Der von Ihnen beschriebene grundlegende Elektromotor (siehe hier und hier für vollständigere Beschreibungen als die in der Frage bereitgestellten) ist interessant und ziemlich subtil quantitativ zu behandeln, und ich konnte im Internet keine gute Erklärung dafür finden. Ich werde unten eine zur Verfügung stellen. Selbst wenn das OP über dieses Problem hinausgegangen ist, hoffe ich, dass andere meine Antwort hilfreich finden.

Das Experiment

Der Aufbau ist eine Drahtspule mit halb abisolierten Enden, die über einem Permanentmagneten aufgehängt und mit einer Batterie verbunden ist. Sobald die Spule einen kleinen Stoß erhält, beginnt sie sich schnell zu drehen und bewegt sich lange (leichte Minuten) weiter. Der Motor dreht sich nur in eine Richtung, auch wenn er mehrmals aus dem Stillstand neu gestartet wird, entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn, je nachdem, wie die Spule abisoliert wurde. Die obigen Links enthalten Bilder und Schritt-für-Schritt-Beschreibungen zum Bau des Geräts. Aber wie funktioniert es genau?

Qualitative Erklärung

Die Drahtspule wirkt als Elektromagnet. Magnete richten sich gerne parallel aus, sodass bei eingeschaltetem Elektromagneten aufgrund des Permanentmagneten ein Drehmoment auf ihn wirkt. Das Drehmoment ist im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn, je nachdem, in welche Richtung sich der Elektromagnet (Spule) drehen muss, um sich mit dem Permanentmagneten auszurichten. Angenommen, Sie haben die Isolierung des Spulendrahts vollständig abgezogen, wo er die Batterieanschlüsse berührt. Wenn Sie die Spule um eine Umdrehung drehen, ist das Drehmoment die Hälfte der Zeit im Uhrzeigersinn und die andere Hälfte gegen den Uhrzeigersinn. Hier ist ein Bild, das dies für eine Drehung der Spule im Uhrzeigersinn veranschaulicht:

Wenn der Draht an den Enden vollständig abisoliert ist, verhält sich die Spule wie ein Pendel. Aber jetzt kommt die Wendung: Um einen Motor herzustellen, entfernen Sie die Beschichtung von der Hälfte jedes Drahtes, der zur Spule führt. Der Elektromagnet ist nur für die Hälfte des Zyklus eingeschaltet. Wenn Sie Glück haben, ist dies genau die Hälfte, wenn das Drehmoment im Uhrzeigersinn ist, die Spule erhält bei jeder Umdrehung einen zusätzlichen Schub und dreht sich weiter. Beachten Sie die Richtung der geschweiften Pfeile, die das Drehmoment im Bild unten angeben:

Aber wenn Sie darüber nachdenken, müssen Sie nicht so viel Glück haben. Wenn Sie die Beschichtung so abziehen, dass das Drehmoment beispielsweise für 2/3 des Zyklus im Uhrzeigersinn und für 1/3 des Zyklus gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, liefern Sie immer noch ein Drehmoment im Uhrzeigersinn an die Spule, wodurch eine Drehung im Uhrzeigersinn erzeugt wird. In der Abbildung unten sehen Sie, dass es mehr Drehmomentpfeile im Uhrzeigersinn als gegen den Uhrzeigersinn gibt:

Tatsächlich muss man sehr unglücklich sein, um die Hälfte der Isolierung so vom Draht abzuisolieren, dass die Drehmomente im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn genau ausgeglichen bleiben, wie sie es für den vollständig abisolierten Draht sind. Das Nettodrehmoment (gemittelt über eine Umdrehung) ist entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn, und der Motor dreht sich in diese Richtung.

Quantitatives Modell

Die obige qualitative Diskussion gibt eine Intuition dafür, wie dieser Motor funktioniert, gibt jedoch keine Antwort auf Fragen wie die von OP (dh wie wird die Geschwindigkeit des Motors von der Größe der Spule beeinflusst?). Tatsächlich ist es nicht einmal offensichtlich, dass sich der Motor auf eine mehr oder weniger konstante Drehzahl einpendelt: Immerhin erhält er nur für die halbe Rotationsperiode einen „Schub“, und dieser Schub hängt vom Winkel der Spule ab macht mit dem Magneten. Um weitere Erkenntnisse zu gewinnen, hilft es, ein theoretisches Modell zu untersuchen.

