Wie ist es möglich, dass dieselbe Kraft in zwei verschiedenen Trägheitssystemen unterschiedlich viel Arbeit verrichtet?

Sie haben richtig entdeckt, dass Kraft, Arbeit und kinetische Energie Rahmenvarianten sind. Das ist seit Jahrhunderten bekannt, aber für einen Studenten immer überraschend, wenn er es zum ersten Mal entdeckt. Aus irgendeinem Grund ist es nicht Teil eines Standardlehrplans für Physik.

Der Grund, warum dies für jeden Schüler, der damit konfrontiert wird, beunruhigend ist, liegt darin, dass es mit der Energieeinsparung unvereinbar erscheint. Wenn die geleistete Arbeit in verschiedenen Referenzrahmen unterschiedlich ist, wie kann dann Energie in allen Rahmen konserviert werden?

Der Schlüssel liegt in der Erkenntnis, dass die Kraft, die Arbeit verrichtet, auf zwei Körper wirkt. In diesem Fall das Objekt und die horizontale Fläche. Sie müssen beide Körper einbeziehen, um ein vollständiges Bild der Energieerhaltung zu erhalten.

Betrachten Sie die Situation in Ihrem Beispiel aus einem beliebigen Rahmen, in dem sich die horizontale Oberfläche (im Folgenden "Boden") mit einer Geschwindigkeit bewegt$u$, wobei der Bodenrahmen dann der Rahmen ist$u=0$. Lassen Sie den Boden Masse haben$M$. Die anfänglichen kinetischen Energien sind:

Jetzt die Reibungskraft$-f$wirkt auf das Objekt bis$v_{obj}(t_f)=v_{gnd}(t_f)$. Das Auflösen nach der Zeit gibt

Bei$t_f$die endgültigen kinetischen Energien sind:

Beachten Sie, dass die Gesamtänderung von KE unabhängig davon ist$u$, was bedeutet, dass es rahmeninvariant ist. Das ist die Energiemenge, die an der Grenzfläche in Wärme umgewandelt wird. Obwohl die Änderung von KE für das Objekt selbst eine Rahmenvariante ist, stellen Sie fest, dass die Gesamtänderung der kinetischen Energie rahmeninvariant ist, wenn Sie auch den Boden einbeziehen, wodurch Energie gespart werden kann, da die erzeugte Wärmemenge rahmeninvariant ist.

Kräfte wirken nicht nur auf ein Objekt. Es ist schwer zu erkennen, aber das andere Objekt im Kräftepaar hier ist der Boden/die Erde.

In dem Rahmen, in dem der Boden stationär ist, wirkt Reibung auf der Erde nicht, sodass wir die Auswirkungen verwerfen können. Aber in einem Rahmen, in dem sich der Boden bewegt, wirkt die Reibung auch darauf.

In jedem Frame ist die Summe aller geleisteten Arbeiten identisch, sie kann jedoch unterschiedlich auf die beiden Objekte verteilt werden. Vielleicht ist das Nettoergebnis im erdstationären Rahmen, dass das Objekt 50 J verliert und 50 J Wärme erzeugt werden. In einem anderen Rahmen könnten Sie feststellen, dass das Objekt 250 J verliert, die Erde 200 J gewinnt und 50 J Wärme erzeugt werden.

Der Reibungskoeffizient ist in beiden Fällen gleich. Sie haben die zurückgelegte Wegstrecke in beiden Fällen als gleich angenommen, weshalb Sie unterschiedliche Werte für erhalten$\alpha$. Ihre anderen Fragen wurden in vielen Antworten oben geklärt, daher wollte ich diesen Punkt nur erwähnen.

Berechnung mit der Definition von Arbeit:

$W = \int_{x1}^{x2}{Fdx}$. Für einen Rahmen, der sich mit einer Geschwindigkeit bewegt$v_0$, die Änderung der Variablen sind:$x' = x - v_0t$Und$dx' = dx - v_0dt$.

$W' = \int_{x1'}^{x2'}{F(dx - v_0dt)} = \int_{x1}^{x2}{Fdx - \int_{t1}^{t2}Fv_0dt}$

Das erste Integral repräsentiert die Arbeit im stationären Rahmen. Wie in den anderen Antworten erwähnt, kann die zweite als die Arbeit interpretiert werden, die am zweiten Körper (dem "Boden") geleistet wird. Theoretisch sollte es zu einer Verringerung seiner Geschwindigkeit führen, aber da es viel massiver ist, gibt es eine variable Kraft und eine konstante Geschwindigkeit.

Der erste Teil kann verwendet werden, um die Variation der kinetischen Energie für den stationären Rahmen zu berechnen:

$\int_{x1}^{x2}{Fdx} = m\int_{x1}^{x2}{(dv/dt)dx} = m\int_{x1}^{x2}{dv(dx/dt)} = m\int_{v}^{0}{vdv} = -(1/2)mv^2$

Aber das zweite Integral ist:$\int_{t1}^{t2}{Fv_0dt} = mv_0\int_{t1}^{t2}{(dv/dt)dt} = mv_0\int_{v}^{0}{dv} = -mv_0v$

Die geleistete Arbeit, gemessen am beweglichen Rahmen, beträgt:$-(1/2)mv^2 + v_0v$, passend zu Ihrer Berechnung.

In der Bewegungstheorie: Angesichts der Relativität der Trägheitsbewegung besteht der Weg zum Verständnis der stattfindenden Mechanik darin, nach einer Invariante zu suchen. „Invariant“ bezieht sich hier auf eine Darstellung, die unabhängig von der Wahl des Ursprungs des Inertialkoordinatensystems ist.

Hier sind die Dinge, die ich dafür einrichten muss:

Bei zwei Massen$m_1$Und$m_2$Wir können die Geschwindigkeit jeder Masse als Geschwindigkeit in Bezug auf den gemeinsamen Massenschwerpunkt (CCM) der beiden Massen angeben

$m_1$Masse des Objekts 1
$m_2$Objektmasse 2
$v_1$Geschwindigkeit von Objekt 1 relativ zum CCM
$v_2$Geschwindigkeit von Objekt 2 relativ zum CCM

$V_r$Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Objekten
$V_c$Geschwindigkeit des CCM relativ zu einem gewählten Ursprung

Diese Notation verkörpert, dass in Bezug auf die CCM der Gesamtimpuls eines Zwei-Teilchen-Systems Null ist:$m_1v_1 + m_2v_2 = 0$

Die gesamte kinetische Energie ausgedrückt in Form von$v_1$Und$v_2$:

Verwenden Sie (1) und (2), um (3) in und Ausdruck in zu ändern$V_r$Und$V_c$:

Viele Terme fallen gegeneinander weg, und der Ausdruck kann in eine Komponente in Bezug auf die Geschwindigkeit des CCM in Bezug auf einen ausgewählten Ursprung und die relative Geschwindigkeit dazwischen getrennt werden$m_1$Und$m_2$

Natürlich können wir das machen$V_c$Term Null, indem Sie ein Koordinatensystem wählen, das sich mit dem CCM mitbewegt. Dann lautet der Ausdruck für die kinetische Energie:

Dies zeigt, dass es so etwas wie die kinetische Energie eines einzelnen Objekts nicht gibt. Kinetische Energie ist nur in Bezug auf die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Objekten von Bedeutung.

Es ist nur so, dass, wenn das andere Objekt viel, viel massiver ist, ein vernachlässigbarer Fehler bei der Vereinfachung des Ausdrucks zu: