Wie können Magnete verwendet werden, um Metallteile aufzunehmen, wenn die Kraft eines Magnetfelds nicht wirkt?

Die Lorentzkraft$\textbf{F}=q\textbf{v}\times\textbf{B}$wirkt niemals auf das geladene Teilchen$q$. Das ist nicht dasselbe wie zu sagen, dass das Magnetfeld niemals funktioniert. Das Problem ist, dass nicht jedes System korrekt als einzelne isolierte Punktladung beschrieben werden kann

Beispielsweise wirkt ein Magnetfeld auf einen Dipol, wenn sich die Ausrichtung des Dipols ändert. Auch ein ungleichmäßiges Magnetfeld kann an einem Dipol Arbeit verrichten. Angenommen, ein Elektron mit magnetischem Dipolmoment$\textbf{m}$orientiert entlang der$z$Achse, wird im Ruhezustand in einem ungleichförmigen Magnetfeld mit einem Nichtverschwinden freigegeben$\partial B_z/\partial z$. Dann spürt das Elektron eine Kraft$F_z=\pm |\textbf{m}| \partial B_z/\partial z$. Diese Kraft beschleunigt das Elektron aus der Ruhe und gibt ihm kinetische Energie; es wirkt auf das Elektron. Weitere Einzelheiten zu diesem Szenario finden Sie in dieser Frage .

Sie können auch zusammengesetzte (nicht fundamentale) Systeme haben, in denen die Teile durch andere Arten von Kräften interagieren. Wenn zum Beispiel ein stromführender Draht durch ein Magnetfeld geht, wirkt das Feld auf den Draht als Ganzes, aber das Feld wirkt nicht auf die Elektronen.

Wenn wir sagen „das Feld funktioniert auf dem Draht“, ist diese Aussage offen für einige Interpretationen, da der Draht eher zusammengesetzt als fundamental ist. Arbeit wird als mechanische Energieübertragung definiert, wobei „mechanisch“ eine Energieübertragung durch eine makroskopisch messbare Kraft von einer Energieübertragung auf mikroskopischer Ebene unterscheiden soll, wie bei der Wärmeleitung, die nicht als Form der Arbeit gilt. Im Beispiel des Drahts bestätigt jede makroskopische Messung, dass das Feld eine Kraft auf den Draht ausübt und die Kraft eine Komponente parallel zur Bewegung des Drahts hat. Da Arbeit operativ rein makroskopisch definiert wird, leistet das Feld definitiv Arbeit am Draht. Was jedoch auf mikroskopischer Ebene passiert, ist, dass das Feld eine Kraft auf die Elektronen ausübt,elektrische Kräfte auf die Masse des Drahtes. Auf der makroskopischen Ebene (auf der mechanische Arbeit definiert ist) wird die Arbeit also durch das Magnetfeld verrichtet, auf der mikroskopischen Ebene jedoch durch eine elektrische Wechselwirkung.

Es ist eine ähnliche, aber kompliziertere Situation, wenn Sie einen Magneten verwenden, um eine Büroklammer aufzuheben; der Magnet wirkt auf die Büroklammer in dem Sinne, dass die makroskopisch beobachtbare Kraft eine Komponente in Richtung der Bewegung der Büroklammer hat.

Obwohl das, was Ben und andere gesagt haben, ausreichend sein könnte, möchte ich meinen Standpunkt darlegen.

Stellen Sie sich ein Stück Leiter vor, das durch die Magnetkraft angehoben wird. Die Strömung ist nach rechts (mit Geschwindigkeit$w$), und das Magnetfeld geht in die Seite . Daher ist die Magnetkraft nach oben gerichtet . Wenn sich der Dirigent nun nach oben bewegt , gewinnt er an Geschwindigkeit$u$in Aufwärtsrichtung. Daher ändert die Magnetkraft die Richtung , wie in der Abbildung gezeigt, aber die Aufwärtskomponente bleibt gleich .

Beachten Sie nun, dass die horizontale Komponente der Magnetkraft dem Strom entgegenwirkt. Um den Strom aufrechtzuerhalten, arbeitet die für den Strom verantwortliche Batterie dieser Kraft entgegen und ist die Quelle der verrichteten Arbeit.

