Wie findet man die Masse, die an Fusionsreaktionen im Zentrum eines Sterns beteiligt ist?

Die Gleichungen, auf die Countto10 anspielt, sind die Gleichungen der Sternstruktur, die beschreiben, wie der Druck ($P$), Leuchtkraft ($L$), Temperatur ($T$) und eingeschlossene Masse ($M$) in einem Radius ändern$r$im Stern ¹ :

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho(r)\tag{Mass}$$ $$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM_r\rho(r)}{r^2}\tag{Pressure}$$ $$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\epsilon(r)\tag{Luminosity}$$ $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{3\rho(r)\kappa(r)}{64\pi r^2\sigma[T(r)]^3}L(r)\tag{Temperature}$$ $\epsilon$, $\rho$Und $\kappa$sind die Rate der Energieerzeugung, die Dichte bzw. die Opazität. Alle anderen Symbole sind Konstanten. Sie sind gekoppelte Differentialgleichungen und müssen daher mit numerischen Methoden gelöst werden , nicht mit analytischen Methoden, wie wir sie für "normale" Differentialgleichungen verwenden könnten. Eine der einfachsten gebräuchlichen Methoden ist die Anpassungsmethode . Wir wissen das $M(r=0)=0$Und $L(r=0)=0$, aber wir wissen es nicht $P(r=0)$Und $T(r=0)$. Wir können jedoch die Werte von herausfinden $P$Und $T$an der Oberfläche.

Wir können erraten, was$L$Und$M$wird an der Oberfläche sein und was$P$Und$T$wird in der Mitte des Sterns sein. Wir „integrieren“ dann nach innen und außen, bis wir einen „fitting point“ erreichen, und prüfen, ob die Gleichungen stimmen. Wenn dies nicht der Fall ist, können wir immer noch einige Anpassungen vornehmen und den Vorgang wiederholen. Es gibt andere Tricks, die den Prozess interessanter und sicherlich schneller machen. Am Ende haben Sie jedoch eine Beschreibung, wie sich all diese Variablen mit dem Radius innerhalb des Sterns ändern. Sie können dann zum Beispiel herausfinden, wie viel Masse in einer bestimmten Region enthalten ist, und wenn wir den äußeren Radius der Region berechnen können, in der die primäre Kernfusion stattfindet, können wir sie finden$M$in diesem Radius. Das gibt Ihnen das Ergebnis, das Sie suchen.

Das ist alles sehr kompliziert, und ich habe es wahrscheinlich nicht einfacher gemacht. Das ist okay; Der Prozess ist wirklich nicht einfach. Etwas mehr Praktisches könnte Sie von der Kraft einiger dieser Annahmen überzeugen. Wir können den Stern annähern, indem wir annehmen, dass er ein Polytrop ist , das heißt, dass sein Druck und seine Dichte durch eine bestimmte einfache Formel zusammenhängen. Nach einigem mathematischen Herumspielen gelangen wir schließlich zu einer einfachen Differentialgleichung, die Lane-Emden-Gleichung genannt wird :

$$\frac{1}{\xi^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\xi^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\xi}\right)=-\theta^n$$ Ach! Mehr Variablen! $\xi$wird als dimensionsloser Radius bezeichnet , da er linear mit skaliert $r$. $\theta$ist eine Funktion von $\xi$, Und $P$, $\rho$Und $T$sind alle Funktionen von $\theta$. Wenn wir also diese Differentialgleichung lösen, können wir zu einigen wirklich interessanten Schätzungen für die Struktur des Sterns kommen! ²

Ich hatte alten Python-Code für eine Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung und habe ihn verwendet, um die Lane-Emden-Gleichung numerisch zu integrieren (obwohl ich keine große Schrittweite verwendet habe). Ich habe dann die Temperatur, Dichte und den Druck des Sterns geteilt durch ihre zentralen Werte aufgetragen:

Schau dir an, wie schnell sie abfallen!$\theta=0$gerade vorbei$\xi=6$, also etwa auf halbem Weg durch den Stern, sind die Bedingungen ganz anders als in der Mitte. Dies scheint die Behauptung zu bestätigen, dass der Kern etwa 10 % der Sonnenmasse enthält.

