Wie funktioniert Auftrieb?

Die Grundidee

Stellen Sie sich in Gedanken einen tiefen Ozean aus Wasser vor. Stellen Sie sich eine Wassersäule vor, die von der Oberfläche bis in die Tiefe reicht$d$. Diese Wassersäule hat ein gewisses Gewicht$W$. Daher gibt es eine nach unten gerichtete Kraft der Größenordnung$W$auf dieser Wassersäule. Sie wissen jedoch, dass die Wassersäule nicht beschleunigt wird, also muss es eine Aufwärtskraft von Größenordnung geben$W$Drücken auf diese Säule. Das einzige, was unter der Säule ist, ist mehr Wasser. Daher das Wasser in der Tiefe$d$muss mit Gewalt nach oben geschoben werden$W$. Das ist die Essenz des Auftriebs. Jetzt machen wir Details.

Einzelheiten

Das Gewicht$W$einer Wassersäule mit Querschnittsfläche$A$und Höhe$d$Ist

$$W(d) = A d \rho_{\text{water}}$$

Wo$\rho_{\text{water}}$ist die Dichte von Wasser. Dies bedeutet, dass der Druck des Wassers in der Tiefe$d$Ist

$$P(d) = W(d)/A = d \rho_{\text{water}}.$$

Nehmen wir nun an, Sie platzieren ein Objekt mit Querschnittsfläche$A$und Höhe$h$im Wasser. Auf dieses Objekt wirken drei Kräfte:

1. $W$: Das Eigengewicht des Objekts.
2. $F_{\text{above}}$: Die Kraft des Wassers über dem Objekt.
3. $F_{\text{below}}$: Die Kraft des Wassers unter dem Objekt.

Angenommen, der Boden des Objekts befindet sich in der Tiefe$d$. Dann befindet sich die Oberseite des Objekts in der Tiefe$d-h$. Mit unseren Ergebnissen von früher haben wir

$$F_{\text{below}} = P(d)A=d \rho_{\text{water}} A$$

$$F_{\text{above}}=P(d-h)A=(d-h)A\rho_{\text{water}}$$

Wenn sich das Objekt im Gleichgewicht befindet, beschleunigt es nicht, daher müssen alle Kräfte ausgeglichen sein:

$\begin{eqnarray} W + F_{\text{above}} &=& F_{\text{below}} \\ W + (d-h) \rho_{\text{water}} A &=& d \rho_{\text{water}} A \\ W &=& h A \rho_{\text{water}} \\ W &=& V \rho_{\text{water}} \end{eqnarray}$

wobei wir in der letzten Zeile das Volumen des Objekts definiert haben als$V\equiv h A$. Dies besagt, dass die Bedingung für das Gleichgewicht ist, dass das Gewicht des Objekts gleich seinem Volumen mal der Dichte von Wasser sein muss. Mit anderen Worten, das Objekt muss eine Wassermenge verdrängen, die das gleiche Gewicht wie das Objekt hat. Dies ist das übliche Auftriebsgesetz.

Ich glaube, dass Sie diese Beschreibung auf den Fall von Luft anstelle von Wasser und horizontalem anstelle von vertikalem Druckgradienten erweitern können.

Ich denke, der Druck, der auf die Oberfläche des leichteren Dings wirkt, hat etwas damit zu tun, aber das war es auch schon.

Dies ist eigentlich der Anfang und das Ende der GANZEN Geschichte. Das ist theoretisch alles , was Sie über Auftrieb wissen müssen. Mal sehen, wie sich diese Aussage auswirkt und wie sie zu den anderen Erkenntnissen führt, die Sie über Auftrieb gesammelt haben.

Man stelle sich einfach ein Freikörperbild für den schwimmenden / eingetauchten Körper vor. Die einzigen Kräfte, die darauf einwirken, sind der überall senkrecht zur Körperoberfläche stehende Druck und das Körpergewicht.

Die Nettokraft auf den Körper aus der umgebenden Flüssigkeit ist dann:

$$\mathbf{F} = \int_S\,p(\mathbf{r})\, \mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})\,\mathrm{d} S\tag{1}$$

wo wir die Druckkräfte zusammenfassen$p(\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})$Einwirken auf die Flächenelemente$\mathrm{d} S$in Richtung der Einheit normal$\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})$als Funktion der Position$\mathbf{r}$über die Grenzfläche$S$zwischen Flüssigkeit und Körper. Das ist alles dazu. Natürlich ist es aus (1) allein schwer zu erkennen, was mit einem in Flüssigkeit getränkten Körper passieren wird, also gehen wir zu praktischeren Antworten über.

Wir machen einen kleinen Trick: Es stellt sich heraus, dass man bei Auftriebsproblemen immer von der Oberfläche ausgehen kann$S$in (1) ist eine geschlossene Grenze eines Volumens (selbst wenn Sie sich mit Problemen wie Booten befassen, die idealerweise nicht vollständig untergetaucht sind und die geschlossene Grenze auf den ersten Blick unanwendbar erscheinen würde). Wir bilden zunächst das Skalarprodukt von$\mathbf{F}$mit einem beliebigen Einheitsvektor$\mathbf{\hat{u}}$und dann können wir bei gegebener geschlossener Oberfläche den Divergenzsatz auf (1) für das Volumen anwenden$V$innerhalb der geschlossenen Fläche$S=\partial\,V$:

$$\langle\mathbf{F},\,\mathbf{\hat{u}}\rangle=\oint_{\partial V}\,p(\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{u}}\cdot\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{r})\,\mathrm{d}S=\int_V\boldsymbol{\nabla}\cdot(p(\mathbf{r})\,\mathbf{\hat{u}})\,\mathrm{d}V=\mathbf{\hat{u}}\cdot\int_V\boldsymbol{\nabla}(p(\mathbf{r}))\,\mathrm{d}V$$

was bei gegebenem Einheitsvektor$\mathbf{\hat{u}}$ist willkürlich, bedeutet:

$$\mathbf{F} = \int_V\boldsymbol{\nabla}(p(\mathbf{r}))\,\mathrm{d}V\tag{2}$$

und wir müssen uns das Druckfeld vorstellen$p(\mathbf{r})$die in der Flüssigkeit innerhalb der Oberfläche vorhanden wäre, wenn die Flüssigkeit nicht durch den Körper verdrängt würde, der das Volumen einnimmt$V$. Aus (2) können wir sofort das zweite Wissen erkennen, von dem Sie gehört haben:

Luftballons erhalten ihr "Gefühl von Daunen" durch einen Druckunterschied . [fett von mir]

Das heißt, es gibt keine Netto-Auftriebskraft auf den Körper, es sei denn, der Druck$p$ist von Ort zu Ort unterschiedlich. Ansonsten,$\boldsymbol{\nabla}(p(\mathbf{r}))$ist identisch Null.

Wenn Sie mit dem Divergenzsatz nicht ganz zufrieden sind, denken Sie an einen untergetauchten Würfel und analysieren Sie ihn. In einer Flüssigkeit, in der sich der Druck nicht mit der Position ändert, wird die Kraft auf jeder Seite durch die entgegengesetzte Kraft auf der gegenüberliegenden Seite genau ausgeglichen. Ein anderer Fall, der Intuition gibt, ist eine Kugel in einer Flüssigkeit mit überall konstantem Druck: Die Kraft an jedem Punkt wird genau durch die entgegengesetzte Kraft am Antipodenpunkt ausgeglichen. Das Argument des Divergenzsatzes lässt Sie einfach auf die Allgemeingültigkeit solcher Schlussfolgerungen schließen, die Sie für symmetrische Objekte machen können.

Kommen wir nun zu einem Druckfeld, das Sie als Sporttaucher kennen werden. nehmen die$\mathbf{\hat{z}}$Richtung wie nach unten, das Druckfeld in einer ruhenden Flüssigkeit, die auf der Oberfläche eines Planeten liegt, dessen Radius viel größer ist als die Tiefe, die wir berücksichtigen müssen, ist:

$$p(\mathbf{r}) = (p_0+\rho\,g\,z)\,\mathbf{\hat{z}}\tag{3}$$

Wo$\rho$ist die Flüssigkeitsdichte,$g$die Erdbeschleunigung u$p_0$der Druck bei$z=0$. Wenn wir dies in (2) einsetzen, erhalten wir:

$$\mathbf{F} = \rho\,g\,\mathbf{\hat{z}}\,\int_V\,\mathrm{d}V = \rho\,g\,V_f\,\mathbf{\hat{z}}\tag{4}$$