Ein beliebtes Analogon in der klassischen Mechanik ist die Rolle der Normalkraft beim Schieben eines Blocks einen Hang hinauf. Die Normalkraft verrichtet keine Arbeit, wird aber benötigt, um den Block den Hang hinauf zu bewegen. Seine Rolle besteht einfach darin, umzuleiten$F_{mop}$in Aufwärtsrichtung. Das ist genau die Rolle der Magnetkraft beim Heben von Sachen.$

Quelle der Bilder und des Wissens: Einführung in die Elektrodynamik von Griffiths

Die Lorentzkraft ist die einzige Kraft auf ein klassisches geladenes Punktteilchen (Ladung$q$- siehe Ben Crowells Antwort zu nichtklassischen Teilchen mit fundamentalem magnetischem Moment wie dem Elektron). Die magnetische Komponente der Lorentzkraft$q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$steht bekanntlich immer im rechten Winkel zur Geschwindigkeit$\mathbf{v}$, es wird also keine Arbeit "direkt" durch ein Magnetfeld verrichtet$\mathbf{B}$auf diesem geladenen Teilchen.

Es ist jedoch höchst irreführend zu sagen, dass das Magnetfeld überhaupt keine Arbeit verrichten kann, weil:

1. Ein zeitvariables Magnetfeld erzeugt immer ein elektrisches Feld, das an einer klassischen Punktladung arbeiten kann - elektrisches und magnetisches Feld kann man von diesem Standpunkt aus nicht trennen. Bei „Arbeit erledigen“ geht es darum, eine Änderung an einem System vorzunehmen, und „Arbeit aus einem System ziehen“ bedeutet, das System sich ändern zu lassen, damit es für Sie arbeiten kann. Wir sprechen also immer von einem dynamischen Feld, wenn wir von Energieübertragung sprechen, und in dieser Situation müssen Sie sich das elektromagnetische Feld als einheitliches Ganzes vorstellen. Dies ist Teil der Bedeutung der Curl-Maxwell-Gleichungen (Faradaysches und Ampèresches Gesetz). Darüber hinaus wird es, sobald Dinge (dh Ladungen und Stromelemente) in Bewegung geraten, manchmal einfacher, über Kräfte von Referenzrahmen nachzudenken, die in Bezug auf sie stationär sind: Lorentz-Transformationen "mischen" sich dann
2. Eine zu einem Verbundsystem gehörende klassische Punktladung (zB ein "klassisches" Elektron in einem Metallgitter in einem Draht) wird durch das Magnetfeld hindurch beaufschlagt$q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$seitlich auf den Draht schiebt (eigentlich verschiebt er sich ein wenig seitwärts, bis das Ladungsungleichgewicht, das aus seiner Verschiebung entsteht, ein elektrisches Feld erzeugt, um ihn im Gitter gegen den Schub des Magnetfelds zu stützen). Das Magnetfeld beschleunigt die Ladung nicht, also wirkt es nicht direkt auf die Ladung, aber der durch die Ladung vermittelte seitliche Schub kann auf das umgebende Gitter wirken. Auf Stromelemente, die nicht auf das Magnetfeld ausgerichtet sind, wirken durch denselben Mechanismus Drehmomente, und diese Drehmomente können Arbeit leisten. Diese Mechanismen liegen Elektromotoren zugrunde.
3. Eine andere Möglichkeit, die Aussagen 1. und 2. zusammenzufassen, ist (wie weiter unten ausführlicher diskutiert wird), dass das Magnetfeld eine Energiedichte hat$\frac{|\mathbf{B}|^2}{2\mu_0}$. Um die Energie in diesem Feld anzuzapfen, müssen Sie das Magnetfeld mit der Zeit schwinden lassen, und das elektrische Feld, das aus dem zeitveränderlichen Magnetfeld entsteht, kann an Ladungen arbeiten, um die im Magnetfeld gespeicherte Arbeit abzurufen.
4. Das Denken an auf unendlich kleine Größen geschrumpfte Stromelemente ist eine klassische Motivation, um über die Wechselwirkung zwischen Magnetfeldern und den nichtklassischen Teilchen mit fundamentalen magnetischen Momenten nachzudenken, wie in Ben Crowells Antwort (ich sage eine Motivation, denn wenn Sie klassisch zu weit gehen damit man muss sich Elektronen als ausgebreitete Ladungen vorstellen, die sich so schnell drehen, dass ihre Außenseiten mit mehr als Lichtgeschwindigkeit wären - eine Idee, die Wolfgang Pauli ziemlich ins Trudeln brachte).