Nehmen wir an, die Spule ist ausreichend klein und ausreichend nahe am Magneten, dass das Magnetfeld konstant ist. Dann ist das Drehmoment an der Spule

$$\vec{N} = \vec{m} \times \vec{B},$$

Wo$\vec{B}$ist das konstante Magnetfeld aufgrund des Permanentmagneten und$\vec{m}$ist das magnetische Moment der Spule, gleich dem Produkt der Spulenfläche,$\vec{A}$, seine Anzahl von Schleifen,$n$, und der Strom, der durch ihn fließt,$J$:

$$\vec{m} = Jn\vec{A}.$$

Die einzige Nicht-Null-Komponente des Drehmoments ist,

$$N = -JnAB \sin \theta,$$

Wo$\theta$ist der Winkel zwischen dem magnetischen Moment der Schleife und der Vertikalen. Da der Draht, der die Spule mit den Batteriepolen verbindet, nur halb abisoliert ist, fließt der Strom$J$kommt drauf an$\theta$, zu. Wir gehen davon aus, dass das Strippen optimal ist

$$J(\theta) = \begin{cases} J_0 & \text{for $\theta \in (0, \pi)$,}\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} \equiv J_0 \cdot \mathbb{I(\theta\in (0, \pi))}$$

wobei der letzte, prägnante Ausdruck die Indikatorfunktion ist $\mathbb{I}(\cdot)$.

Der Drehung der Spule wirken verschiedene Reibungskräfte entgegen. Wenn die Drehung schnell ist, sollte die dominierende Kraft, die die Spule verlangsamt, der Luftwiderstand sein , der ungefähr beschrieben werden kann als:

$$N = - \gamma \omega |\omega|$$

Wo$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Spule und$\gamma$eine Konstante mit Einheiten$1/\mathrm{radian}$das hängt von der Luftdichte und der Form der Spule ab, nicht aber von ihrer Winkelgeschwindigkeit.

Wenn man all dies zusammenfasst, ist das Nettodrehmoment auf der Schleife:

$$N = -J_0 A B n \,\mathbb{I}(\theta \in (0, \pi)) \sin \theta - \gamma \omega |\omega|.$$

Newtons zweites Rotationsgesetz lautet$N = I\frac{d\omega}{dt}$, Wo$I$ist das Trägheitsmoment. Wir können damit Bewegungsgleichungen für die Schleife aufschreiben:

$$I\frac{d\omega}{dt} = -J_0 A B n \,\mathbb{I}(\theta \in (0, \pi)) \sin \theta - \gamma \omega |\omega|$$ $$\frac{d\theta}{dt} = \omega$$

Perspektive dynamischer Systeme

Um die Dynamik dieses Systems zu verstehen, ist es aufschlussreich, sein Phasenporträt zu untersuchen : die Trajektorien des Motors in ($\theta$,$\omega$) Raum.

Die Dynamik hat nur einen Attraktor, die rot eingezeichnete Umlaufbahn, die sich durch alle Winkel bewegt$\theta$bei annähernd konstanter Geschwindigkeit$\omega$. Jede Anfangsbedingung außer ($\theta = 0$,$\omega = 0$) fließt zu diesem Attraktor. Dies bedeutet, dass sich der Motor unabhängig von der Ausgangsposition der Spule und der Stärke des anfänglichen „Kicks“ (tatsächlich unabhängig von der Richtung des Kicks!) schließlich in seiner bevorzugten Richtung mit einer ungefähr konstanten Winkelgeschwindigkeit dreht.

Das zur Erstellung dieses Phasenporträts verwendete Mathematica-Notebook kann hier heruntergeladen werden .

Geschwindigkeit des Motors

Aus der Untersuchung des Phasenporträts wissen wir, dass sich der Motor bei einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit in Rotation versetzt. Aber was ist diese Geschwindigkeit?

