R$von$r$wir erhalten ein exaktes Ergebnis:

Und deshalb liefert die Newtonsche Ableitung das richtige Ergebnis für$r_s$. Es ist nur ein Zufall und sollte keinesfalls als Ableitung angesehen werden.

John Rennie, ich denke, wir sollten klarstellen, dass Sie zuerst die Transformation durchführen, wenn Sie von der zweiten Metrik zur ersten gehen$dx^2+dy^2 + dz^2=dr^2 + r^2 d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$, wodurch Sie zur Metrik gelangen

$ds^2= -(1+2\phi) dt^2 + \frac{1}{1+2\phi}\left(dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2\right)$

Dann, um die Koeffizienten loszuwerden$r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$, müssen wir ersetzen$r$mit$R$, Wo$r^2(1+\phi)=R^2$. Durch einen handlichen Zufall dann wenn$\phi= -C/r$dann stellt sich das heraus$dr=dR\left(1+\frac{1}{2}\phi - \frac{1}{2}\phi+O(\phi^2)\right)= dR\left(1+O(\phi^2)\right)$In linearer Reihenfolge kommen wir also zu Ihrer dritten Metrik.

Das ist interessant, aber ich glaube, das ist ein Zufall.

Im Wesentlichen wird die relativistische kinetische Energie mit dem Lorentz-Gammafaktor und dem Impuls gefunden:

$E_K[_R] = \int v dp = \int v d(m\gamma v) = ......$ $E_K[_R] = m\gamma c^2 - E_0$

$E_0 = mc^2$

Finden Sie Gamma mithilfe der binomialen Annäherung oder indem Sie die ersten beiden Terme der Taylor-Entwicklung für die reziproke Quadratwurzel verwenden .

$\gamma = 1 + 1/2 v^2/c^2$

Sub$\gamma$hinein$E_K[_R]$

$E_K[_R]$=$mc^2(1 + 1/2 v^2/c^2)$-$mc^2$

Reduziert auf$E_K[_R] = 1/2mv^2$

Daher:$E_K[_R]$=$E_K$.

Die Form der SC-Metrik muss sich ändern, wenn man im Gegensatz zur klassischen Version relativistisch korrekte Energieerhaltung anwenden will. Es geht nicht nur darum, den Skalierungsabstand neu zu definieren. Insbesondere müssen Sie (1-rs/r) durch (1-rs/2r)^2 ersetzen. Die resultierende Metrik ist keine Vakuumlösung, aber ungefähr so ​​in der schwachen Feldgrenze und der Krümmungsskalar ist immer noch Null. Ich bin kein Experte für GR, aber diejenigen, mit denen ich gesprochen habe, lehnen diese Formulierung aus verschiedenen Gründen ab, die ich nicht vollständig verstehe. Ich finde die neue Metrik faszinierend, weil sie eine „kosmologische Variable“ in den metrischen Tensor einführt, sodass Sie keine Ad-hoc-Konstante benötigen, um die Expansion des Universums zu berücksichtigen. Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob es zu Hubbles Daten passt. Mehr dazu finden Sie unter:https://www.thenakedscientists.com/forum/index.php?topic=69595.0