Wir können die meisten der in den Aussagen 1. und 2. diskutierten Mechanismen in Symbole fassen: Angenommen, wir wollen ein System von Strömen mit Stromdichte aufbauen$\mathbf{J}$in perfekten Leitern (damit kein ohmscher Verlust entsteht). Um die Ströme herum gibt es ein Magnetfeld; Wenn wir die Ströme erhöhen wollen, verursachen wir eine Zeitänderung in diesem Magnetfeld, woraus ein elektrisches Feld entsteht$\mathbf{E}$das drängt zurück auf unsere Strömungen. In der dynamischen Periode, in der sich unser Strom ändert, müssen wir, um den Strom steigen zu lassen, Arbeit pro Volumeneinheit an den Strömen mit einer Rate von leisten$\mathrm{d}_t w = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$.

Wir können jedoch unser aktuelles System umschreiben$\mathbf{J}$mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes:

$\mathrm{d}_t w = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} = -(\nabla \wedge \mathbf{H}) \cdot \mathbf{E} + \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \partial_t \mathbf{E}$

dann mit Hilfe der Standardidentität$\nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})=(\nabla \wedge \mathbf{E})\cdot\mathbf{H} - (\nabla \wedge \mathbf{H})\cdot\mathbf{E}$wir können schreiben:

$\mathrm{d}_t w = -(\nabla \wedge \mathbf{E}) \cdot \mathbf{H} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+\partial_t\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2\right)$

und dann mit Hilfe des Faradayschen Gesetzes:

$\mathrm{d}_t w = +\mu_0 \mathbf{H} \cdot \partial_t \mathbf{H} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2 = + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+ \partial_t\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2\right)$

und schließlich, wenn wir diesen Ausdruck pro Volumen über ein Volumen integrieren$V$das umfasst unser gesamtes Stromsystem:

$\mathrm{d}_t W = \mathrm{d}_t \int_V\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2\right)\,\mathrm{d}\,V + \oint_{\partial V} (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}).\hat{\mathbf{n}} \,\mathrm{d}\,S$

(das Volumenintegral wird durch das Gauß'sche Divergenztheorem zu einem Oberflächenintegral). Für viele Felder, insbesondere quasistatische, wie z$V$sehr groß wird, der Poynting-Vektor ($\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}$- die Strahlung darstellt), integriert über$\partial V$ist vernachlässigbar, was uns zu der Idee führt, dass der Speicher unserer Arbeit das Volumenintegral von ist$\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2$, das Magnetfeld trägt also zur gespeicherten Arbeit bei. Es sollte klar sein, dass diese Diskussion eine allgemeine Beschreibung jeder dynamischen elektromagnetischen Situation ist und völlig unabhängig vom Vorzeichen von ist$\mathrm{d}_t W$. Es gilt also gleichermaßen, ob wir durch die Strömungen auf dem Feld arbeiten oder das Feld auf uns wirkt.

Das Obige ist sehr allgemein: Wir können es mit einem spezifischen Beispiel schärfer fokussieren, bei dem es fast ausschließlich das Magnetfeld ist, das speichert und Arbeit verrichtet: Nehmen wir an, wir haben einen Schichtstrom, der in Solenoidform herumzirkuliert, so dass es nahezu gleichmäßig ist Magnetfeld im Inneren. Für ein Solenoid mit Radius$r$, der Fluss durch das Solenoid ist$\pi r^2 |\mathbf{B}|$und die magnetische Induktion, wenn die Schichtstromdichte ist$\sigma$Ampere für jeden Meter Solenoid ist$|\mathbf{B}| = \mu_0 \sigma$. Wenn wir die Stromdichte erhöhen, gibt es eine Gegen-EMK (transientes elektrisches Feld) um den Oberflächenstrom herum, gegen den wir arbeiten müssen, und die pro Längeneinheit des Solenoids geleistete Arbeit ist:

