Wie findet man die Dichte eines Planeten und seines Kerns unter Berücksichtigung der Gravitationskompression in ihnen?

Question

Wie findet man die Dichte eines Planeten und seines Kerns unter Berücksichtigung der Gravitationskompression in ihnen?

URIZEN

Stellen Sie sich einen Planeten vor $P$ des Radius $r$ größer als die Erde, deren Masse ist $r^3$ . Nach dem Quadratwürfelgesetz hat dieser Planet die gleiche Dichte wie die Erde ... vorausgesetzt, dass die Gravitationskompression auf ihm die gleiche ist wie auf unserem Planeten, aber das ist falsch, weil der Planet daher eine größere Schwerkraft haben wird , wird die Gravitationskompression darin intensiver sein, wodurch es kleiner und dichter als erwartet wird (ist diese Argumentation richtig?). Aber was mir wichtig ist, ist nicht nur die Dichte des Planeten, sondern auch die seines Kerns, der ebenfalls zunehmen würde.

Der Erdkern hat eine Dichte von 11.000 kg/m³, mehr als zu erwarten wäre, wenn man ihn nur als Gemisch aus zwei Stoffen (vereinfacht Fe und Ni) ohne Berücksichtigung der Gravitationskompression berechnen würde. Wie kann ich die Dichte des Kerns berechnen? $P$ (und von sich aus) unter Berücksichtigung der Gravitationskompression? Ist das ohne großen Aufwand möglich?

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Es gibt keine praktische Gleichung für die Beziehung zwischen diesen Dingen, einfach weil reale Materialien keine konstante Dichte oder Temperatur haben, wenn sich der Radius (auf dem Planeten) ändert. Hier ist ein Link zu einer Seite mit Links zu verschiedenen Planetenmodellen, die Ihnen eine Vorstellung von der Komplexität geben. Es gibt eine (nicht leicht verständliche) Anwendung, die über Wolfram Player verwendet werden kann, wenn Sie es ausprobieren möchten. Ich vermute, dass dieses Material zu komplex für Sie sein wird, aber schauen Sie es sich an.

Willk

Eine heikle Frage wegen der Phasenumwandlung: Zumindest Eisen kann offenbar unter hohem Druck von flüssig wieder in kristallinen Feststoff übergehen. phys.org/news/2017-02-theory-earth-core-solid-extreme.html . Die Phase kann definitiv die Dichte beeinflussen. Ich schlage das vor? wäre gut für den planetaren Wissenschaftsstapel, da es definitiv harte Wissenschaft ist, aber ich weiß nicht, wie ich es migrieren soll.

Puppensocke

Vielleicht die Art und Weise, wie die Dichte der Erde kartiert wurde? Dazu gehörten viele Dinge wie das Verfolgen von Erdbebenwellen, das Messen exakter Schwerkraftwerte usw. Den Wert im Kern zu kennen, ist ohne Messungen eine chaotische Sache.

Antworten (1)

Wie findet man die Dichte eines Planeten und seines Kerns unter Berücksichtigung der Gravitationskompression in ihnen?

Es gibt keine praktische Gleichung für die Beziehung zwischen diesen Dingen, einfach weil reale Materialien keine konstante Dichte oder Temperatur haben, wenn sich der Radius (auf dem Planeten) ändert. Hier ist ein Link zu einer Seite mit Links zu verschiedenen Planetenmodellen, die Ihnen eine Vorstellung von der Komplexität geben. Es gibt eine (nicht leicht verständliche) Anwendung, die über Wolfram Player verwendet werden kann, wenn Sie es ausprobieren möchten. Ich vermute, dass dieses Material zu komplex für Sie sein wird, aber schauen Sie es sich an.
Eine heikle Frage wegen der Phasenumwandlung: Zumindest Eisen kann offenbar unter hohem Druck von flüssig wieder in kristallinen Feststoff übergehen. phys.org/news/2017-02-theory-earth-core-solid-extreme.html . Die Phase kann definitiv die Dichte beeinflussen. Ich schlage das vor? wäre gut für den planetaren Wissenschaftsstapel, da es definitiv harte Wissenschaft ist, aber ich weiß nicht, wie ich es migrieren soll.
Vielleicht die Art und Weise, wie die Dichte der Erde kartiert wurde? Dazu gehörten viele Dinge wie das Verfolgen von Erdbebenwellen, das Messen exakter Schwerkraftwerte usw. Den Wert im Kern zu kennen, ist ohne Messungen eine chaotische Sache.

HDE226868 · Answer 1

Die Technik, um dies zu tun, ähnelt derjenigen, die beim Konstruieren von Sternenmodellen verwendet wird. Sie kennen einige der Eigenschaften Ihres Objekts - in diesem Fall sehen sie aus wie Masse und Radius. Sie möchten die innere Struktur des Planeten herausfinden, einschließlich der zentralen Dichte und des Drucks sowie der Dichte- und Druckprofile als Funktionen des Radius. Der beste Weg, dies zu tun, ist wie folgt:

Bestimmen Sie eine Beziehung zwischen Dichte und Druck - was wir eine Zustandsgleichung nennen. Wir schreiben dies als $\rho = f(P)$ .
Schätzen Sie den zentralen Druck - und damit die zentrale Dichte - anhand der obigen Beziehung.
Integrieren Sie numerisch die Differentialgleichungen, die die Struktur des Planeten bestimmen. Beginnen Sie im Kern und gehen Sie nach außen.
Sobald Ihre Gleichungen anzeigen, dass Sie die Oberfläche des Planeten erreicht haben, sehen Sie sich die vorhergesagte Masse und den vorhergesagten Radius an.
Passen Sie angesichts des Ergebnisses von Schritt 4 Ihre Schätzungen für den zentralen Druck und die Dichte an und wiederholen Sie die Schritte 3 und 4.

