Wie findet man den Radius eines Planeten angesichts seiner inneren Zusammensetzung?

Kurzversion: Der zweite Planet (gleiche Gesamtmasse) hat einen Radius, der größer ist als der erste, es sei denn, der Kern des zweiten Planeten ist größer (Masse) als der erste.

Das macht durchaus Sinn, wenn man darüber nachdenkt. Der kleinere Kern muss viel mehr von dem leichteren Außenmaterial haben, um die Gesamtmasse auszumachen. Der größere Kern benötigt weniger, um den gleichen Radius herzustellen.

Die scheußliche Mathematik :-)

Was du hast ist das:

$$M_1 = \frac 4 3 \pi \left[ \sigma_a r_{a1}^3 + \sigma_b(r_1^3-r_{1a}^3) \right]$$

$$M_2 = \frac 4 3 \pi \left[ \sigma_a r_{a2}^3 + \sigma_b(r_2^3-r_{2a}^3) \right]$$

Bei dem die$a$Index bezieht sich auf den Eisenkern und$b$zum Restmaterial.

Sie wissen, dass die Massen gleich sind, also können wir diese beiden Massen gleichsetzen.

Wir kennen auch die relativen Massen der Kerne:

$$\frac{M_{1a}}{M_{2a}} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6 = \frac {r_{1a}^3}{r_{2a}^3}$$

Wir kennen also das Verhältnis der Radien der Kerne, und ich werde das nennen$x$der Bequemlichkeit halber, obwohl es eigentlich so ist$0.6^{\frac 1 3} = 0.8434$. Ich werde anrufen$y=r_{1a}$(um mir das Tippen zu sparen).

Der Einfachheit halber verwenden wir alle Radien relativ zu$r_1$worauf wir uns einstellen$1$.

$$\sigma_a y^3 + \sigma_b (1-y^3) = \sigma_a (xy)^3+\sigma_b(r_2^3-(xy)^3)$$

Wir wissen$x, \sigma_a$Und$\sigma_b$. Wir kennen die Werte nicht$y = r_{1a}$Und$r_2$.

Für den Radius des zweiten Planeten erhalten wir also:

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ \sigma_a y^3 + \sigma_b (1-y^3) - \sigma_a (xy)^3 + \sigma_b (xy)^3 \right]$$

Oder

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ y^3 \left( \sigma_a - \sigma_b - \sigma_a x^3 + \sigma_b x^3 \right) +\sigma_b\right]$$

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ y^3 (1-x^3) \left( \sigma_a - \sigma_b\right) +\sigma_b\right]$$

Du hast gefragt :

Es ist logisch zu glauben, dass dieser Planet kleiner sein wird als der vorherige

Übersetzt bedeutet dies, ob$r_2<1$(weil wir setzen$r_1=1$zur Bequemlichkeit).

Das erfordert also:

$$y^3 (1-x^3) ( \sigma_a - \sigma_b )<0$$

Das heißt, es erfordert den Radius des Kerns des ersten Planeten ($y=r_{1a}$) kleiner als Null sein, was natürlich unmöglich ist, was bedeutet, dass der Radius des zweiten Planeten immer größer ist!

Um den zweiten Planeten kleiner zu machen, benötigen Sie:

$$1-x^3 = 1 - \frac{{r_{1a}}^3}{{r_{1b}}^3} < 0$$

Und das erfordert:

$$r_{1b} > r_{1a}$$

Oder dass der Radius (und damit die Masse) des Kerns des zweiten Planeten größer ist als der des ersten Planeten.

Der Planet mit dem kleinsten Kern hat den größten Radius, wenn ihre Gesamtmassen gleich sind.

Sie können dies auch "reparieren", wenn die Kerndichte ($\sigma_a$) war kleiner als die äußere Dichte ($\sigma_b$), aber das ist physikalisch nicht realistisch.

Zeng et al. (2015) „ Mass-Radius Relation for Rocky Planets based on PREM “ könnte für Sie nützlich sein.

Sie geben die folgende Gleichung an:

$$\frac{R}{R_\oplus} = \left(1.07 - 0.21 \cdot \mathrm{CMF}\right) \cdot \left(\frac{M}{M_\oplus}\right)^{1/3.7}$$

Wo$R$Und$M$sind der Planetenradius bzw. die Masse,$R_\oplus$Und$M_\oplus$sind der Radius bzw. die Masse der Erde, und CMF ist der Massenanteil des Kerns (dh der Massenanteil an Eisen). Sie geben an, dass diese Gleichung zwischen ~1 und ~8 Erdmassen und für CMF zwischen 0 und 0,4 gültig ist.

Wenn Sie diesen Bereich verlassen möchten, können Sie die Werte in Tabelle 2 im Papier interpolieren, die von 0,125 bis 32 Erdmassen und Eisenanteilen von 100 % bis 0 % reichen. Die Tabelle enthält auch zweischichtige Planeten, die Wasser und Silikate enthalten.

Einfacherer Ansatz (kein 𝜋 für dich)

Angenommen, die Dichte von Kieselsäure ist 1 und die Dichte von Eisen ist 3:

• Die Dichte des zweiten Planeten beträgt 1*50 % + 3*50 % = 2,0
• Die Dichte des ersten Planeten beträgt 1*70 % + 3*30 % = 1,6
• Das Verhältnis ihrer Dichten beträgt 2,0 / 1,6 = 1,25
• Das Verhältnis ihrer Volumina beträgt 1 / 1,25 = 0,8
• Das Verhältnis ihrer Radien ist die Kubikwurzel von 0,8, was 0,928 entspricht

Dh der Radius des zweiten, dichteren Planeten wird um 7,2% kleiner sein als der des ersten.