$\mathrm{d}_t W = \sigma \pi r^2 \mathrm{d}_t |\mathbf{B}| = \frac{1}{2} \mu_0 \pi r^2 \mathrm{d}_t \sigma^2 = \pi r^2 \times \mathrm{d}_t \frac{|\mathbf{B}|^2}{2 \mu_0}$

Dies alles setzt voraus, dass die Änderungsrate so ist, dass die Wellenlänge viel, viel größer ist als$r$. Der Energiespeicher ist also jetzt ein reines Magnetfeld: die Energiedichte des elektrischen Feldes$\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2$ist für dieses Beispiel vernachlässigbar, ebenso wie der Beitrag des Poynting-Vektors (nehmen Sie das Volumen$V$im obigen Argument eine zylindrische Oberfläche direkt außerhalb des Solenoids sein: Direkt außerhalb des Solenoids verschwindet das Magnetfeld und die Poynting-Vektoren sind an den Enden des Zylinders radial, sodass sie auch keinen Beitrag leisten. Die obige Analyse funktioniert umgekehrt: Lassen wir die Ströme fließen, kann das elektromagnetische Feld der Ströme wirken und somit die gespeicherte magnetische Energie abgerufen werden.

Ein Magnet nimmt Eisenstücke auf, weil jemand dieses System so konfiguriert hat, dass die Anfangsbedingungen so sind, dass dies geschieht. Der Magnet wurde an einen bestimmten Ort in der Nähe einiger ferromagnetischer Metallstücke bewegt oder umgekehrt.

Die Metallstücke bewegen sich, weil dadurch ihre potentielle Energie im Magnetfeld stärker reduziert wird als ihr Gravitationspotential erhöht wird.

Das System setzt Energie frei. Wenn das Eisenstück auf den Magneten trifft und daran haftet, erzeugt es ein Geräusch und Wärme. Es ist nicht wirklich die Frage, wer oder was die Arbeit verrichtet, sondern eine Situation, in der sich ein physisches System neu geordnet und Energie von einer Form in eine andere geändert hat.

Wenn sich die Stücke neben dem Magneten befinden, bewirken sie, dass das Feld durch sie konzentriert wird, da sie sehr durchlässig sind. Wenn der Magnet mit Stücken bedeckt ist, wird immer mehr seines Feldes durch die Stücke konzentriert, und immer weniger davon steht zum Anziehen neuer Stücke zur Verfügung. Es ist wie eine entladene Batterie.

Schließlich müssen Sie das System "aufladen", indem Sie den Magneten reinigen, damit Sie es weiter verwenden können. Wenn Sie die Teile vom Magneten trennen, müssen Sie Energie aufwenden.

Aus der Formel der Lorentzkraft geht hervor, dass das Magnetfeld per Definition keine Arbeit verrichtet . Der magnetische Beitrag ist senkrecht zu der Verschiebung, die er verursacht. Die Zeitableitung des Magnetfelds ist jedoch identisch mit der Rotation des elektrischen Felds, was die Existenz eines elektrischen Felds impliziert, das funktioniert . Während also B formal keine Arbeit verrichtet, ist ein sich änderndes Magnetfeld direkt mit Arbeit verbunden.

Die Hauptursache dieser Verwirrung ist, dass E und B keine unabhängigen Größen sind, obwohl sie es allein aufgrund der Lorentz-Kraft zu sein scheinen.

Unten ist die Meinung von Landau & Lifshitz.

Zitat aus "ELECTRODYNAMICS OF CONTINUOUS MEDIA" (2. Auflage), Seite 128:

"Wenn sich ein Dirigent bewegt, werden die Kräfte

($\overrightarrow j$Stromdichte.$\overrightarrow H$Magnetfeld)

mechanische Arbeit daran machen.

Auf den ersten Blick scheint dies dem Ergebnis zu widersprechen, dass die Lorentz-Kräfte keine Arbeit an bewegten Ladungen leisten.

In Wirklichkeit besteht natürlich kein Widerspruch, da die von den Lorentzkräften in einem bewegten Leiter verrichtete Arbeit nicht nur die mechanische Arbeit, sondern auch die Arbeit der in den Leiter während seiner Bewegung induzierten elektromotorischen Kräfte umfasst.

Diese beiden Arbeitsmengen sind gleich und entgegengesetzt.