Wir gehen im Sinne von Street Fighting Mathematics vor . Das Problem hat nur zwei Parameter, die Antriebsstärke$J_0 ABn/I$mit Einheiten von$\mathrm{radians/s^2}$, und die Widerstandskraftkonstante$\gamma/I$mit Einheiten von$\mathrm{1/radians}$. Die einzige Kombination dieser Parameter mit Einheiten der Winkelgeschwindigkeit ist:

$$\omega_\mathrm{dimensional} \approx \sqrt{\frac{J_0 ABn}{\gamma}}.$$

Daher muss dies bis zu einer Konstante, die nicht von den Parametern des Systems abhängt, die Attraktorgeschwindigkeit sein.

Wenn Sie für einen Straßenkampf zu zimperlich sind, können Sie dieses Problem stattdessen über die "schnellmotorische Annäherung" angehen.$\omega \gg \int_0^T |\frac{d\omega}{dt}|\,dt$, Wo$T$ist die Attraktorperiode. Die Bedeutung der Annäherung ist, dass die Geschwindigkeit des Motors im gesamten Attraktor ungefähr konstant ist, wie dies der Fall ist, wenn der Attraktor weit entfernt von dem liegt$\omega = 0$Linie im Phasenraum (dh wenn der Motor schnell dreht). Dieser Ansatz ist zu langwierig, um ihn hier durchzuarbeiten, aber er erzeugt die insgesamt konstante dimensionale Analyse, die er nicht liefern konnte:

$$\omega_\mathrm{fast-motor} \approx \sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{J_0 ABn}{\gamma}}.$$

Diskussion

Die obige Analyse legt nahe, dass die Drehzahl des Motors proportional zur Quadratwurzel des Motorstroms ist$J_0$, des Schleifenbereichs$A$, des Feldes des Permanentmagneten$B$und der Anzahl der Spulenwindungen$n$. Er nimmt mit der Quadratwurzel des Luftwiderstandsbeiwerts ab,$\gamma$.

Ein Hinweis zur Vorsicht

Das oben abgeleitete Ergebnis hängt von einigen Annahmen ab, und diese Annahmen treffen möglicherweise nicht auf einen bestimmten Fall zu. Am wichtigsten ist, dass sie ausfallen, wenn Sie versuchen, den Motor zu aggressiv zu optimieren, indem Sie die Vorschriften des vorherigen Absatzes befolgen. Hier sind einige Beispiele dafür, was ich meine:

1. Der Strom durch den Draht hängt vom Widerstand der Spule ab. Ein Großteil dieses Widerstands kommt von den schlechten Kontakten zwischen der Spule und den Batterieleitungen und ist daher unabhängig von den anderen Geräteparametern. Aber wenn Sie die Spule größer machen (Erhöhung$A$) oder erhöhen Sie die Anzahl der Schleifen$n$, wird der Innenwiderstand der Spule schließlich den Widerstand des Geräts dominieren, und der Strom beginnt zu skalieren$J_0 \propto \frac{1}{n\sqrt{A}}$. An diesem Punkt erhöht das Hinzufügen weiterer Windungen zur Spule oder das Vergrößern ihrer Fläche die Motordrehzahl nicht mehr.
2. Der Luftwiderstandsbeiwert$\gamma$hängt in komplizierter Weise von der Form der Spule ab. Es steigt mit ziemlicher Sicherheit mit$n$Und$A$. (Spezifischere Kommentare von Leuten, die sich tatsächlich mit Hydrodynamik auskennen, sind erwünscht!)
3. Besonders bei einem langsamen Motor kann die Reibung an den Drehpunkten (die wir vernachlässigt haben) wichtiger sein als der Luftwiderstand.
4. Ich nahm an, dass die Spule im Vergleich zum Permanentmagneten ausreichend klein ist, dass das Magnetfeld als konstant angenommen werden kann. Wenn Sie zunehmen$A$, irgendwann muss diese Annahme zusammenbrechen: Das Streufeld des Magneten wird wichtig. Die genauen Auswirkungen davon sind schwer zu analysieren, aber mit ziemlicher Sicherheit würde die Drehzahl des Motors nicht mehr mit der Quadratwurzel der Spulenfläche zunehmen.