Wo$V_f$ist das Volumen der verdrängten Flüssigkeit. Dies ist natürlich das Prinzip von Archimedes; es gilt für Fluidbereiche, die klein genug sind, dass die Druckänderung eine lineare Funktion der Position ist. Es scheint zwar so viele vage Erklärungen des Auftriebszustandes zu sagen, die „verdrängte Flüssigkeit drücke zurück“, aber das ist Unsinn. Die verdrängte Flüssigkeit ist nicht einmal da: Das Prinzip ist lediglich das Ergebnis der Anwendung mathematischer Tricks zur Übersetzung des Grundprinzips, das in Ihrem Text enthalten ist, den ich in der ersten Zeile dieser Antwort und in (1) und dem " Pushback der verdrängten Flüssigkeit" nur eine Eselsbrücke, um sich an das Prinzip zu erinnern.

Zwei weitere Bemerkungen sind angebracht:

1. Beachten Sie zunächst, dass die Antwort in (4) unabhängig von ist$p_0$Wenn der Körper also nicht vollständig untergetaucht ist (wie ein funktionierender Bootsrumpf), können wir einfach den Schnittpunkt des Volumens mit der Flüssigkeit als Volumen nehmen$V$; der Schnittpunkt der Fluidoberfläche mit dem Volumen begrenzt dann das reduzierte Volumen und der Kraftbeitrag auf der Oberseite ist dann null (da wir beliebig setzen können$p_0=0$ohne unsere Ergebnisse zu verändern).
2. Zweitens, wenn Ihnen der Divergenzsatz unangenehm ist, führen Sie die Analyse für einen Würfel mit vertikalen und horizontalen Kanten als verdeutlichendes Beispiel durch. Obwohl die Druckkraft über die vertikalen Flächen hinweg variiert, stehen die Druckflächen auf jeder vertikalen Fläche immer noch genau denen auf der gegenüberliegenden Fläche gegenüber. Die Nettokraft ist die Differenz zwischen der Kraft auf der Unterseite und der Oberseite des Würfels, die nach (3) die nach dem Archimedes-Prinzip berechnete Kraft ist.

Als Sporttaucher wissen Sie, dass der Druck zunimmt, wenn Sie tiefer gehen.

Stellen Sie sich einen senkrecht unter Wasser gehaltenen Zylinder vor. Die Kraft auf die Oberseite des Zylinders ist Druck mal Fläche (per Definition von Druck). Am Boden des Zylinders ist die Fläche gleich, aber die Kraft ist größer (tiefer, mehr Druck). Der Unterschied zwischen den beiden ist die Auftriebskraft.

Wenn Sie ein Objekt von "beliebiger" Form haben, können Sie es sich als aus unendlich vielen dünnen Zylindern (Strohhalmen mit geschlossenen Enden, wenn Sie möchten) vorstellen. Sie können nun die Berechnung für jede davon wiederholen. Das zeigt, dass dies auch dann gilt, wenn das Objekt eine komische Form hat.

Es kommt vor, dass die Differenz dem Gewicht des verdrängten Wassers entspricht - aber das Obige ist weniger abstrakt, denke ich.

Denken Sie immer an Ihren Sicherheitsstopp!

Nun, ich habe es immer als Anziehungskraft auf einen Nicht-Gleichgewichtszustand betrachtet.

Versuchen Sie sich 2 verschiedene Kugeln vorzustellen, die übereinander vom Himmel fallen (in Erdatmosphäre). Wenn die leichtere Kugel auf der schwereren Kugel liegt, trennt sich die leichtere Kugel von der schwereren Kugel. Wenn der schwerere Ball auf dem leichteren Ball liegt, haben wir 2 Möglichkeiten:

1. Gleichgewichtszustand - Das bedeutet, dass der schwerere Ball direkt auf dem leichteren Ball liegt - es gibt keine Kräfte, die den Ball seitwärts beschleunigen - nur nach unten. Die Kugeln fallen als eine.
2. Der schwerere Ball ist etwas seitlich zum leichteren Ball (sie berühren sich immer noch). In diesem Fall rollt der schwerere Ball seitwärts vom leichteren Ball und geht unter den leichteren Ball (beschleunigt schneller).

