Unterscheidet sich die Gravitationszeitdilatation von anderen Formen der Zeitdilatation?

Nein, die gravitative Zeitdilatation unterscheidet sich nicht von anderen Formen der Zeitdilatation. Sie stammen alle aus der Invarianz des Linienelements .

Wenn wir einige Koordinaten wählen,$x^i$, dann ist das Linienelement gegeben durch:

$$ds^2 = g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$$

wo die Matrix$g_{ab}$heißt metrischer Tensor . Sowohl in GR als auch in SR ist das Linienelement eine Invariante, dh alle Beobachter in allen Koordinatensystemen berechnen den gleichen Wert für$ds$.

Angenommen, ich verwende einen Satz von Koordinaten$(t, x, y, z)$um Ihr Linienelement mit Gleichung (1) zu berechnen. Bleiben wir erstmal bei SR, wo$g$ist nur die Minkowski-Metrik , also bekomme ich (ich ziehe den üblichen Einstellungstrick$c = 1$):

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Nehmen wir nun an, Sie führen dieselbe Berechnung in Ihren Ruherahmenkoordinaten durch$(t', x', y', z')$. Per Definition in Ihrem Ruhesystem$dx' = dy' = dz' = 0$, also würdest du rechnen:

$$ds^2 = -dt'^2 \tag{2}$$

Da müssen wir uns beide auf den Wert einigen$ds^2$wir können die rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) gleichsetzen und erhalten:

$$-dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = -dt'^2$$

Wenn einer von$dx$,$dy$oder$dz$sind ungleich Null, dh wenn Sie sich in meinem Koordinatensystem in irgendeiner Weise bewegen, bedeutet dies Folgendes:

$$dt \ne dt'$$

und daher stimmen unsere Messungen der verstrichenen Zeit nicht überein. Aus diesem Grund erhalten wir Zeitdilatation. In einführenden Arbeiten zu SR werden Sie die Zeitdilatation sehen, die unter Verwendung verschiedener Anordnungen von Lichtstrahlen und Spiegeln berechnet wird, aber dies ist der grundlegende Grund dafür, dass sie auftritt.

Ich habe das Beispiel von SR oben verwendet, weil der metrische Tensor diagonal ist und alle Elemente es sind$-1$oder$1$, daher ist es einfach, den Ausdruck für auszuschreiben$ds^2$. In GR ist die Metrik möglicherweise nicht diagonal (es ist oft möglich, Koordinaten dort auszuwählen, wo sie sich befinden), und die Werte der Elemente in der Metrik sind normalerweise Funktionen der Position. Die Arbeitsweise ist jedoch genau die gleiche. Damit würden wir am Ende schlussfolgern$dt \ne dt'$genau so.

Da Sie speziell nach Zeitdilatation und Zentrifugalkraft gefragt haben, lassen Sie uns die Berechnung explizit durchführen. Angenommen, Sie wirbeln mit Geschwindigkeit um einen Drehpunkt herum$v$in einem Radius$r$und ich beobachte dich von der Angel aus. Ich werde Ihre Position mit Polarkoordinaten messen$(t, r, \theta,\phi)$, und in Polarkoordinaten ist das Zeilenintervall gegeben durch (Ich gehe$c$diesmal in der Gleichung):

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Beachten Sie, dass dies nur der flache Raum ist, dh die Minkowski-Metrik in Polarkoordinaten. Wir verwenden die flache Raummetrik, weil es keine Massen gibt, um die Raumzeit zu krümmen (wir gehen davon aus, dass Sie und ich auf Diät waren :-). Wir können unsere Achsen so wählen, dass Sie sich in der Ebene drehen$\theta = \pi/2$, und Sie bewegen sich mit konstantem Radius, also beides$dr$und$d\theta$sind null. Die Metrik vereinfacht sich zu:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + r^2d\phi^2$$

Wir können dies weiter vereinfachen, weil Sie sich in meinem Rahmen mit Geschwindigkeit bewegen$v$Also$d\phi$wird gegeben von:

$$d\phi= \frac{v}{r} dt$$

und deshalb:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 = (v^2 - c^2)dt^2$$

In deinem Rahmen bist du in Ruhe, also$ds^2 = -c^2dt'^2$, und dies mit meinem Wert für gleichzusetzen$ds^2$gibt:

$$-c^2dt'^2 = (v^2 - c^2)dt^2$$

oder:

$$dt'^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})dt^2$$

oder:

$$dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma}$$

was Sie sofort als den üblichen Ausdruck für Zeitdilatation in SR erkennen sollten. Beachten Sie, dass die Zentripetalkraft/Beschleunigung in diesem Ausdruck nicht erscheint. Die Zeitdilatation ist nur auf unsere relativen Geschwindigkeiten zurückzuführen und nicht auf Ihre Beschleunigung zum Drehpunkt.