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¹ Die Gleichung für die Temperatur ist wirklich nur unter bestimmten Bedingungen gültig.
² Die Annahme versagt nahe der Oberfläche, aber das ist in Ordnung. Uns geht es hier nur um den Kern.

Wir kennen die Gleichungen bezüglich Masse/Dichte, Druck (sowohl gravitativ nach innen als auch Strahlung nach außen) und Temperaturprofil der Struktur der Sonne. und diese sind unten detailliert.

Wir nehmen den einfachsten Fall eines kugelsymmetrischen quasistatischen Modells an. Ein quasistatischer Prozess impliziert, dass der Stern Änderungen mit einer Geschwindigkeit erfährt, die langsam genug ist, damit das System das interne thermodynamische Gleichgewicht aufrechterhält.

Die Sonne und andere Hauptreihensterne befinden sich in einem ausgeglichenen Zustand zwischen der Gravitation, die eine Kontraktion verursacht, und dem Strahlungsdruck von der Energiequelle im Kern, sowie dem Gasdruck des Materials der Sonne, der der nach innen gerichteten Kraft widersteht .

Der einfachste Fall einer großen dichten Gaswolke wie der Sonne erfordert 4 Differentialgleichungen erster Ordnung: Zwei davon beschreiben, wie Druck und die Masse des Wasserstoffgases auf Änderungen des Radius reagieren, das heißt, wie sich Druck und Masse verändern, während wir uns bewegen von der Oberfläche des Sterns zum Kern. Die anderen beiden Differentialgleichungen befassen sich mit der Leuchtkraft (der vom Stern freigesetzten Energie) und der Temperatur und wie diese Variablen auf eine Verringerung des Radius reagieren.

Wir verwenden die folgenden Variablen:

Materiedichte${\displaystyle \rho (r)}$
Temperatur${\displaystyle T(r)}$
Totaldruck (Materie plus Strahlung)${\displaystyle P(r)}$
Helligkeit${\displaystyle l(r)}$
zusammen mit einer Variablen, die die Energieerzeugungsrate pro Masseneinheit darstellt${\displaystyle \epsilon (r)}$

Wir nehmen eine Kugelschale mit einer Breite von an${\displaystyle {\mbox{d}}r}$auf Distanz${\displaystyle r}$aus der Mitte des Sterns.

Eine weitere vereinfachende Annahme ist, dass angenommen wird, dass die Sonne dem lokalen thermodynamischen Gleichgewicht (LTE) entspricht, und dies impliziert, dass die Temperatur für Materie und Photonen (Strahlung) identisch ist.

Sie könnten darauf hinweisen, dass LTE keine gute Annäherung sein kann, da die Temperatur umso höher wird, je tiefer wir in die Sonne eindringen, aber diese Annahme gilt, da die Entfernung, über die die Temperatur variiert, viel größer ist als die mittlere freie Weglänge${\displaystyle \lambda }$der aus dem Kern austretenden Photonen.

Hydrostatisches Gleichgewicht wird wie oben erwähnt angenommen: Die nach außen gerichtete Kraft aufgrund des Druckgradienten innerhalb des Sterns wird durch die nach innen gerichtete Kraft aufgrund der Schwerkraft genau ausgeglichen.

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM_r\rho(r)}{r^2}\tag{Pressure}$

Wo${\displaystyle m(r)}$ist die kumulierte Masse innerhalb der Schale bei${\displaystyle r}$Und$G$ist die Gravitationskonstante.

Die kumulative Masse steigt mit dem Radius gemäß der Massenkontinuitätsgleichung:

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho(r)\tag{Mass}$

Integriert man obige Gleichung aus$r=0$(das Zentrum der Sonne) zu$r_s$, (der etwas willkürliche Oberflächenabstand), ergibt dies die Gesamtmasse der Sonne.

