Wikipedia gibt die Formel für die Gezeitenheizung an$\dot{E}$wie

$$\dot{E}=-\text{Im}(k_2)\frac{21}{2}\frac{R^5n^5e^2}{G}\tag{1}$$ wo$R$ist der Radius des Satelliten,$n$ist etwas Seltsames, das man seine mittlere Orbitalbewegung nennt , und$e$ist die Exzentrizität seiner Umlaufbahn. Diese Darstellung gefällt mir eigentlich nicht. Eine andere Möglichkeit, es umzuschreiben, verwendet die Beziehung $$\mu=a^3n^2\implies n^5=\left(\frac{Gm_p}{a^3}\right)^{5/2}$$ wo$\mu\equiv Gm_p$, mit$m_p$die Masse des Planeten. Daher finden wir das $$\dot{E}=-\text{Im}(k_2)\frac{21}{2}\frac{G^{3/2}m_p^{5/2}R^5e^2}{a^{15/2}}\tag{2}$$ Das ist irgendwie hässlich, aber es wird los$n$, und so sind alle anderen Variablen entweder Eigenschaften der Mondumlaufbahn oder physikalische Eigenschaften des Mondes oder Planeten.

Berechnung der zweiten Liebeszahl

Ich habe das ignoriert$k_2$- die zweite Liebeszahl genannt - weil es etwas schwierig zu berechnen ist. Ich ignoriere es normalerweise vollständig und ersetze es durch etwas wie$0.02$oder$0.03$zum$\text{Im}(k_2)$für Satelliten wie unseren Mond (siehe 1 und 2 ). Aber wenn du es wirklich berechnen willst, mach weiter.

Meine Referenz ist Hussman et al. (2010) , insbesondere$\text{Eq. }32$:

$$k_2=1.5\left(1+\frac{19}{2}\frac{\mu_c}{\rho gR_s}\right)^{-1}$$ für Steifigkeit$\mu_c$, Oberflächengravitation$g$und Radius$R_s$.$\mu_c$kann berechnet werden als $$\text{Re}(\mu_c)=\frac{\eta^2n^2\mu}{\mu^2+\eta^2n^2},\quad\text{Im}(\mu_c)=\frac{\eta n\mu^2}{\mu^2+\eta^2n^2}$$ und $$\mu_c=\text{Re}(\mu_c)+\text{Im}(\mu_c)$$ für elastische Steifigkeit$\mu$, Viskosität$\eta$, und mittlere Bewegung $n$, definiert als$2\pi$dividiert durch die Umlaufzeit des Satelliten.$\text{Re}(z)$und$\text{Im}(z)$bezeichnet den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl. Mit anderen Worten, wenn $$z=a+bi$$ für reelle Zahlen$a$und$b$, dann $$\text{Re}(z)=a,\quad\text{Im}(z)=b,\quad z=\text{Re}(z)+i\text{Im}(z)=a+bi$$

$\mu_c$ist eine imaginäre Zahl und ist es daher auch$k_2$. Wir können dies jedoch etwas vereinfachen. Wenn wir setzen

$$a\equiv\frac{19}{2\rho gR_s}\text{Re}(\mu_c),\quad b\equiv\frac{19}{2\rho gR_s}\text{Im}(\mu_c)$$ , dann $$k_2=(a+1)\frac{1.5}{(a+1)^2+b^2}-\frac{1.5bi}{(a+1)^2+b^2}$$ und so haben wir einen viel besseren Ausdruck für$\text{Im}(k_2)$: $$\text{Im}(k_2)=-\frac{1.5b}{(a+1)^2+b^2}$$ Dort. Ich hoffe, das hat Spaß gemacht. Aber auch hier sind Sie viel besser dran, wenn Sie nur typische Werte ersetzen.$k_2$wurde sehr detailliert untersucht und gemessen.

Skalierung basierend auf Io

Es wurden Messungen an der relativ signifikanten Gezeitenerwärmung von Io , einem der Jupitermonde, durchgeführt. Ein angemessener Wert für$\dot{E}$ ist$\sim10^{14}$Watt . Wir kennen auch zusätzliche Parameter:

• $\text{Im}(k_2)\approx0.015\pm0.003$
• $R\approx1800\text{ km}$
• $e\approx0.0041$
• $a\approx4.2\times10^5\text{ km}$

Daher vermietet$M_J$die Masse des Jupiter sein und einstecken$G^{3/2}$, finden wir unter der Annahme eines ähnlichen internen Modells wie Io, die Größe von$\dot{E}$ist

$$\dot{E}\approx10^{14}\left(\frac{\text{Im}(k_2)}{0.015}\right)\left(\frac{m_p}{M_J}\right)^{5/2}\left(\frac{R}{1800\text{ km}}\right)^5\left(\frac{e}{0.0041}\right)^2\left(\frac{a}{4.2\times10^{5}\text{ km}}\right)^{-15/2}\text{ Watts}\tag{3}$$ was hoffentlich einfacher zu handhaben ist als$(2)$.