Da ich schließlich gesagt habe, dass es keinen Unterschied zwischen der Gravitation und anderen Formen der Zeitdilatation gibt, sollte ich dies rechtfertigen, indem ich beweise, dass die obige Berechnung der speziellen Relativitätstheorie auf die gleiche Weise für die kombinierte Gravitations- und geschwindigkeitsbezogene Zeitdilatation funktioniert. Insbesondere berechnen wir die Zeitdilatation für ein Objekt im Orbit um ein Schwarzes Loch. Dies stellt sich als unkompliziert heraus und zeigt, wie leistungsfähig diese Technik ist. Alles, was wir wissen müssen, ist, dass die Metrik für ein Schwarzes Loch ist :

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{c^2r}}+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

Wir gehen vor wie vor dem Setzen$dr = d\theta = 0$und$\theta = \pi/2$bekommen:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + r^2 d\phi^2$$

Die Umlaufgeschwindigkeit beträgt:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

und wie zuvor können wir umschreiben$d\phi$wie:

$$d\phi = \frac{v}{r}dt = \frac{\sqrt{GM/r}}{r} dt$$

und das Einsetzen in unsere Metrik ergibt:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2$$

Wie zuvor haben wir im Ruhesystem des umlaufenden Körpers$ds^2 = -c^2dt'^2$, und gleichzusetzen mit dem obigen Wert für$ds^2$gibt:

$$-c^2dt'^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2$$

was vereinfacht zu:

$$dt' = \sqrt{1-\frac{3GM}{c^2r}}dt = \sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}dt$$

wo$r_s$ist der Schwarzschild-Radius:$r_s = 2GM/c^2$.

Und beruhigenderweise gibt Wikipedia genau dieses Ergebnis für die Zeitdilatation eines Objekts auf einer Kreisbahn an .

Das ist der Punkt, den ich dir mitnehmen möchte. Sobald Sie das Grundprinzip verstanden haben, dass das Linienelement eine Invariante ist, können Sie dies verwenden, um die Zeitdilatation für jedes Objekt zu berechnen, ob in einem Gravitationsfeld oder nicht, und ob es sich bewegt oder nicht. Tatsächlich öffnet das Verständnis dieses Grundprinzips, wie ich gerade demonstriert habe, die Tür zum Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie sowie der Speziellen Relativitätstheorie. So wichtig ist es!

Sicher, Kreisbeobachter beobachten die Zeitdilatation. Betrachten Sie die Weltlinie eines kreisförmigen Beobachters in der flachen Raumzeit. Wir wissen sofort, dass die räumlichen Koordinaten eines solchen Beobachters relativ zu einem "stationären" Beobachter sein werden

$$\begin{align} x&= r\cos\left(\omega\,\tau\right)\\ y&= r\sin\left(\omega\,\tau\right) \end{align}$$

für einige Parameter$\tau$. Nennen wir es einfach die richtige Zeit.

Dann erinnert man sich daran$-1 = -{\dot t}^{2} + {\dot x}^{2} +{\dot y}^{2} + {\dot z}^{2}$, für diesen Pfad haben wir:

$$\begin{align} -1 &= -{\dot t}^{2} + r^{2}\omega^{2}\sin^{2}\left(\omega\,\tau\right) + r^{2}\omega^{2}\cos^{2}\left(\omega\,\tau\right)\\ 1&= {\dot t}^{2} - r^{2}\omega^{2}\\ \dot t &= \sqrt{1 + r^{2}\omega^{2}}\\ t &= \tau\sqrt{1 + r^{2}\omega^{2}} \end{align}$$

Vergleichen Sie dies mit der GR-Formel für die Gravitationszeitwahl (an einem stationären Punkt)$t = \tau/\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}$

Also, wenn Sie in einem Kreis mit Radius umkreisen$R$Im leeren Raum haben Sie die äquivalente Zeitausdehnung, um in einem Radius stationär gehalten zu werden$r$von einem gravitativen Massekörper$M$Wenn Sie mit Winkelgeschwindigkeit drehen:

$$\begin{align} 1 + R^{2}\omega^{2} &= \frac{rc^{2}}{rc^{2} - 2GM}\\ R^{2}\omega^{2} &= \frac{2GM}{rc^{2} - 2GM}\\ \omega &= \frac{1}{R}\sqrt{\frac{2GM}{rc^{2} - 2GM}} \end{align}$$

Wie "gleichwertig" das ist, ist natürlich umstritten, da sich alles andere anders anfühlen würde. Aber Sie können sicherlich die gleiche Zeitdilatation kinetisch erhalten.

