Wie kann ich die Ableitung der Delta-Funktion anhand ihrer Fourier-Definition berechnen?

Der erste Term ist in keinem direkten Sinne Null, tatsächlich divergiert der Ausdruck deutlich. Der Grund, warum man in der Physik davonkommen kann, so zu tun, als wäre es Null, ist das$\delta$und sein Derivat$\delta'$sind eigentlich gar keine Funktionen mit konvergierender Fourier-Entwicklung, sondern, wie sie oft genannt werden, Verteilungen .

Meiner Meinung nach ist es am einfachsten zu verstehen, dass es sich um duale Vektoren eines Funktionenraums handelt. Speziell,$\delta$ist im Dual des Raumes$(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}))^\ast$des Raums stetiger Funktionen und$\delta'$ist in$(\mathcal{C}^1(\mathbb{R}))^\ast$dh stetig differenzierbare Funktionen. Eine einfache und strenge Art, sie zu definieren, ist

$$\begin{align} \delta_{x_0} \: f :=& f(x_0) \\ \delta'_{x_0} \: f :=& -f'(x_0) \end{align}$$ dh das Argument von$\delta$ist eigentlich eine Funktion , keine reelle Zahl. Alles, was in der$\delta(x-x')$Stil ist eigentlich nur eine Pseudo-Notation, die nur dann klar definiert wird, wenn sie in einem Integral erscheint: $$\begin{align} \int_\Omega\!\!\mathrm{d}x\ \delta(x-x_0) \cdot f(x) := \delta_{x_0}\:f =& f(x_0) & \text{if $x_0\in\Omega$} \end{align}$$ Entsprechend können Sie all dies im Fourier-Raum tun. Die Erweiterung$\delta(x) \propto \int\mathrm{d}k\ e^{-ikx}$nicht wirklich von selbst konvergiert, aber es konvergiert, wenn es frequenzweise mit der Fourier-Transformation einer kontinuierlichen Funktion multipliziert wird, weil eine solche Erweiterung Koeffizienten hat, die mit mindestens zerfallen$O(k^{-1})$, So $$\|e^{-ikx} \cdot\operatorname{FT}(f)(k)\| \leq O(k^{-1})$$ und eine so abklingende Schwingungsfunktion integriert werden .

Ebenso die Fourier-Entwicklung, für die Sie abgeleitet haben$\delta'$macht Sinn, nachdem Sie es frequenzmäßig mit der Entwicklung einer stetig differenzierbaren Funktion multipliziert haben, weil das zerfällt$O(k^{-2})$und deshalb

$$\bigl(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\:\delta(x-x')\bigr)\:f(x) \propto \left.\left[\frac{-k\cdot e^{-ik(x-x')}}{x-x'}\cdot O(k^{-2})\right]\right|_{-\infty}^\infty + \ldots$$ und hier$k\cdot O(k^{-2})$gibt etwas ein$O(k^{-1})$, die daher im Unendlichen verschwindet, was bedeutet, dass Ihre Ableitung korrekt ist.