Wie berechnet man die Schwerkraft, die einen Stern zum Einsturz bringen will?

Das Grundkonzept hier ist das des hydrostatischen Gleichgewichts .

Wenn Sie eine dünne Materialplatte mit Dichte betrachten$\rho$und Dicke$\Delta r$im Stern. Es hat einen Druck von$P$unter der Platte und einem Druck$P + \Delta P$über der Platte. Das Gewicht der Platte wird sein$\rho g A \Delta r$, Wo$A$ist die von der Platte bedeckte Fläche und$g$ist der lokale Wert der Schwerkraft. Um die Platte im Gleichgewicht zu halten, müssen Sie dieses Gewicht mit der Kraft ausgleichen, die aufgrund des Druckunterschieds zwischen oben und unten auf die Platte ausgeübt wird. dh

$$\rho g\ A\ \Delta r = -\Delta P\ A$$ Daher $\rho g\ \Delta r = -\Delta P$und wie $\Delta r \rightarrow 0$, Wir können sagen $$\frac{dP}{dr} = -\rho(r) g(r) = - \rho \frac{GM(<r)}{r^2},$$ Wo $\rho(r)$Und $g(r)$sind Funktionen des Radius innerhalb des Sterns und $M(<r)$ist die im Radius enthaltene Masse $r$.

Zur Lösung dieser Differentialgleichung ist eine selbstkonsistente Lösung der Gleichungen der Sternstruktur (unter Einbeziehung der Energieerzeugungs- und Energietransportgleichungen) erforderlich, da der Druck auch von Temperatur und Zusammensetzung abhängt.

Um damit auf eine Art hinter dem Umschlag voranzukommen, sind einige große Vereinfachungen erforderlich, nämlich eine Annahme darüber, wie die Dichte vom Radius abhängt. Wenn wir davon ausgehen, dass die Dichte konstant ist (schrecklich, aber es gibt die richtigen Proportionalitäten), dann

$$\frac{dP}{dr} = - \frac{G \rho}{r^2} \frac{4\pi}{3} \rho r^3$$ $$\int^{0}_{P(r)} dP = - \frac{4\pi G \rho^2}{3} \int^{R}_{r} r\ dr,$$ Wo $P=0$an der Oberfläche des Sterns, wo $r=R$.
$$P(r) = \frac{2\pi G \rho^2}{3} (R^2 - r^2)$$

Dann könnten wir dies in Bezug auf die Masse des Sterns ausdrücken$M$indem man das vermerkt$\rho =3M/4\pi R^3$

$$P(r) = \frac{2\pi G}{3}\left(\frac{3M}{4\pi R^3}\right)^2 (R^2 - r^2) = \frac{3G}{8\pi}\left(\frac{M^2}{R^4}\right)\left(1 -\frac{r^2}{R^2}\right),$$ und der Mitteldruck (bei $r=0$) wäre $$P(0) = \frac{3G}{8\pi} \left(\frac{M^2}{R^4}\right)$$

Die Proportionalität stimmt hier, aber der Vergleich mit einem echten Stern, wie der Sonne, zeigt, dass der mittlere Druck zwar vernünftig ist, der zentrale Druck jedoch um einige Größenordnungen zu niedrig ist, da die Dichte der Sonne nicht konstant ist - der Druck und Dichte sind in der Mitte viel höher.

Was Sie verlangen, ist etwas, das Gravitationskollaps genannt wird

Gravitationskollaps ist die Verdichtung eines astronomischen Objekts aufgrund des Einflusses seiner eigenen Schwerkraft, die dazu neigt, Materie nach innen in Richtung des Massenzentrums zu ziehen. Gravitationskollaps ist ein grundlegender Mechanismus für die Strukturbildung im Universum. Im Laufe der Zeit kollabiert eine anfänglich relativ glatte Verteilung der Materie, um Taschen höherer Dichte zu bilden, wodurch typischerweise eine Hierarchie von verdichteten Strukturen wie Galaxienhaufen, Sterngruppen, Sterne und Planeten entsteht.

Referenz: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_collapse

Für eine mathematischere Antwort sehen Sie sich den Druckterm in Einsteins Gleichung hier an: http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/node6.html

Aktualisieren:

Jeans Messe

Das Konzept der Jeansmesse als kritische Masse für den Zusammenbruch zu einem Stern ist ein wichtiges Konzept. Die "Jeans-Masse" ist die minimale Masse, die den Strahlungsdruck für eine gegebene Energiedichte in Strahlung überwinden kann.

Virialsatz

Schwerkraft kann auf eine endliche Ansammlung von Partikeln angewendet werden, die durch Gravitationsanziehung miteinander interagieren. Wir können der Ansammlung von Teilchen eine potentielle Gesamtenergie und eine kinetische Gesamtenergie zuschreiben. Das besagt der Virialsatz

Durchschnittliche kinetische Energie =$\boldsymbol {-\frac {1}{2} \times}$ Durchschnittliche potentielle Energie

Eine Anwendung dieses Theorems wäre auf eine bekannte Masse von Wasserstoffgas in einem Protostern. Wenn Sie die Masse des Gases gut abschätzen und eine Stichprobe von Partikelgeschwindigkeiten messen könnten, um die kinetische Energie zu bestimmen, könnten Sie die kinetische Energie vorhersagen, wenn die Gaswolke einem Gravitationskollaps unterzogen wird. Für einen gegebenen Kollapsradius könnte man also eine Vorhersage der Temperatur des Wasserstoffgases in Bezug auf die kinetische Energie machen und könnte eine Vorhersage darüber machen, wann es die Zündtemperatur für die Wasserstofffusion erreichen würde.