Wie lange dauert es, bis ein Chemostat das Gleichgewicht erreicht?

Solche Dinge werden normalerweise mit der linearen Stabilitätstheorie berechnet. Im Wesentlichen ersetzt man eine Menge nichtlinearer Gleichungen durch lineare, die sie im Bereich des Fixpunkts approximieren. Das Ergebnis ist ein Satz dynamischer Gleichungen der Form

$$\mathbf{\dot y} = J \mathbf{y}, \tag{1}$$ Wo $x_1 = s-\tilde s$, $y_2 = x - \tilde y$, Und $J$ist die Jacobi-Matrix des ursprünglichen Systems, gegeben durch $$J = \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial \dot s}{\partial s} & \frac{\partial \dot s}{\partial x} \\ \frac{\partial \dot x}{\partial s} & \frac{\partial \dot x}{\partial x} \end{array}\right).$$

Ich hoffe, Sie verzeihen mir, dass ich die Algebra nicht durchgearbeitet habe, aber es sollte eine einfache Sache sein, die Komponenten von zu berechnen$J$bezüglich$x$Und$s$.

Der Punkt dabei ist, dass die Stabilität und Rückkehrzeit eines linearen Systems leicht berechnet werden kann, indem die Eigenwerte von untersucht werden$J$. Wenn ein Eigenwert eine positive Realkomponente hat, ist der Fixpunkt instabil, aber in Ihrem Fall (solange die Parameter sinnvoll sind) haben sie alle negative Realteile.

Nun die Lösungen der Gleichung$(1)$das Formular haben

$$\mathbf{y}(t) = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{\lambda_j t},$$ wo und $\lambda_j$Und $\mathbf{v}_j$Eigenwerte und Eigenvektoren von sind $J$bzw. die Konstanten $A_j$werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Der $\lambda_j$werden manchmal komplex sein, und wenn wir sie in der Form ausdrücken $\lambda_j = r_j + i\omega_j$die Lösung wird $$\mathbf{y}(t) = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{r_j t} e^{i\omega_j t} = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{r_j t} (\cos \omega_j t + i\sin \omega_j t).$$ Komplexe Eigenwerte treten immer in konjugierten Paaren auf, sodass die $i\sin\omega_j t$Begriffe heben sich auf.

Wir haben eine Summe von exponentiell abfallenden (da jeder$r_j$negativ ist) und möglicherweise oszillierende Trajektorien. Die mit kleineren$r_j$'s zerfällt schneller, sodass die Flugbahn nach genügend Zeit von einem Term dominiert wird, der als zerfällt$e^{rt}$, Wo$r$ist der Realteil des Eigenwerts mit dem größten Realteil.

Wir können daher sagen, dass, wenn die Störung klein genug ist, das ursprüngliche nichtlineare System mit einer charakteristischen Zeit, die durch gegeben ist, in Richtung Gleichgewicht zerfällt$-1/r$, Wo$r=\max_j \{ \Re(\lambda_j) \}$. Dies ist (ungefähr) die Zeit, die für den Weg vom Gleichgewicht bis zum Zerfall benötigt wird$1/e$seines ursprünglichen Werts, und es ist das, was normalerweise als Rückgabezeit angegeben wird.

Sie sollten all dies in jedem anständigen Lehrbuch über die Theorie dynamischer Systeme finden. Da Ihr System zweidimensional ist, können Sie einen analytischen Ausdruck für erhalten$r$indem man das charakteristische Polynom für aufschreibt$J$und mit der quadratischen Formel zu lösen. Ob das zu einem netten Ausdruck führt, weiß ich nicht.

Jetzt gibt es noch ein paar Dinge zu beachten. Erstens fragten Sie eher nach einer Änderung der Parameter als nach einer kleinen Störung des Systems. Wenn die Änderung der Parameter jedoch gering ist, macht dies keinen Unterschied: Die stationäre Konfiguration des alten Systems kann als Störung der stationären Konfiguration des neuen Systems angesehen werden, und alles folgt wie oben. (Stellen Sie einfach sicher, dass Sie die neuen Werte von verwenden$D$Und$Y$bei der Berechnung der Eigenwerte von$J$.)

Die andere Sache ist, dass diese Theorie nicht unbedingt sehr genau ist, wenn die Störung (oder Änderung der Parameter) groß ist. Ihr System ist jedoch nicht massiv nichtlinear, daher würde ich erwarten, dass es eine anständige Annäherung ist. Wenn Sie sich darüber Sorgen machen, ist es wahrscheinlich das Beste, das System mit ein paar verschiedenen Parameterwerten numerisch zu integrieren und zu überprüfen.