Die beiden Gleichungen, die Sie neben der Zustandsgleichung benötigen, sind die Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts $(1)$ und die Massenkontinuitätsgleichung $(2)$ :

\begin{matrix} (1) & \frac{D P}{D R} = - \frac{G M_{R} ρ}{R^{2}} \end{matrix}

$\frac{dP}{dr} = -\frac{GM_r\rho}{r^2}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \frac{D M}{D R} = 4 π R^{2} ρ \end{matrix}

$\frac{dM}{dr} = 4\pi r^2\rho\tag{2}$ Hier,

P

$P$ ist Druck,

ρ

$\rho$ ist Dichte,

r

$r$ ist Radius,

G

$G$ ist die Gravitationskonstante, und

M_{r}

$M_r$ ist die in einem Radius enthaltene Masse

r

$r$ :

M_{R} = \int_{0}^{R} 4 π R^{' 2} ρ (R^{'}) D R^{'}

$M_r = \int_0^r 4\pi r'^2\rho(r')dr'$ Sagen wir das bei einem bestimmten Radius

r_{i}

$r_i$ , Sie kennen den Druck, die Dichte und die Masse, die in diesem Radius eingekapselt sind -

P_{i}

$P_i$ ,

ρ_{i}

$\rho_i$ , Und

M_{r, i}

$M_{r,i}$ . Angenommen, Ihre Integration verwendet eine gewisse Schrittgröße

Δ r

$\Delta r$ . Dann die Werte am Radius

r_{i + 1}

$r_{i+1}$ Sind

R_{ich + 1} = R_{ich} + Δ R

$r_{i+1} = r_i + \Delta r$

P_{ich + 1} = P_{ich} + Δ P = P_{ich} + \frac{D P}{D R} Δ R = P_{ich} - \frac{G M_{R, ich} ρ_{ich}}{R_{ich}^{2}} Δ R

$P_{i+1} = P_i + \Delta P = p_i + \frac{dP}{dr}\Delta r = P_i - \frac{GM_{r,i}\rho_i}{r_i^2}\Delta r$

ρ_{ich + 1} = F (P_{ich + 1})

$\rho_{i+1} = f(P_{i+1})$

M_{R, ich + 1} = M_{ich} + Δ M = M_{ich} + \frac{D M}{D R} Δ R = M_{ich} + 4 π R_{ich}^{2} ρ_{ich} Δ R

$M_{r,i+1} = M_i + \Delta M = M_i + \frac{dM}{dr}\Delta r = M_i + 4\pi r_i^2\rho_i\Delta r$ Fahren Sie damit fort, bis Sie die Oberfläche des Planeten erreichen, dh bei

P = 0

$P = 0$ , und wiederholen Sie dann die Schritte 3 bis 4 mit einer neuen Schätzung, bis Sie mit der vorhergesagten Masse und dem Radius des Modells zufrieden sind.

Ich habe dieses Verfahren in meiner Antwort auf eine andere Frage implementiert , obwohl ich die Schritte 3 bis 4 nur einmal ausführen musste - ich hatte einen vernünftigen zentralen Druck, der alles herausgefunden hatte. Ich habe eine Zustandsgleichung von Seager et al. 2008 , entwickelt für felsige Planeten.

Sie brauchen Informationen, die Sie nicht haben. Du schreibst $\rho(r)$ aber es ist auch eine Funktion der Zusammensetzung. Das weißt du nicht.
@puppetsock Das OP hat vermutlich eine Zusammensetzung gewählt (z. B. Eisen, Perowskit usw.). Das verlinkte Papier gibt Beispielparameter für verschiedene Zusammensetzungen (siehe Tabelle 3), und es ist ganz einfach, je nach Zusammensetzung des Planeten einfach die richtigen auszuwählen (oder vielleicht Zwischenwerte zu wählen, wenn der Planet eine heterogenere Zusammensetzung hat). Es ist nicht schwer, eine richtige zu finden $\rho(P)$ zusammensetzungsabhängige Zustandsgleichung.
Es ist nicht schwer, eine richtige zu finden $\rho(P)$ Zusammensetzungsabhängige Zustandsgleichung Es mag für Sie nicht schwer sein, aber ich habe den Eindruck, dass dies für das OP sehr schwierig ist.
@StephenG Ich habe einen Artikel mit mehreren verschiedenen EOSs verlinkt, die die meisten felsigen Planeten abdecken. . . Ich bin mir nicht sicher, was die verbleibenden Einwände sind. Wenn das OP eine bestimmte Zusammensetzung hat, kann ich natürlich nach einer geeigneten suchen, wenn sie nicht in der Arbeit behandelt wird, aber im Moment bin ich mir nicht sicher, ob die aktuellen Optionen unzureichend sind. :-/
Ich werde die Antwort innerhalb von ein paar Tagen mit einem detaillierteren Abschnitt zu EOSs aktualisieren. Ich denke, zukünftige Leser könnten das über das OP hinaus nützlich finden, daher werde ich nach Möglichkeit näher darauf eingehen.

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