Im Ausdruck (1) $\overrightarrow H$ist der wahre Wert des Magnetfelds sowohl aufgrund externer Quellen als auch aufgrund der Ströme selbst, auf die die Kraft (1) wirkt.

Die Gesamtkraft, die ein Magnetfeld auf einen stromdurchflossenen Leiter ausübt, ergibt sich aus dem Integral

Bei der Berechnung der Gesamtkraft aus (2) können wir jedoch nehmen$\overrightarrow H$einfach das äußere Feld sein, in dem der stromführende Leiter angeordnet ist.

Das Feld des Leiters selbst kann nach dem Impulserhaltungssatz nicht zu der auf den Leiter wirkenden Gesamtkraft beitragen."

Ende des Zitats.

Die Arbeit beim Aufheben wird nicht vom Magneten erledigt, sondern von Ihnen!

Wären ein Magnet und ein Stück Eisen im freien Raum (dh Vakuum und keine Schwerkraft), würden sie einfach anfangen, sich einander zu nähern und die potenzielle Energie des Magnetfelds in kinetische Energie umzuwandeln. Im Gravitationsfeld würden beide nach unten fallen, aber zB wenn der Magnet über dem Eisen wäre, würde der Magnet aufgrund der gemeinsamen Anziehungskraft etwas schneller und das Eisen etwas langsamer fallen.

Aber jetzt halten Sie (oder zB ein Kran) den Magneten in einer festen Position (und der Boden verhindert, dass das Bügeleisen durch Reaktionskräfte herunterfällt ). Es gibt zwei Szenarien:

• Du legst den Magneten auf das Bügeleisen. In diesem Fall kleben sie einfach zusammen und wenn Sie die beiden anheben, erledigen Sie offensichtlich die Arbeit
• Sie bewegen den Magneten über das Bügeleisen. Wenn es nahe genug ist, steigt das Eisen zum Magneten auf. Aber auch der Magnet wird vom Eisen angezogen und zieht nach unten. Aber du lässt dich nicht unterkriegen, du spannst deine Muskeln etwas mehr an, um dem entgegenzuwirken. Sie leisten Arbeit, wenn Sie den Magneten über das Eisen legen, und es ist (im Grunde) genau die Menge, die erforderlich ist, um dem Eisen, das jetzt an Ihrem Magneten befestigt ist, potentielle Energie hinzuzufügen.

Ich bin überrascht, dass keine der Antworten hier die einfachste und zuverlässigste Lösung mit dem elektromagnetischen Feldtensor verwendet hat.
Stellen Sie sich einen großen Draht vor, der entlang der X-Achse ausgerichtet ist und einen Strom I in einem statischen Magnetfeld entlang der negativen z-Achse führt. Dies bewirkt eine Kraft auf den Draht in Aufwärtsrichtung und im Ruhezustand und die geleistete Arbeit ist genau die Arbeit, die von der Batterie geleistet wird, um den Strom aufrechtzuerhalten!! Diese negative Arbeit wird durch das elektrische Feld in entgegengesetzter Stromrichtung im Drahtrahmen geleistet. Dies kann verifiziert werden, indem eine Lorentz-Transformation des elektromagnetischen Tensors in y-Richtung durchgeführt wird. Ein Magnetfeld in z-Richtung hat eine elektrische Feldkomponente in x-Richtung, wenn Lorentz-Transformation in y-Richtung erfolgt. Unten sehen Sie, wie der elektromagnetische Tensor im Drahtmodell nach der Lorentz-Transformation in y-Richtung aussehen wird.

Also im Drahtrahmen,

Das Magnetfeld bewirkt die Orientierung, ohne dabei eigentlich Arbeit zu leisten. Die Formel für die Arbeit ist es nicht$F$, es ist$W = \int F \cdot dr$, wobei das Integral entlang des Pfades und ist$\cdot$ist das Skalarprodukt des Vektors.

Wenn Sie Ihre Berechnungen richtig machen, werden Sie sehen$W = 0$.

Nun, hier gehen wir in Mathe.

W = SF.ds F = ma = m d2/dt2. F = qv x B = - vB xv = vmB x (vx dv/dt) F = vmB x 0,5x(vx ds2/d2t + dv/dt x dv/dv) F = Wenn v = konstant => dv/dt & andere Ableitungen sind 0), also SF.ds = 0