Die Schwerkraft ist eine Trägheitskraft, wobei der Bezugsrahmen die Raumzeit ist. Gravitationszeitdilatation und Zeitdilatation aufgrund des beschleunigten Rahmens sind also beide gleich.

Und ja, Sie können die gleiche Art von Zeitdilatation mithilfe der Zentrifugalkraft nachbilden.

Nun, die Antwort ist "nein" . Zeitdilatation ist immer derselbe Effekt und liegt an der Geschwindigkeit! Wenn sich ein Objekt in einem Gravitationsfeld befindet, fällt es tatsächlich. Auch wenn Sie auf Ihrem Stuhl sitzen, fallen Sie in das Gravitationsfeld der Erde, sonst würden Sie wie in der ISS in der Luft schweben! Lassen Sie uns die Faktoren für die Zeitdilatation der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie gleichsetzen, wo$R_S$ist der Schwarzschild-Radius:

$$\begin{equation} \Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{R_{S}}{r}}}\label{eq:time dilation compared-1-1} \end{equation}$$ somit $\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{R_{S}}{r}\Longrightarrow v^{2}=\frac{2GM}{r}\label{eq:time dilation compared-2-1}$und $v=\sqrt{2rg}=\sqrt{2V}$, wo $V$ist das Gravitationspotential. Wir zeigen daher die Beziehung, die Geschwindigkeit und Schwerkraft in der relativistischen Zeitdilatation verbindet (sowohl in SR als auch in GR): $$\begin{equation} v=\sqrt{2V} \end{equation}$$ Die Vorstellung, dass die Zeitdilatation immer auf Geschwindigkeit zurückzuführen ist, erklärt auch, warum wir in künstlicher Schwerkraft (z. B. in einem hypothetischen vertikal beschleunigenden Weltraumaufzug) sowohl das Gefühl der natürlichen Schwerkraft „als auch“ der Zeitdilatation erleben würden, obwohl keine natürliche Schwerkraft vorhanden ist.
Wenn Sie Schwerkraft und Relativitätstheorie lieben, würde ich hinzufügen, dass die gekrümmte Raumzeit quantitativ exakte Ergebnisse liefert, aber "qualitativ" (glaube ich) ein falsches Konzept ist. Es gibt keine gekrümmte Raumzeit, sondern ein flüssiges Quantenvakuum. Die relativistischen Effekte sind die gleichen: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01423134v6

Interessanter Thread, stellen Sie sich den folgenden Test zur Zeitdilatation vor.

1. Zwei synchronisierte Atomuhren, eine auf der Erde, die andere in einem Fahrzeug, das mit Astronauten zum Mond fliegt. Die Astronauten melden ihren Uhrenstatus zur Erde.

2. Vier Messpunkte, Vergleich der Uhren:

   A. Vor Reiseantritt (zeigt dieselbe Uhrzeit)

   B. Nach der vollen Beschleunigung beginnt die Reise im Weltraum zum Mond.

   C. Vor dem Bremsen (vor dem Abbremsen), wenn Sie sich dem Mond nähern.

   D. Nach der Landung auf dem Mond.

Ich bin zu 99,9% davon überzeugt, dass es am Punkt B einen signifikanten Zeitunterschied zwischen den Uhren geben wird. Zwischen Punkt B und C passiert grundsätzlich nichts (keine Zeitdilatation). Nach Punkt D ist ein weiterer signifikanter Zeitunterschied aufgetreten.

Mit anderen Worten, ich würde meinen Hut essen, wenn die Zeitdilatation nicht immer durch eine Kraft (Beschleunigung, Verzögerung, Nähe zu massiver Materie) verursacht wird, die auf Materie einwirkt, und niemals passieren kann, wenn man nur im "leeren" Raum kreuzt. Myonen, ja, sie leben länger wegen der Verzögerung durch die Reibung in der Erdatmosphäre (die den gleichen Zeitdehnungseffekt hat wie die Beschleunigung).

Das Raumzeitkonzept funktioniert als rein mathematischer Rahmen, ist aber wie die Fokussierung auf einen Schatten in einem Raum mit einem sich bewegenden Objekt.

Die Zeitdilatation ist ein physikalisches Phänomen, bei dem ein Kraftfeld die Teilchen eines Systems verlangsamt. Wenn Partikelwechselwirkungen mit geringerer Frequenz stattfinden, wird die Zeit effektiv verlangsamt. Die Mechanik davon ist unbekannt. Die Zeit entsteht aus diesem Effekt, sie „schwebt“ nicht als Dimension im Raum herum.