Nun müssen wir wissen, wie viel Energie aus der Kugelschale austritt.

$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\epsilon(r)\tag{Luminosity}$
Das ist die Energiegleichung.

${\displaystyle \epsilon _{\nu }}$stellt die Leuchtkraft dar, die fast ohne Wechselwirkung auf ihrer langen Reise durch den Stern als Neutrinos pro Masseneinheit transportiert wird.

Jenseits der Fusionsregion des Kerns wird keine Energie erzeugt, sodass die Leuchtkraft in dieser „äußeren“ Region konstant ist.

Wie entweicht also die Energie aus dem Kern durch die riesige Gas-/Plasmamasse darüber?

Wir werden den konduktiven Energietransport ignorieren und uns mit dem Strahlungsenergietransport befassen, der der inneren Region eines Hauptreihensterns mit Sonnenmasse entspricht.

$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{3\rho(r)\kappa(r)}{64\pi r^2\sigma[T(r)]^3}L(r)\tag{Temperature}$

Wo${\displaystyle \kappa }$ist die Undurchsichtigkeit der Sache,${\displaystyle \sigma }$die Stefan-Boltzmann-Konstante ist und die Boltzmann-Konstante auf eins gesetzt ist.

Wir haben keine strenge Behandlung der dritten Form des Energietransports, dh der Konvektion. In der Sonne, in der Nähe des Kerns, ist die Konvektion adiabat (Wärme dringt nicht in die Region ein oder verlässt sie nicht), aber näher an der Oberfläche ist die Konvektion nicht adiabat. Die Mischungslängentheorie (die analog mit der mittleren freien Weglänge eines Photons verglichen werden kann, jedoch für Flüssigkeitstaschen) enthält zwei freie Parameter, die eingestellt werden müssen, um die Modellanpassungsbeobachtungen zu machen.

Quelle (für all diese Antworten in der einen oder anderen Form) Wikipedia Stellar Structure

Jedes thermodynamische System erfordert Zustandsgleichungen, die den Druck, die Opazität und die Energieerzeugungsrate mit anderen lokalen Variablen verknüpfen, im Fall der Sonne: Temperatur, Dichte, chemische Zusammensetzung usw. Relevante Zustandsgleichungen für den Druck müssen möglicherweise die enthalten perfektes Gasgesetz, Strahlungsdruck, Druck durch entartete Elektronen usw. Opazität kann nicht exakt durch eine einzige Formel ausgedrückt werden. Sie wird für verschiedene Zusammensetzungen bei bestimmten Dichten und Temperaturen berechnet und tabellarisch dargestellt.

Drei wichtige Punkte, die uns daran hindern, alles, was mit der Sonne zu tun hat, in einer sauberen analytischen Form zu lösen, sind die numerischen Methoden, die zur Berechnung der Opazität und der Druckzustandsgleichung verwendet werden. Schließlich wird die Kernenergieerzeugungsrate aus kernphysikalischen Experimenten berechnet.

Alle Differentialgleichungen verlangen Randbedingungen, von denen die vielleicht wichtigste die Werte für sind$r$. Da der Druck innerhalb der Sonne so hoch ist, erscheint es vertretbar, den Oberflächendruck auf Null zu setzen, und die Temperatur der Sonnenoberfläche lässt sich leicht messen.

Aus diesen Gleichungen können wir also abschätzen, wie viel der Sonnenmasse den Bedingungen entspricht, die zum Einleiten und Aufrechterhalten der Fusion erforderlich sind.

Dann können wir unsere Vorhersagen über die Energieabgabe von 10 % der Sonnenmasse anhand experimenteller Beweise überprüfen.

Theoretisch könnten wir den Neutrino-Output messen, da diese direkt durch die Sonne gehen, als weitere Kontrolle, in der Praxis ist der Nachweis von Neutrinos alles andere als einfach. Die Tatsache, dass frühe Experimente nur etwa ein Drittel der erwarteten Gesamtmenge entdeckten, wurde als „solares Neutrino-Problem“ bezeichnet. Hyperphysik Solare Neutrinos