Versuchen Sie sich nun vorzustellen, wie Millionen von Kugeln durch den Himmel fallen. Es ist irgendwie logisch, dass die schwereren unter die leichteren gehen, oder?

(Dies ist nicht wirklich eine "physikalische" Antwort, sondern nur ein einfaches Beispiel für das sehr grundlegende Konzept.)

Druck im einfachsten Sinne ist nur eine Kraft, die über eine Fläche wirkt. Stellen Sie sich all die Partikel in der Luft im Auto vor. Der Luftdruck ist eigentlich ein Maß für die durchschnittliche Kraft, mit der diese Partikel gegeneinander drücken. Wenn wir einen Heliumballon im Auto zum Schweben bringen, drücken die Luftpartikel gegen die Heliumpartikel und die Heliumpartikel drücken die Luftpartikel zurück.

Hier ein wenig in die Statik einsteigen; Die Kräfte der Heliumatome drücken alle in verschiedene Richtungen, aber da sie alle vom Ballon eingeschlossen sind und alle mit der gleichen Kraft drücken, können wir davon ausgehen, dass sich diese Kräfte alle gegenseitig aufheben und die einzigen Kräfte auf den Ballon wirken insgesamt sind extern. An diesem Punkt, an dem keine Kräfte auf ihn wirken, könnte der Ballon im Wesentlichen ohne Kraft frei in jede Richtung geschoben werden. Die Luft drückt ihn aber nirgendwohin, weil die Luft auch aus allen Richtungen auf den Ballon drückt und sich dadurch ebenfalls aufhebt.

Jetzt wird die Kraft als Masse * Beschleunigung berechnet (auch bekannt als Bowling auf den Kopf wird Sie härter treffen als eine Murmel, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt, weil sie mehr Masse und daher mehr Kraft hat). Die Beschleunigung auf molekularer Ebene ist direkt proportional zur Temperatur. Da die Temperatur aller Gase im Auto gleich ist, können wir dies aufheben, und das einzige, was die Kraft der Partikel beeinflusst, ist die Masse der Partikel.

Zurück zu unserem Auto: Die Schwerkraft zieht alle Partikel im Auto mit der gleichen konstanten Beschleunigung von 9,8 m/s^2 nach unten. Die Luftpartikel werden mit einer Kraft nach unten gezogen, die ihrer Masse * 9,8 m/s^2 entspricht. Die Heliumpartikel werden ebenfalls mit der gleichen Beschleunigung gezogen, aber da ihre Masse so viel geringer ist als die von Sauerstoff, Stickstoff und anderen Partikeln in der Luft, ist ihre nach unten gerichtete Kraft viel geringer und sie werden um so mehr nach oben gedrückt starke Luftpartikel. Deshalb schwimmt der Ballon.

Als nächstes setzt sich das Auto in Bewegung. Gemäß dem Trägheitsgesetz (ein ruhendes Objekt neigt dazu, in Ruhe zu bleiben, bis eine äußere Kraft darauf einwirkt), bleiben die Gaspartikel an Ort und Stelle, obwohl sich das Auto vorwärts bewegt. Stellen Sie sich einen Ball vor, der über Ihrem Armaturenbrett schwebt und an dieser absoluten Position bleibt, egal wie Sie sich bewegen. Ziehen Sie einen Fuß nach vorne, und jetzt ist es über der Mittelkonsole. Noch ein paar Meter und es ist auf deinem Rücksitz. Genau das passiert mit allen Gaspartikeln im Auto. Jetzt haben sich alle Partikel zum Heck des Fahrzeugs bewegt, und vorne sind es viel weniger. Da nun hinter dem Ballon mehr Luftpartikel anstoßen als dahinter, heben sich die Kräfte nicht mehr auf und der Ballon wird nach vorne geschoben.

Hoffentlich hilft dies, es klarer zu erklären. Entschuldigung, das war ziemlich wortreich, lassen Sie es mich wissen, wenn etwas besser erklärt werden muss!